最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕.docx
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最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕
习题二
包括题目：
P36页5
（1）（4）
5（4）
习题三
；15
（1）
包括题目：
P61页1
（1）
（2）;3;5;6;14
1
（1）
（2）的解如下
3题的解如下
5,6题
14题解如下
14.设f（x）（6
求点在（
4,6）T处的牛顿方向。
∴g1
2f（x）
（1）x
（
4,6）T
，由题意得
2（6
x1
x2）
2（2
3x1
3x2
x1x2）（3
x2）
2（6
x1
x2）
2（2
3x1
3x2
x1x2）（3
x1）
解：
已知
f（x）
344
x1x2）2（23x13x2x1x2）2,
f（x
（1））
56
2（3
2（3
x2）（3
x2）
x1）2（2
3x13x2x1x2）
2（3x1）（
3x2）2（23x13x2
22（3x1）
x1x2）
∴G（x
（1））
2f（x
（1））
16
56
56
G（x
（1））1
1/800
7/400
7/400
1/200
∴d
（1）
G（x
（1））1g1
141/100
574/100
15
（1）解如下
15.用DFP方法求下列问题的极小点
1）min3x1x25x1x2
x123x22
解：
取x（0）
（1,1）T，
H0
时，DFP法的第一步与最速下降法相同
f（x）
35x2
15x1
2x1
6x2
（0）
（1,1）T，f（x（0））
10
12
x
（1）
0.0780
0.2936
f（x
（1））
1.3760
1.1516
以下作第二次迭代
1x
（1）x（0）
1.0780，
1.2936
f（x
（1））
f（x（0））
8.6240
13.1516
H1
H0
T
11
T
11
H011TH0
1TH01
其中，
26.3096,
1TH0
247.3380
1.1621
1.3945
所以
H1
d
（1）
x
（2）
所以
x
（2）
1.3945
0.7435
0.4056
H1
x
（1）
x
（1）
以下作第三次迭代
（2）
所以
1.6734
0.4056
0.3643
（1）f（x）
1d
（1），
H0
1TH0
74.3734113.4194
113.4194172.9646
1.4901
0.9776
利用
df（x
（1）d
d
（1））
0，
求得
10.5727
0.5727d
（1）
0.7754
0.8535
f（x
（2））
0.2833
0.244
x
（1）
0.8534
0.5599
f（x
（2）
）f（x
（1））
1.0927
0.9076
1.4407
2TH1
1.9922
0.7283
0.4778
H1
2TH1
H2
H1
0.4778
0.3135
1.3936
0.9135
2
T
22
H12
2T
0.9135
0.5988
TH1
0.4615
0.3846
0.3846
0.1539
d
（2）
H2
f（x
（2））
0.2246
0.1465
令x（3）
x
（2）
（2）
2d，
（2）利用df（x
（2）
d
（2））
0，求得
所以x（3）x
（2）d
（2），因为f（x（3））0，于是停止
1
x（3）（1,1）T即为最优解。
习题四
包括题目：
P95页3；4；8；9
（1）；12选做；13选做3题解如下
3.考虑问题minf（x）2x1x2，其中
（x1,x2）s
1）画出此问题的可行域和等值线的图形；
2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；
3）分别对点x1（1,0）T,x2（1,1）T,x3（0,0）T,x4（0,1）T,指出哪些约束是紧约束
和松约束。
解：
（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是
平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。
（2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。
21
显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。
如图求出切点P,，此点即为最优解55
3）对于区间集S可以简化为g1:
1x12x220
g2:
x2
对于点x1（1,0）T，g1和g2均为该点处的紧约束；
对于点x2（1,1）T，g1和g2均为该点处的松约束；
对于点x3（0,0）T，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束；
4题解如下
4.试写出下列问题的
对于点x（0,1），g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。
K-T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：
（1）
2
minx12
x212;
122.1x1x2
0
（2）
2
minx12
x212;
22.9x1x2
0
（1）
解：
非线性规划的K-T条件如下：
2x14
2x1
10
（1）
2x22
2x2
22
（1x1x2）
0
（2）
0
（3）
再加上约束条件1
220
x1x20
（4）
为求出满足
（1）~（4）式的解，分情况考虑：
综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：
（2）解：
非线性规划的K-T条件如下：
2x1
4
2x1
0
（1）
2x2
2
2x2
（9
2x1
x22）
0
（2）
0
（3）
再加上约束条件
9
22x1x2
0
（4）
为求出满足
（1）~（4）式的解，分情况考虑：
1）式解得x12，x21，所得值满足以上所有约束。
2
②若（4）式等号成立，由
（1）式可以解得x121，x2
2
12
1
因为0，所以所得值均舍去，该情况不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：
x（2,1）T
8题解如下
8考虑问题
Minx12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3
.X1+x2+x3=2
（1）
-x1+2x2≤3
（2）
X1,x2,x3≥0（3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.解：
首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。
检查易知
（1），X3≥0为有效约束。
设所求可行方向d=（d1,d2,d3）T。
根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对?
t∈（0，a）能有
X+td=（1+td1,1+td2,0+td3）T也能满足所有有效约束：
（1+td1）+（1+td2）+（0+td3）=2td3≥0
经整理即为d1+d2+d3=0
d3≥0
满足上述不等式组的d=（d1,d2,d3）T均为可行方向。
现只求一个可行方向，所以任取d3=1，
求解d1+d2=-d3
得d1+d2=-1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向
考虑下降性
由题可知：
将目标函数化为f（x）=1/2XTQX+bTX+C从而▽f=QX+b即▽f（1,1,0）=（-3,3，-12）
因为▽f（1,1,0）Td=-21<0
表明d=（1,-2，1）T为原问题在x=（1,1,0）T处的一个下降可行方向
9题解如下
9用lemke算法解下列问题：
（1）min2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2
.X1+x2≤2
X1+5x2≤5
X1,x2≥0解：
与本题相应的线性互补问题为：
W-MZ=q
W≥0,Z≥0
WTZ=0
写成表格为
W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
qdi0
1
0
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
0
0
0
1
5
5
0
0
1
0
-1
-1
-4
2
-4
0
0
0
1
-1
-5
2
-4
-6
由于右端有负数，所以加一人工变量W0，表格改为
W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
W0
9
qdi0
1
0
0
0
0
0
1
1
-1
2
0
1
0
0
0
0
1
5
-1
5
0
0
1
0
-1
-1
-4
2
-1
-4
0
0
0
1
-1
-5
2
-4
-1
-6
选择与max{-qi}=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转，得
W1
W2
W3
W4
Z1
Z2
Z3
Z4
W0
q
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
0
-1
1
5
-1
5
0
8
2
0
1
0
-1
1
5
-1
9
0
11
3
0
0
1
-1
0
4
-6
6
0
2
9
0
0
0
-1
1
5
-2
4
1
6
由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有
Min{8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6
故选相应的第3行第8列元素作主元，再进行旋转，得
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
3/6
1
-1
8
0
0
8
8
0
0
1/6
-1/6
0
4/6
-1
1
0
2/6
9
0
0
-4/6
-2/6
1
14/6
2
0
1
28/6
由于W0仍在基变量中，故继续运算.由于这时仅有W3，Z3这一对变量全不在基中，故仍在它们之中选一变量进基，由于是第一次从这一对变量选取，故也选Z3进基，再由
Min{38/6/4,8/8，28/6/2}=8/8故选第二行第7列元素作主元，进行旋转，得
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
-1/2
-1/12
-5/12
1/2
13/6
0
0
0
7/3
7
0
1/8
-3/16
1/16
1/8
-1/8
1
0
0
1
8
0
1/8
-1/48
-5/48
1/8
13/24
0
1
0
4/3
9
0
-1/4
-7/24
-11/24
3/4
31/12
0
0
1
8/3
再继续，得
y1
y2
V1
V2
u1
u2
X1
X2
W0
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
-9/31
49/62
-1/31
-4/31
0
0
0
-26/31
-208/93
7
0
7/62
-59/248
5/124
5/31
0
1
0
3/62
35/31
8
0
11/62
-147/744
-3/372
9/124
0
0
1
-13/62
24/31
6
0
-3/31
-25/62
-11/62
9/31
1
0
0
12/31
32/31
在上表中W0已被置换出基，即得到了相应线性互补问题的解，也就是所求二次规划的最优解：
y1=-208/93，x1=35/31，x2=24/31，u2=32/31，y2=v2=v2=u1=0,即x*=（35/31,24/31）T
12题解如下
22
12.
（1）外点法minf（x）x12x22
x1
解：
定义惩罚函数
F（x,
x12x22
max0,
x1
2
x1
2
x2
当x1
2
x12
x11
当x1
用解析法求解minF（
x,
）,有
x1
2x1
当x1
2x1
x1
当x1
令F
x1
0，
F
x2
得到x
易见，当
F
x2
T
x1,x2
时，x
2x2
0
1,0
x恰为所求费线性规划的最优解。
13题解如下
13.
（2）内点法
22
minx1x2
s.t.2x1x220
x110
解：
定义障碍函数
用解析法求解minGx,rk令
xintD
F
x1
2x1
2x1
x2
22
x1
12
2x2
x2
2x1x22
解得xgx1,x2（0,1）
rk
gg
当rk0时，xgrkx（0,1），x确为最优解。
习题五
包括题目：
P108页5；10
5题解如下
原问题转化为求minfx
0,1
对fx求导可得：
x1,x22x1
22
01
x1
x1,x22x2
22
02
x2
由式
（1）
（2）可解得：
x1
2
x2
2
即x1
x22，
又已知
2
0,1，或2
所以有效解集为
x1,x2
x1x2,0x11或x1,x2
x1x2,0x11
10题解如下
10.用线性加权和法求解：
权系数取
构造函数
fx
Tufx
，
令f1x1
12
x2
22
22
2
T
T
f2x12x2
3x32，
uu1,u
2，
ff1,f2
原求解问题转化成求解
minf
x
fxuTf
xu1f
1u2f2
2
22
2
0.36
x11
0.36x2
2
0.36x33
0.
64x12
0.64
2x1
2
1.64x22
2
2.28x32
0.72x11.44x22.
16x3
5.04
构造拉格朗日函数
L求解
min
fx
，则如下
Lx1,x2,x3,
fx
x1
x2
x36，为拉格
朗日乘子
对L函数求导得：
L
x1,x2,x3,
2x10.72
0
（1）
x1
L
x1,x2,x3,
3.28x21.44
0
（2）
x2
L
x1,x2,x3,
4.56x32.16
0（3）
x3
L
x1,x2,x3,
x1x2x36
0
（4）
0.64
x3
解：
2x220.643x32
u10.36,u2
由
（1）
（2）（3）式分别得：
x10.360.5x20.4390.305
x30.4740.219
代入（4）式得：
4.616
将4.616代入
（1）
（2）（3）式,
x12.67
∴可得：
x21.84
x31.48
把有效解（2.67,1.84,1.48）T代入f1，f2得，
22
5.13
目标值为：
minf12.67121.84221.483
minf22.67221.84231.48220.47
习题六包括题目：
P130页包括题目4；5；6；74,5题解如下
6,7题解如下
第六题答案
1.与v1点相邻接的顶点有v2、v3两点，
l2=1，l3=2，取Min{l2、l3}=1，于是连接v1、v2两点，
令顶点集S={v1、v2}；图示如下：
V2
V1
v3、v4、v5三点，l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4，
l4、l5}=1，于是连接v1、v3两点，令顶点集S={v1、v2、v3}；
V1
3.与S={v
l7=l3+d37=2+8=10，取Min{lv4、v5}；图示如下：
1、
v2、v3}相邻接的点有v4、v5、v7三点，l5、l7}=4,于是连接
l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4，v2、v4、v5三点，令顶点集S={v1、v2、v3、
V1
V2
4.与S={v1、v2、v3、v4、v5}相邻接的点有v6、v7两点，l6=Min{l5+d56、l4+d46}=6，l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57}=7，取min={l6、l7}=6，于是连接v4、v6两点，令顶点集S={v1、v2、v3、v4、v5、v6}；图示如下：
V5
V2
V6
V4
V1
V3
5.与S={v1、v2、v3、v4、v5、v6}相邻接的点有v7、v8两点，l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57、l6+d67}=7，l8=l6+d68=11，min={l7、l8}=7，于是连接v5、v7和v6、v7这两组点，令顶点集S={v1、v2、v3、v4、v5、v6、v7}；图示如下
V2
V5
V7
V1
V8
另一条是：
这两条路径均是最短路，最短路的长度是10.
第七题答案
人选一个初始方案，如下图所示：
通过分析，我们发现有的链并未饱和，即没有达到最大流，通过寻找增广链的方法来求最大流，增广链有
将增广链与初始方案结合后即可得到最大流为9，最大流方案如下图所示：
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