线性代数期末考试试题C及解答.docx
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线性代数期末考试试题C及解答
3
阶行列式1
4
线性代数期末考试试题C及解答
一、（36分）填空（2分18）
1、四阶行列式Daj的展开式中有一项322334313341，此项前面应带的的符号
61
1
1第三行元素的代数余子式之和
25
3、设向量121T,316T，则AT，A100，
矩阵A的秩r（A）。
4、设A为四阶方阵，且|A=2，贝片A2|=，|4A*3A[（其
中A*为矩阵A的伴随矩阵），A的行向量组线性关。
5、A为mn矩阵，齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件为，
此时AX0的一个基础解系中含个解向量
31
&设二阶矩阵A
，且对角形矩阵BP1AP，则B:
又矩
13
阵C与A相似，则C
:
，
C1I
。
1
7、设三阶矩阵A，A0且矩阵IA,I-A均不可逆，则A的三个特征值
4
为，又实对称矩阵B与A相似，则二次型fx「X2,X3XtBX的秩
为，且此二次型的规范形是。
二、（27分）计算（要求写出
计
算过程）
2
2
3
4
1、计算四阶行列式：
D
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
5
3
0
0
1
2、已知矩阵A0
1
1
，
B
0
0
1
4
1
求矩阵X
（6分+7分+7分+7分）
00
10满足矩阵方程AX2XB,
01
第3页
3、设三阶矩阵A求：
（1）|AB;
（2）
12
A2B
，且IA1，|B
4、已知!
为三阶矩阵
a
A1
2
2
1的特征值，1
4
1
3为A属于特征值1
1
的特征向量，求a,b,
1的值；并判断
A能否与对角形矩阵相似，说明理由。
共6页
第4页
x-i2x2x32x40
、（12分）设线性方程组2x1x2x3x41。
3x1x22x3x4a
问：
a取何值时，方程组有无穷多解；此时求出方程组的通解。
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第5页
2X2X3，
为标准形
四、（15分）设二次型f为。
2，乂32x；axI2xf2x.jX22x1x3
1、写出此二次型的系数矩阵A;
2、a取何值时，此二次型正定；
3、当a2时，该二次型在正交变换XTY下化f4yi2yy，求出此正交变换XTY。
共6页
第6页
五、（10分）证明题（5分+5分）
1、n阶矩阵A满足A22A410。
求证：
矩阵A3I可逆，并求（A3I）
2、Rn中，向量组1,2,3线性无关，A为n阶矩阵，使向量组A1,A2,A3线性相关，问矩阵A应满足什么条件，并给出证明。
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