线性代数期末考试试卷-答案合集详解.doc
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大学生校园网—VvSchool.CN线性代数综合测试题
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)
1.若,则__________。
2.若齐次线性方程组只有零解,则应满足。
3.已知矩阵,满足,则与分别是阶矩阵。
4.矩阵的行向量组线性。
5.阶方阵满足,则。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)
1.若行列式中每个元素都大于零,则。
()
2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()
3.向量组中,如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。
()
4.,则。
()
5.若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。
()
三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分)
1.设为阶矩阵,且,则()。
① ② ③ ④4
2.维向量组(3£s£n)线性无关的充要条件是()。
①中任意两个向量都线性无关
②中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④中不含零向量
3.下列命题中正确的是()。
①任意个维向量线性相关
②任意个维向量线性无关
③任意个维向量线性相关
④任意个维向量线性无关
4.设,均为n阶方阵,下面结论正确的是()。
①若,均可逆,则可逆 ②若,均可逆,则可逆
③若可逆,则可逆 ④若可逆,则,均可逆
5.若是线性方程组的基础解系,则是的()
①解向量 ②基础解系 ③通解 ④A的行向量
四、计算题(每小题9分,共63分)
1.计算行列式。
解·
2.设,且求。
解.,
3.设且矩阵满足关系式求。
4.问取何值时,下列向量组线性相关?
。
5.为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?
当方程组有无穷多解时求其通解。
①当且时,方程组有唯一解;
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6.设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。
7.设,求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题(7分)
若是阶方阵,且证明。
其中为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1.5 2. 3. 4.相关
5.
二、判断正误
1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.×
三、单项选择题
1.③ 2.③ 3.③ 4.② 5.①
四、计算题
1.
2.
,
3.
4.
当或时,向量组线性相关。
5.
①当且时,方程组有唯一解;
②当时方程组无解
③当时,有无穷多组解,通解为
6.
则,其中构成极大无关组,
7.
特征值,对于λ1=1,,特征向量为
五、证明题
∴,∵
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、设,为n阶方阵,满足等式,则必有()
(A)或;(B);(C)或;(D)。
2、和均为阶矩阵,且,则必有()
(A);(B);(C).(D)。
3、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是()
(A)的列向量线性无关;(B)的列向量线性相关;
(C)的行向量线性无关;(D)的行向量线性相关.
4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是()
(A)的秩小于;(B);
(C)的特征值都等于零;(D)的特征值都不等于零;
二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)
5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则=。
6、为阶矩阵,且,则。
7、已知方程组无解,则。
8、二次型是正定的,则的取值范围是。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)
9、计算行列式
10、计算阶行列式
四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。
写出证明过程)
11、若向量组线性相关,向量组线性无关。
证明:
(1)能有线性表出;
(2)不能由线性表出。
12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵,可逆,且。
证明
(1);
(2)。
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。
解答应写出文字说明或演算步骤)
13、设,求一个正交矩阵使得为对角矩阵。
14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知,,是它的三个解向量,且
,
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C;2、D;3、A;4、A。
二、填空题
5、-125;6、;7、-1;8、。
三、计算题
9、解:
第一行减第二行,第三行减第四行得:
第二列减第一列,第四列减第三列得:
(4分)
按第一行展开得
按第三列展开得
。
(4分)
10、解:
把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式
(4分)
(4分)
四、证明题
11、证明:
(1)、因为线性无关,所以线性无关。
,
又线性相关,故能由线性表出。
(4分)
,
(2)、(反正法)若不,则能由线性表出,
不妨设。
由
(1)知,能由线性表出,
不妨设。
所以,
这表明线性相关,矛盾。
12、证明
(1)
(4分)
(2)
由
(1)得:
,代入上式得
(4分)
五、解答题
13、解:
(1)由得的特征值为,,。
(4分)
(2)的特征向量为,
的特征向量为,
的特征向量为。
(3分)
(3)因为特征值不相等,则正交。
(2分)
(4)将单位化得,,(2分)
(5)取
(6)(1分)
14、解:
该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为
因,则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成,即任何一个非零解都是它的基础解系。
(5分)
另一方面,记向量,则
直接计算得,就是它的一个基础解系。
根据非齐次线性方程组解的结构知,原方程组的通解为
,。
(7分)
15、解:
将①与②联立得非齐次线性方程组:
若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵作初等行变换得:
.(4分)
1°当时,有,方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解,此时
,
则方程组③为齐次线性方程组,其基础解系为:
所以①与②的全部公共解为,k为任意常数.(4分)
2°当时,有,方程组③有唯一解,此时
,
故方程组③的解为:
即①与②有唯一公共解.(4分)
线性代数习题和答案
第一部分选择题(共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n,则行列式等于()
A.m+n B.-(m+n)
C.n-m D.m-n
2.设矩阵A=,则A-1等于()
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于(1,2)的元素是()
A.–6 B.6
C.2 D.–2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()
A.A=0 B.BC时A=0
C.A0时B=C D.|A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于()
A.1 B.2
C.3 D.4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则()
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中()
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是()
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有()
A.秩(A)C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是()
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()
A.k≤3 B.k<3
C.k=3 D.k>3
12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是()
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.A的行(列)向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则()
A.A与B相似
B.A与B不等价
C.A与B有相同的特征值
D.A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为()
A. B.
C. D.
第二部分非选择题(共72分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15..
16.设A=,B=.则A+2B=.
17.设A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.
18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a=.
19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为.
20.设A是m×n矩阵,A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)=.
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.
23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为.
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
25.设A=,B=.求
(1)ABT;
(2)|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28.给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=.
试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求:
(1)秩(A);
(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=,
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解;
(2)η0,η1,η2线性无关。
答案:
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)
15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数
20.n-r21.–522.–223.124.
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
25.解
(1)ABT==.
(2)|4A|=43|A|=64|A|,而
|A|=.所以|4A|=64·(-2)=-128
26.解==
27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而
(A-2E)-1=
所以B=(A-2E)-1A==
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1).
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,
即
方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).
29.解对矩阵A施行初等行变换
A=B.
(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.
(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)
30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T.经正交标准化,得η1=,η2=.
λ=-8的一个特征向量为ξ3=,经单位化得η3=
所求正交矩阵为T=.对角矩阵D=
(也可取T=.)
31.解f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.
设,即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形y12-2y22-5y32.
四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32.证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,
所以E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.
33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.
(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b,所以η1,η2是Ax=b的2个解。
(2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即(l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。
所以
l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0.
所以η0,η1,η2线性无关。
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