五年级下册数学期末复习专题讲义2长方体一版.docx
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五年级下册数学期末复习专题讲义2长方体一版
北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-2.长方体
(一)
【知识点归纳】
一.长方体的认识
1、认识长方体、正方体,了解各部分的名称。
左面的面叫左面,右面的面叫右面,上面的面叫上面,下面的面叫下面(或叫底面),前面的面叫前面,后面的面叫后面。
长方体有12条棱,这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。
正方体的12条棱的长度都相等。
2、长方体、正方体各自的特点。
顶点
面
棱
个数
个数
形状
大小关系
条数
长度关系
8
6
都是长方形,特殊的有两个相对的面是正方形,其余四个面是完全一样的长方形。
相对的面面积相同
12
可以分为三组,相对的棱长度相等。
8
6
都是正方形。
每个面的面积都相等
12
长度都相等。
3、正方体是特殊的长方体。
因为正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。
4、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4或者是长×4+宽×4+高×4
长方体的宽=棱长总和÷4-长-高
长方体的长=棱长总和÷4-宽-高
长方体的高=棱长总和÷4-宽-长
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
二.展开与折叠
知识点:
正方体展开共11种
1—4—1型6个
1—3—2型3个
3个2型1个楼梯形
2个3型1个
注意:
(1)田字型与凹字型的全错。
(2)正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。
三.长方体的表面积
1、表面积的意义:
是指六个面的面积之和。
2、长方体和正方体表面积的计算方法:
3、长方体的表面积(6个面)=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
(上下面)(前后面)(左右面)
S长=(长×宽+长×高+宽×高)×2
4、正方体的表面积(6个面)=棱长×棱长×6(6个面)S正=棱长×棱长×6
(一个面的面积)
四.露在外面的面
1、在观察中,通过不同的观察策略进行观察。
如:
一种是看每个纸箱露在外面的面,再加到一起;
另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察,看每个角度都能看到多少个面,再加到一起。
2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
3、求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。
(一个面的面积)
【典例讲解】
例1.下列图中,( )不是正方体的展开图.
A.
B.
C.
【分析】根据正方体展开图的11种特征,A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型,C图属于正方体展开图的“3﹣3”型,B图不属于正方体展开图.
【解答】解:
、
是正方体展开图;
不是正方体展开图.
故选:
B.
【点评】此题是考查正方体展开图的认识.正方体展开图有11种特征,分四种类型,即:
第一种:
“1﹣4﹣1”结构,即第一行放1个,第二行放4个,第三行放1个;第二种:
“2﹣2﹣2”结构,即每一行放2个正方形,此种结构只有一种展开图;第三种:
“3﹣3”结构,即每一行放3个正方形,只有一种展开图;第四种:
“1﹣3﹣2”结构,即第一行放1个正方形,第二行放3个正方形,第三行放2个正方形.
例2.一个长方体的底面周长是28cm,高是4cm.这个长方体的棱长总和是 72 cm.
【分析】已知长方体的底面周长是28厘米的正方形,高4厘米,由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形,这个长方体的棱长总和是(28×2+4×4)厘米.
【解答】解:
28×2+4×4
=56+16
=72(cm)
答:
这个长方体的棱长总和是72cm.
故答案为:
72.
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的计算.
例3.一个无盖的长方体玻璃鱼缸,长50厘米,宽40厘米,高30厘米.做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米. √ (判断对错)
【分析】求玻璃的面积,就是求长方体5个面的面积,缺少上面,依据长方体的表面积公式:
S=2(ab+ah+bh)即可求解.
【解答】解:
50×40+(50×30+40×30)×2
=2000+5400
=7400(平方厘米)
7400平方厘米=74平方分米
答:
做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米.
题干的说法是正确的.
故答案为:
√.
【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用.
例4.求下面立体图形的表面积.(单位:
cm)
【分析】通过观察图形可知,由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起,所以上面的正方体只求它的4个面的面积,下面的长方体求6个面的面积,根据正方形的面积公式:
S=a2,长方体的表面积公式:
S=(ab+ah+bh)×2,把数据代入公式解答.
【解答】解:
2×2×4+(10×8+10×6+8×6)×2
=16+(80+60+48)×2
=16+188×2
=16+376
=392(平方厘米)
答:
它的表面积是392平方厘米.
【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
例5.如图是一个正方体铁块.
(1)它的棱长总和是多少?
(2)把它放在桌面上,占多大面积?
【分析】
(1)棱长是15cm,根据正方形棱长总和=棱长×12,计算即可;
(2)棱长是15cm,求它放在桌面上占多大面积,就是求它的底面积,是棱长×棱长,计算即可.
【解答】解:
(1)15×12=180(cm)
答:
它的棱长总和是180cm.
(2)15×15=225(cm2)
答:
把它放在桌面上,占225cm2.
【点评】此题主要考查正方体底面积、棱长总和公式的应用,解答此类的题要特别注意单位.
【同步测试】
一.选择题(共10小题)
1.将一张长方形纸对折3次,其中的1份是这张纸的( )
A.B.C.D.
2.一个长方体纸盒的展开图如图所示,它的表面积是( )
A.158cm2B.316cm2C.120cm2D.210cm2
3.不能用一张长方形纸准确折出的角是( )
A.90°B.63°C.45°.D.135°
4.乐乐准备画一个长方体,他画出了长方体的三条棱,如图,根据这三条棱的长度,你认为他画的最有可能是下面图形( )
A.
B.
C.
5.把3个棱长1m的正方体木块拼成一个长方体,表面积减少了( )
A.2m2B.4m2C.6cm2
6.用48厘米长的铁丝做成一个正方体框架.这个正方体的棱长最大是( )
A.8厘米B.6厘米C.4厘米
7.求长方体的占地面积就是长方体的( )
A.表面积B.体积C.底面积D.侧面积
8.下面的四幅图中,能按虚线折成正方体的是( )
A.
B.
C.
D.
9.一根长方体木料,它的横截面积是8cm2,把它截成3段,表面积增加( )cm2.
A.8B.24C.32
10.一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体,表面积分别增加了16cm2,24cm2,32cm2,原来长方体的表面积是( )cm2.
A.36B.72C.144
二.填空题(共8小题)
11.用一根长为120cm的铁丝焊成一个正方体的框架,它的棱长是 cm.
12.正方体是由 个完全相同的 围成的立体图形,它的 条棱的长度 ,它可以看成是特殊的 体.
13.在图2中:
∠3= °= 个∠2= 个∠1.
14.请在图中的上面写“我”,下面写“爱”,左面写“数”,右面写“学”.
15.一个长方体木块长6厘米,宽4厘米,高2厘米.如果把它切成两个相同的小长方体,表面积比原来最少增加 平方厘米,最多增加 平方厘米.
16.把长方形的一个角沿AB对折至如图所示位置,∠1=31°,那么∠2= 度.
17.在下列展开图中能拼成正方体的有 .
18.把表面积是24平方米的正方体切成体积相等的8个小正方体,每个小正方体的表面积是 .
三.判断题(共5小题)
19.长方体中除了相对的面完全相同,也有可能有两个相邻的面完全相同. (判断对错)
20.正方体和长方体有不同的地方,所以正方体不是长方体. (判断对错)
21.长方体的每一个面不一定都是长方形. .(判断对错)
22.牛奶包装箱上标明:
尺寸50×30×40(cm),是指这个长方体包装箱的长、宽、高. (判断错误)
23.正方体是长、宽、高都相等的长方体. (判断对错)
四.计算题(共1小题)
24.计算下面图形的表面积.
五.应用题(共7小题)
25.做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架,至少需要多少厘米的木条?
26.用丝带捆扎一种礼品盒如下,长30厘米,宽20厘米,高25厘米.结头处长25厘米,要捆扎这种礼品盒至少要用多少厘米丝带?
27.笑笑将一个长15cm,宽8cm,高28cm的长方体饼干盒的四周和盒盖都贴上商标纸,需要多少平方厘米的商标纸?
28.一个房间长8米,宽6米,高4米.除去门窗22平方米,房间的墙壁和房顶都贴上墙纸,这个房间至少需要多大面积的墙纸?
29.把一条长32dm的彩带连续对折2次,这时每段彩带长多少分米?
如果要使每段彩带长1dm,那么应该将这条彩带连续对折几次?
30.一个正方体纸盒的棱长为2.5分米,在它的周围贴一条宽0.8分米的彩纸(如图),这条彩纸的面积至少是多少平方分米?
31.一个体积是240cm3的长方体,不同的两个面的面积分别是20cm2和48cm2,这个长方体的表面积是多少?
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.【分析】将一张长方形纸对折1次,每份是这张纸的,对折两次,每份是这张纸的,对折3次每份是这张纸的.
【解答】解:
将一张长方形纸对折3次,其中的1份是这张纸的:
××=;
故选:
C.
【点评】此题属于图形的折叠问题,考查了学生动手操作的能力.
2.【分析】由展开图得出:
长方体的长是8cm,宽是5cm,高是3cm,根据长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,代数计算即可.
【解答】解:
(8×5+8×3+5×3)×2
=(40+24+15)×2
=79×2
=158(cm2)
答:
它的表面积是158cm2.
故选:
A.
【点评】解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高,再根据长方体表面积公式计算.
3.【分析】把一张长方形的纸对折,再把以对折点为顶点的角对折后展开,所得到的角就是90°、45°和135°的,而63°不能准确折出,据此解答即可.
【解答】解:
如图,
,只有63°不能准确折出;
故选:
B.
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题,动手折折即可解决问题,关键记住几个特殊角之间的关系.
4.【分析】这三条棱分别是5cm、10cm、12cm,表示长12cm、宽5cm、高10cm的正方体,即长和高的长度基本相同,宽是高的,观察图形,只有A符合,B的高与宽不符合2倍关系,C的长和宽不符合2倍以上的关系,据此解答即可.
【解答】解:
乐乐准备画一个长方体,他画出了长方体的三条棱,如图,根据这三条棱的长度,认为他画的最有可能是图形A.
故选:
A.
【点评】此题考查了长方体的特征,要根据三条棱长度的倍数关系判断.
5.【分析】把3个棱长为3分米的正方体木块,拼成一个长方体,只有一字排列法这一种拼法.拼成长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积,根据正方形的面积公式:
S=a2,把数据代入公式解答即可.
【解答】解:
1×1×4
=1×4
=4(平方米)
答:
表面积减少了4平方米.
故选:
B.
【点评】此题的关键是抓住组合后表面积减少了粘合的4个正方形面,即可解答问题.
6.【分析】根据正方体有12条棱,而且每条棱长度相等,用铁丝的长度除以12,求出这个正方体的棱长是多少米即可.
【解答】解:
48÷12=4(厘米)
答:
这个正方体的棱长最大是4厘米;
故选:
C.
【点评】此题主要考查了正方体的特征,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确正方体的特征:
①8个顶点.②12条棱,每条棱长度相等.③相邻的两条棱互相垂直.
7.【分析】一个长方体的占地面积占地面积是求这个长方体的底面积,据此解答.
【解答】解:
要求一个长方体的是求这个长方体的底面积.
故选:
C.
【点评】此题考查了长方体底面积的实际应用.
8.【分析】根据正方体展开图的11种特征,A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构,能按虚线折成正方体;B图、C图和D图都不属于正方体展开图,不能按虚线折成正方体.
【解答】解:
能按虚线折成正方体;
、
、
不能按虚线折成正方体.
故选:
A.
【点评】此题是考查正方体展开图的认识.正方体展开图有11种特征,分四种类型,即:
第一种:
“1﹣4﹣1”结构,即第一行放1个,第二行放4个,第三行放1个;第二种:
“2﹣2﹣2”结构,即每一行放2个正方形,此种结构只有一种展开图;第三种:
“3﹣3”结构,即每一行放3个正方形,只有一种展开图;第四种:
“1﹣3﹣2”结构,即第一行放1个正方形,第二行放3个正方形,第三行放2个正方形.
9.【分析】根据题意可知,把这根长方体木料截成3段,需要截两次,每截一次增加两个截面的面积,所以截成3段表面积比原来增加4个截面的面积,据此解答即可.
【解答】解:
8×4=32(平方厘米)
答:
表面积增加32平方厘米.
故选:
C.
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义,以及长方体表面积公式的灵活运用.
10.【分析】根据题意可知,与长方体左右平行切表面积增加的面积与左右面相等,与长方体的上下面平行切表面积增加与上下面相等,与长方体前后面平行切表面积增加的与前后面相等,根据长方体的表面积公式:
s=(ab+ah+bh)×2,把数据代入公式解答.
【解答】解:
16+24+32=72(平方厘米)
答:
原来长方体的表面积是72平方厘米.
故选:
B.
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
二.填空题(共8小题)
11.【分析】根据正方体的特征,12条棱的长度都相等,用棱长总和除以12即可.
【解答】解:
120÷12=10(厘米)
答:
它的棱长是10厘米.
故答案为:
10.
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征,以及棱长总和公式的灵活运用.
12.【分析】根据正方体、长方体的特征:
正方体是由6个完全相同的正方形围成的,它有12条棱,12条棱的长度都相等;长方体是由6个长方形围成的,相对的面完全相同,它有12条棱,相对的4条棱的长度都相等;所以正方体又可以看做是特殊的长方体.
【解答】解:
正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,它的12条棱的长度相等,它可以看成是特殊的长方体;
故答案为:
6,正方形,12,相等,长方.
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的特征.
13.【分析】依据直角、平角、周角的含义:
等于90°的角是直角,等于180°的角是平角,等于360°的角是周角,然后根据它们之间的倍数关系,解答即可.
【解答】解:
因为:
1周角=360°,1平角=180°,1直角=90°,
所以:
一个周角=2个平角=4个直角,即:
∠3=360°=2个∠2=4个∠1.
故答案为:
360,2,4.
【点评】本题主要考查特殊角的度数及关系,应当熟练掌握.
14.【分析】面对图中的,在上面的方格内写“我”,下面的方格内写“爱”,左面的方格内写“数”,右面的方格内写“学”即可.
【解答】解:
【点评】此题主要是考查方向的辨别,上、下比较好辨别,关键是左、右方向的辨别.
15.【分析】根据题意可知,把这个长方体切成两个相同的小长方体,要使表面积比原来最少增加多少平方厘米,也就是与长方体左右面平行切;要使表面积最多增加多少平方厘米,也就是与长方体的上下面平行且切,表面积增加的部分是两个切面的面积,根据长方形的面积公式:
S=ab,把数据代入公式解答.
【解答】解:
4×2×2=16(平方厘米)
6×4×2=48(平方厘米)
答:
表面积比原来最少增加16平方厘米,最多增加48平方厘米.
故答案为:
16、48.
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义,以及长方形面积公式的灵活用,关键是熟记公式.
16.【分析】如图,把这张长方形展开,以∠1的顶点为顶点的3个角,组成了一个直角,直角=90°,折起来后∠1盖住了一个与它度数相等的角,也就是2∠1与∠2的和是90°,据此解答.
【解答】解:
由分析得:
∠2=90°﹣31°×2
=90°﹣62°
=28°
答:
∠2=28度.
故答案为:
28.
【点评】本题是考查简单的图形折叠问题、角的度量.
17.【分析】根据正方体展开图的11种特征,A图属于正方体展开“2﹣2﹣2”结构,B图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构,D图属于正方体展开图的“3﹣3”结构,这三幅图都能拼成正方体;图C不属于正方体展开图,不能拼成正方体.
【解答】解:
如图
展开图中能拼成正方体的有A、B、D.
故答案为:
A、B、D.
【点评】本题主要是考查正方体展开图的特征.正方体展开图有11种特征,分四种类型,即:
第一种:
“1﹣4﹣1”结构,即第一行放1个,第二行放4个,第三行放1个;第二种:
“2﹣2﹣2”结构,即每一行放2个正方形,此种结构只有一种展开图;第三种:
“3﹣3”结构,即每一行放3个正方形,只有一种展开图;第四种:
“1﹣3﹣2”结构,即第一行放1个正方形,第二行放3个正方形,第三行放2个正方形.
18.【分析】先利用正方体表面积公式求出大正方体1个面的面积,再除以4就是小正方体1个面的面积,再乘6,就是1个小正方体的表面积.
【解答】解:
大正方体1个面的面积:
24÷6=4(平方米)
小正方体1个面的面积:
4÷4=1(平方米)
小正方体的表面积:
1×6=6(平方米)
答:
每个小正方体的表面积是6平方米.
故答案为:
6平方米.
【点评】解答此题的关键是明白:
大正方体的每个面的面积除以4,就是小正方体1个面的面积,从而问题得解.
三.判断题(共5小题)
19.【分析】长方体的6个面都是长方形,相对的面相等;当两个相对的面是正方形时,其它4个面是完全相同的长方形,长方体的相邻的两个面相等;所以长方体(不包括正方体)除了相对的面相等,也可能有两个相邻的面相等,据此判断即可.
【解答】解:
长方体的6个面都是长方形,相对的面相等;
当两个相对的面是正方形时,其它4个面是完全相同的长方形,长方体的相邻的两个面相等;
所以长方体(不包括正方体)除了相对的面相等,也可能有两个相邻的面相等,因此题中说法正确.
故答案为:
√.
【点评】此题主要考查了长方体的特征,解答此题的关键是要明确:
长方体相对的面相等,特殊情况下也可能有两个相邻的面相等.
20.【分析】根据长方体、正方体的特征,正方体是长、宽、高都相等的长方体,所以正方体是特殊的长方体.
【解答】解:
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体,所以正方体是特殊的长方体.
所以本题说法错误;
故答案为:
×.
【点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征,明确:
正方体是特殊的长方体.
21.【分析】根据长方体的特征,6个面都是长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形),相对的面的面积相等.由此解答判断即可.
【解答】解:
根据长方体的特征,一般情况,长方体的6个面都是长方形,特殊情况有两个相对的面是正方形,
所以,“长方体的每一个面不一定都是长方形”这种说法是正确的.
故答案为:
√.
【点评】此题主要考查正方体、长方体的特征,明确一般情况,长方体的6个面都是长方形,特殊情况有两个相对的面是正方形.
22.【分析】通常长方体包装箱上的长、宽、高不是写长多少厘米、宽多少厘米、高多少厘米,而是写成长×宽×高的形式,即乘式中三个数分别代表箱子的长、宽、高.
【解答】解:
牛奶包装箱上标明:
尺寸50×30×40(cm),是指这个长方体包装箱的长(50cm)、宽(30cm)、高(40cm)
原题说法正确.
故答案为:
√.
【点评】这是生活中的常识问题,根据生活实际便知.
23.【分析】根据长方体和正方体的共同特征:
它们都有6个面,12条棱,8个顶点.正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体.
【解答】解:
长方体和正方体都有6个面,12条棱,8个顶点.
因此正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体.
故答案为:
√.
【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征,以及长方体和正方体之间的关系,长方体包括正方体,正方体是特殊的长方体.
四.计算题(共1小题)
24.【分析】长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2;正方体的表面积=棱长×棱长×6;据此代入数据即可解答.
【解答】解:
长方体的表面积是:
(5×4+5×10+4×10)×2
=(20+50+40)×2
=110×2
=220(平方厘米)
正方体的表面积是:
6×6×6=216(平方厘米)
答:
长方体的表面积是220平方厘米;正方体的表面积是216平方厘米.
【点评】此题主要考查正方体与长方体的表面积公式的计算应用.
五.应用题(共7小题)
25.【分析】根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,把数据代入公式解答即可.
【解答】解:
(12+9+6)×4
=27×4
=108(厘米)
答:
至少需要108厘米的木条.
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征,以及长方体棱长总和公式的灵活运用,关键是熟记公式.
26.【分析】通过观察图形可知,需要丝带的长度等于长方体的2条长+2条宽+4条高+结头处用的25厘米,据此列式解答即可.
【解答】解:
30×2+20×2+25×4+25
=60+40+100+25
=225(厘米)
答:
要捆扎这种礼品盒至少要用225厘米丝带.
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征,以及长方体棱长总和公式的灵活运用.
27.【分析】商标纸的面积是指长方体的侧面积+上底面的面积,根据长方体的表面积的计算方法解答即可.
【解答】解:
(15×28+8×28)×2+15×8
=(420+224)×2+120
=644×2+120
=1288+120
=1408(平方厘米)
答:
需要1408平方厘米的商标纸.
【点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题.
28.【分析】长方体有6个面,在房间的墙壁和房顶都贴上墙纸,贴墙纸的面是上面,前后面和左右面,就是求这5个面的面积和是多少,然后再减去门窗的面积就是这个房间至少需要多大面积的墙纸.长方体的长、宽、高已知,用长×宽=上面的面积,用长×高×2=前、后面的面积,用宽×高×2=左、右面的面积,然后相加再减去门窗的面积即可解答.
【解答】解:
8×6+8×4×2+6×4×2﹣22
=48+64+48﹣22
=138(平方米)
答:
这个房间至少需要138平方米大面积的墙纸.
【点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题.
29.【分析】对折一次,把绳子平均分成2份,用总长度除以平均分的份数,就是每段绳子的长度;要使每段彩带长1dm,就把绳子平均分成了32份,2×2×2×2×2=32,说明应该对折5次.
【解答】解:
32÷(2×2)=8(dm)
32÷(2×2×2×2×2)=1(dm)
答:
连续对折2次,这时每段彩带长8分米,要使每段彩带长1dm,应该将这条彩带连续对折5次.
【点评】本