五年级下册数学期末复习专题讲义2长方体一版.docx
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五年级下册数学期末复习专题讲义2长方体一版
北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义-2.长方体
（一）
【知识点归纳】
一．长方体的认识
1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面叫后面。
长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。
正方体的12条棱的长度都相等。
2、长方体、正方体各自的特点。
顶点
面
棱
个数
个数
形状
大小关系
条数
长度关系
8
6
都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。
相对的面面积相同
12
可以分为三组，相对的棱长度相等。
8
6
都是正方形。
每个面的面积都相等
12
长度都相等。
3、正方体是特殊的长方体。
因为正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。
4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4
长方体的宽=棱长总和÷4-长-高
长方体的长=棱长总和÷4-宽-高
长方体的高=棱长总和÷4-宽-长
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
二．展开与折叠
知识点：
正方体展开共11种
1—4—1型6个
1—3—2型3个
3个2型1个楼梯形
2个3型1个
注意：
（1）田字型与凹字型的全错。
（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。
三．长方体的表面积
1、表面积的意义：
是指六个面的面积之和。
2、长方体和正方体表面积的计算方法：
3、长方体的表面积（6个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
（上下面）（前后面）（左右面）
S长=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
4、正方体的表面积（6个面）=棱长×棱长×6（6个面）S正=棱长×棱长×6
（一个面的面积）
四．露在外面的面
1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。
如:
一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；
另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。
2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。
3、求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。
（一个面的面积）
【典例讲解】
例1．下列图中，（ ）不是正方体的展开图．
A．
B．
C．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，C图属于正方体展开图的“3﹣3”型，B图不属于正方体展开图．
【解答】解：
、
是正方体展开图；
不是正方体展开图．
故选：
B．
【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：
第一种：
“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：
“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：
“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：
“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
例2．一个长方体的底面周长是28cm，高是4cm．这个长方体的棱长总和是 72 cm．
【分析】已知长方体的底面周长是28厘米的正方形，高4厘米，由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形，这个长方体的棱长总和是（28×2+4×4）厘米．
【解答】解：
28×2+4×4
＝56+16
＝72（cm）
答：
这个长方体的棱长总和是72cm．
故答案为：
72．
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的计算．
例3．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米．做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米． √ （判断对错）
【分析】求玻璃的面积，就是求长方体5个面的面积，缺少上面，依据长方体的表面积公式：
S＝2（ab+ah+bh）即可求解．
【解答】解：
50×40+（50×30+40×30）×2
＝2000+5400
＝7400（平方厘米）
7400平方厘米＝74平方分米
答：
做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．
题干的说法是正确的．
故答案为：
√．
【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用．
例4．求下面立体图形的表面积．（单位：
cm）
【分析】通过观察图形可知，由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个面的面积，下面的长方体求6个面的面积，根据正方形的面积公式：
S＝a2，长方体的表面积公式：
S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：
2×2×4+（10×8+10×6+8×6）×2
＝16+（80+60+48）×2
＝16+188×2
＝16+376
＝392（平方厘米）
答：
它的表面积是392平方厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
例5．如图是一个正方体铁块．
（1）它的棱长总和是多少？
（2）把它放在桌面上，占多大面积？
【分析】
（1）棱长是15cm，根据正方形棱长总和＝棱长×12，计算即可；
（2）棱长是15cm，求它放在桌面上占多大面积，就是求它的底面积，是棱长×棱长，计算即可．
【解答】解：
（1）15×12＝180（cm）
答：
它的棱长总和是180cm．
（2）15×15＝225（cm2）
答：
把它放在桌面上，占225cm2．
【点评】此题主要考查正方体底面积、棱长总和公式的应用，解答此类的题要特别注意单位．
【同步测试】
一．选择题（共10小题）
1．将一张长方形纸对折3次，其中的1份是这张纸的（ ）
A．B．C．D．
2．一个长方体纸盒的展开图如图所示，它的表面积是（ ）
A．158cm2B．316cm2C．120cm2D．210cm2
3．不能用一张长方形纸准确折出的角是（ ）
A．90°B．63°C．45°．D．135°
4．乐乐准备画一个长方体，他画出了长方体的三条棱，如图，根据这三条棱的长度，你认为他画的最有可能是下面图形（ ）
A．
B．
C．
5．把3个棱长1m的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少了（ ）
A．2m2B．4m2C．6cm2
6．用48厘米长的铁丝做成一个正方体框架．这个正方体的棱长最大是（ ）
A．8厘米B．6厘米C．4厘米
7．求长方体的占地面积就是长方体的（ ）
A．表面积B．体积C．底面积D．侧面积
8．下面的四幅图中，能按虚线折成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一根长方体木料，它的横截面积是8cm2，把它截成3段，表面积增加（ ）cm2．
A．8B．24C．32
10．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，表面积分别增加了16cm2，24cm2，32cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2．
A．36B．72C．144
二．填空题（共8小题）
11．用一根长为120cm的铁丝焊成一个正方体的框架，它的棱长是 cm．
12．正方体是由 个完全相同的 围成的立体图形，它的 条棱的长度 ，它可以看成是特殊的 体．
13．在图2中：
∠3＝ °＝ 个∠2＝ 个∠1．
14．请在图中的上面写“我”，下面写“爱”，左面写“数”，右面写“学”．
15．一个长方体木块长6厘米，宽4厘米，高2厘米．如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来最少增加 平方厘米，最多增加 平方厘米．
16．把长方形的一个角沿AB对折至如图所示位置，∠1＝31°，那么∠2＝ 度．
17．在下列展开图中能拼成正方体的有 ．
18．把表面积是24平方米的正方体切成体积相等的8个小正方体，每个小正方体的表面积是 ．
三．判断题（共5小题）
19．长方体中除了相对的面完全相同，也有可能有两个相邻的面完全相同． （判断对错）
20．正方体和长方体有不同的地方，所以正方体不是长方体． （判断对错）
21．长方体的每一个面不一定都是长方形． ．（判断对错）
22．牛奶包装箱上标明：
尺寸50×30×40（cm），是指这个长方体包装箱的长、宽、高． （判断错误）
23．正方体是长、宽、高都相等的长方体． （判断对错）
四．计算题（共1小题）
24．计算下面图形的表面积．
五．应用题（共7小题）
25．做一个长、宽、高分别是12厘米、9厘米、6厘米的长方体框架，至少需要多少厘米的木条？
26．用丝带捆扎一种礼品盒如下，长30厘米，宽20厘米，高25厘米．结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒至少要用多少厘米丝带？
27．笑笑将一个长15cm，宽8cm，高28cm的长方体饼干盒的四周和盒盖都贴上商标纸，需要多少平方厘米的商标纸？
28．一个房间长8米，宽6米，高4米．除去门窗22平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？
29．把一条长32dm的彩带连续对折2次，这时每段彩带长多少分米？
如果要使每段彩带长1dm，那么应该将这条彩带连续对折几次？
30．一个正方体纸盒的棱长为2.5分米，在它的周围贴一条宽0.8分米的彩纸（如图），这条彩纸的面积至少是多少平方分米？
31．一个体积是240cm3的长方体，不同的两个面的面积分别是20cm2和48cm2，这个长方体的表面积是多少？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】将一张长方形纸对折1次，每份是这张纸的，对折两次，每份是这张纸的，对折3次每份是这张纸的．
【解答】解：
将一张长方形纸对折3次，其中的1份是这张纸的：
××＝；
故选：
C．
【点评】此题属于图形的折叠问题，考查了学生动手操作的能力．
2．【分析】由展开图得出：
长方体的长是8cm，宽是5cm，高是3cm，根据长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代数计算即可．
【解答】解：
（8×5+8×3+5×3）×2
＝（40+24+15）×2
＝79×2
＝158（cm2）
答：
它的表面积是158cm2．
故选：
A．
【点评】解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算．
3．【分析】把一张长方形的纸对折，再把以对折点为顶点的角对折后展开，所得到的角就是90°、45°和135°的，而63°不能准确折出，据此解答即可．
【解答】解：
如图，
，只有63°不能准确折出；
故选：
B．
【点评】本题是考查简单图形的折叠问题，动手折折即可解决问题，关键记住几个特殊角之间的关系．
4．【分析】这三条棱分别是5cm、10cm、12cm，表示长12cm、宽5cm、高10cm的正方体，即长和高的长度基本相同，宽是高的，观察图形，只有A符合，B的高与宽不符合2倍关系，C的长和宽不符合2倍以上的关系，据此解答即可．
【解答】解：
乐乐准备画一个长方体，他画出了长方体的三条棱，如图，根据这三条棱的长度，认为他画的最有可能是图形A．
故选：
A．
【点评】此题考查了长方体的特征，要根据三条棱长度的倍数关系判断．
5．【分析】把3个棱长为3分米的正方体木块，拼成一个长方体，只有一字排列法这一种拼法．拼成长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：
S＝a2，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：
1×1×4
＝1×4
＝4（平方米）
答：
表面积减少了4平方米．
故选：
B．
【点评】此题的关键是抓住组合后表面积减少了粘合的4个正方形面，即可解答问题．
6．【分析】根据正方体有12条棱，而且每条棱长度相等，用铁丝的长度除以12，求出这个正方体的棱长是多少米即可．
【解答】解：
48÷12＝4（厘米）
答：
这个正方体的棱长最大是4厘米；
故选：
C．
【点评】此题主要考查了正方体的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正方体的特征：
①8个顶点．②12条棱，每条棱长度相等．③相邻的两条棱互相垂直．
7．【分析】一个长方体的占地面积占地面积是求这个长方体的底面积，据此解答．
【解答】解：
要求一个长方体的是求这个长方体的底面积．
故选：
C．
【点评】此题考查了长方体底面积的实际应用．
8．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，能按虚线折成正方体；B图、C图和D图都不属于正方体展开图，不能按虚线折成正方体．
【解答】解：
能按虚线折成正方体；
、
、
不能按虚线折成正方体．
故选：
A．
【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：
第一种：
“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：
“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：
“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：
“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
9．【分析】根据题意可知，把这根长方体木料截成3段，需要截两次，每截一次增加两个截面的面积，所以截成3段表面积比原来增加4个截面的面积，据此解答即可．
【解答】解：
8×4＝32（平方厘米）
答：
表面积增加32平方厘米．
故选：
C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，以及长方体表面积公式的灵活运用．
10．【分析】根据题意可知，与长方体左右平行切表面积增加的面积与左右面相等，与长方体的上下面平行切表面积增加与上下面相等，与长方体前后面平行切表面积增加的与前后面相等，根据长方体的表面积公式：
s＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：
16+24+32＝72（平方厘米）
答：
原来长方体的表面积是72平方厘米．
故选：
B．
【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，用棱长总和除以12即可．
【解答】解：
120÷12＝10（厘米）
答：
它的棱长是10厘米．
故答案为：
10．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用．
12．【分析】根据正方体、长方体的特征：
正方体是由6个完全相同的正方形围成的，它有12条棱，12条棱的长度都相等；长方体是由6个长方形围成的，相对的面完全相同，它有12条棱，相对的4条棱的长度都相等；所以正方体又可以看做是特殊的长方体．
【解答】解：
正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，它的12条棱的长度相等，它可以看成是特殊的长方体；
故答案为：
6，正方形，12，相等，长方．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的特征．
13．【分析】依据直角、平角、周角的含义：
等于90°的角是直角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角，然后根据它们之间的倍数关系，解答即可．
【解答】解：
因为：
1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°，
所以：
一个周角＝2个平角＝4个直角，即：
∠3＝360°＝2个∠2＝4个∠1．
故答案为：
360，2，4．
【点评】本题主要考查特殊角的度数及关系，应当熟练掌握．
14．【分析】面对图中的，在上面的方格内写“我”，下面的方格内写“爱”，左面的方格内写“数”，右面的方格内写“学”即可．
【解答】解：
【点评】此题主要是考查方向的辨别，上、下比较好辨别，关键是左、右方向的辨别．
15．【分析】根据题意可知，把这个长方体切成两个相同的小长方体，要使表面积比原来最少增加多少平方厘米，也就是与长方体左右面平行切；要使表面积最多增加多少平方厘米，也就是与长方体的上下面平行且切，表面积增加的部分是两个切面的面积，根据长方形的面积公式：
S＝ab，把数据代入公式解答．
【解答】解：
4×2×2＝16（平方厘米）
6×4×2＝48（平方厘米）
答：
表面积比原来最少增加16平方厘米，最多增加48平方厘米．
故答案为：
16、48．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义，以及长方形面积公式的灵活用，关键是熟记公式．
16．【分析】如图，把这张长方形展开，以∠1的顶点为顶点的3个角，组成了一个直角，直角＝90°，折起来后∠1盖住了一个与它度数相等的角，也就是2∠1与∠2的和是90°，据此解答．
【解答】解：
由分析得：
∠2＝90°﹣31°×2
＝90°﹣62°
＝28°
答：
∠2＝28度．
故答案为：
28．
【点评】本题是考查简单的图形折叠问题、角的度量．
17．【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开“2﹣2﹣2”结构，B图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”结构，D图属于正方体展开图的“3﹣3”结构，这三幅图都能拼成正方体；图C不属于正方体展开图，不能拼成正方体．
【解答】解：
如图
展开图中能拼成正方体的有A、B、D．
故答案为：
A、B、D．
【点评】本题主要是考查正方体展开图的特征．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：
第一种：
“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：
“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：
“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：
“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
18．【分析】先利用正方体表面积公式求出大正方体1个面的面积，再除以4就是小正方体1个面的面积，再乘6，就是1个小正方体的表面积．
【解答】解：
大正方体1个面的面积：
24÷6＝4（平方米）
小正方体1个面的面积：
4÷4＝1（平方米）
小正方体的表面积：
1×6＝6（平方米）
答：
每个小正方体的表面积是6平方米．
故答案为：
6平方米．
【点评】解答此题的关键是明白：
大正方体的每个面的面积除以4，就是小正方体1个面的面积，从而问题得解．
三．判断题（共5小题）
19．【分析】长方体的6个面都是长方形，相对的面相等；当两个相对的面是正方形时，其它4个面是完全相同的长方形，长方体的相邻的两个面相等；所以长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等，据此判断即可．
【解答】解：
长方体的6个面都是长方形，相对的面相等；
当两个相对的面是正方形时，其它4个面是完全相同的长方形，长方体的相邻的两个面相等；
所以长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等，因此题中说法正确．
故答案为：
√．
【点评】此题主要考查了长方体的特征，解答此题的关键是要明确：
长方体相对的面相等，特殊情况下也可能有两个相邻的面相等．
20．【分析】根据长方体、正方体的特征，正方体是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体．
【解答】解：
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体．
所以本题说法错误；
故答案为：
×．
【点评】此题考查的目的是掌握长方体、正方体的特征，明确：
正方体是特殊的长方体．
21．【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答判断即可．
【解答】解：
根据长方体的特征，一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形，
所以，“长方体的每一个面不一定都是长方形”这种说法是正确的．
故答案为：
√．
【点评】此题主要考查正方体、长方体的特征，明确一般情况，长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形．
22．【分析】通常长方体包装箱上的长、宽、高不是写长多少厘米、宽多少厘米、高多少厘米，而是写成长×宽×高的形式，即乘式中三个数分别代表箱子的长、宽、高．
【解答】解：
牛奶包装箱上标明：
尺寸50×30×40（cm），是指这个长方体包装箱的长（50cm）、宽（30cm）、高（40cm）
原题说法正确．
故答案为：
√．
【点评】这是生活中的常识问题，根据生活实际便知．
23．【分析】根据长方体和正方体的共同特征：
它们都有6个面，12条棱，8个顶点．正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．
【解答】解：
长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．
因此正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．
故答案为：
√．
【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征，以及长方体和正方体之间的关系，长方体包括正方体，正方体是特殊的长方体．
四．计算题（共1小题）
24．【分析】长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；据此代入数据即可解答．
【解答】解：
长方体的表面积是：
（5×4+5×10+4×10）×2
＝（20+50+40）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
正方体的表面积是：
6×6×6＝216（平方厘米）
答：
长方体的表面积是220平方厘米；正方体的表面积是216平方厘米．
【点评】此题主要考查正方体与长方体的表面积公式的计算应用．
五．应用题（共7小题）
25．【分析】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：
（12+9+6）×4
＝27×4
＝108（厘米）
答：
至少需要108厘米的木条．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
26．【分析】通过观察图形可知，需要丝带的长度等于长方体的2条长+2条宽+4条高+结头处用的25厘米，据此列式解答即可．
【解答】解：
30×2+20×2+25×4+25
＝60+40+100+25
＝225（厘米）
答：
要捆扎这种礼品盒至少要用225厘米丝带．
【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和公式的灵活运用．
27．【分析】商标纸的面积是指长方体的侧面积+上底面的面积，根据长方体的表面积的计算方法解答即可．
【解答】解：
（15×28+8×28）×2+15×8
＝（420+224）×2+120
＝644×2+120
＝1288+120
＝1408（平方厘米）
答：
需要1408平方厘米的商标纸．
【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．
28．【分析】长方体有6个面，在房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，贴墙纸的面是上面，前后面和左右面，就是求这5个面的面积和是多少，然后再减去门窗的面积就是这个房间至少需要多大面积的墙纸．长方体的长、宽、高已知，用长×宽＝上面的面积，用长×高×2＝前、后面的面积，用宽×高×2＝左、右面的面积，然后相加再减去门窗的面积即可解答．
【解答】解：
8×6+8×4×2+6×4×2﹣22
＝48+64+48﹣22
＝138（平方米）
答：
这个房间至少需要138平方米大面积的墙纸．
【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．
29．【分析】对折一次，把绳子平均分成2份，用总长度除以平均分的份数，就是每段绳子的长度；要使每段彩带长1dm，就把绳子平均分成了32份，2×2×2×2×2＝32，说明应该对折5次．
【解答】解：
32÷（2×2）＝8（dm）
32÷（2×2×2×2×2）＝1（dm）
答：
连续对折2次，这时每段彩带长8分米，要使每段彩带长1dm，应该将这条彩带连续对折5次．
【点评】本
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