初中数学第21章不定方程竞赛专题复习人教版有答案.docx

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初中数学第21章不定方程竞赛专题复习人教版有答案

初中数学第21章不定方程竞赛专题复习（人教版有答案）

第21章不定方程§21.1二元一次不定方程21.1.1★求不定方程的正整数解．解析因为，，，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切正整数．21.1.2★求的整数解．解析1将方程变形得．因为是整数，所以应是11的倍数．由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为为整数．解析2先考察，通过观察易得，所以，可取，．从而为整数．评注如果、是互质的整数，是整数，且方程①有一组整数解、．则此方程的一切整数解可以表示为其中，±1，±2，±3，…．21.1.3★求方程的非负整数解．解析因为（6，22）=2，所以方程两边同除以2得．①由观察知，，是方程②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为所以方程①的一切整数解为因为要求的原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由③、④得15≤≤16，所以只有15，16两种可能．当15时，15，；当16时，4，3．所以原方程的非负整数解是21.1.4★求方程的所有正整数解．解析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程①的最小系数7除方程①的各项，并移项得．②因为、是整数，故也是整数，于是有．再用5除此式的两边得．③令（整数），由此得．④由观察知，是方程④的一组解．将代入③得．代入②得=25．于是方程①有一组解，，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取0，1．因此得原方程的正整数解为21.1.5★求方程的整数解．解析因为，，．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×（37-33）=9×33-8×37=9×（107-2×37）-8×37=9×107-26×37=37×（-26）+107×9,由此可知，是方程的一组整数解．于是,是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为是整数．21.1.6★求方程的整数解．解析设，即，于是．原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为是整数．②的解为是整数．消去，得是整数．21.1.7★求方程的整数解．解析设，则对于①，，是一组特解，从而①的整数解为是整数．又，是方程②的一组特解，于是②的整数解为是整数．所以，原方程的整数解为、是整数．21.1.8★求方程组的正整数解．解析消去，得．①．易知，是它的一组特解，从而①的整数解为是整数．代入原方程组，得所有整数解为是整数．由，，得，所以0，1，故原方程组的正整数解为21.1.9★求方程的正整数解的组数．解析因为，所以，是一组特解．于是方程的整数解为是整数．由得.所以1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法?

解析设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是．①所以．由于≤142，所以≤20，并且由上式知．因为（5，2）=1，所以，从而1，6，11，16．①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．评注当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?

解析设公鸡、母鸡、小鸡各买、、只，由题意列方程组①化简得.③③-②得即解得于是的一个特解为所以的所有整数解为是整数．由题意知，，，，所以，解得故.由于是整数，故只能取26，27，28，而且、、还应满足．所以

264187827811812812484

即可能有三种情况：

4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO次共得61分，问：

小鸡至少被套中几次?

解析设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得我们要求这个方程组的正整数解．消去：

从①中减去②×2得，于是．③由③可以看出．从而的值只能是1，2，3，4，5．将③写成，由于是整数，所以必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但时，，不是正整数．在时，，是本题的解．因此小鸡被套中5次．评注本题问“小鸡至少被套中几次?

”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?

最少可用多少克?

解析设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有其中，0≤≤60，0≤≤47．解方程组可得由得．又，，和，，均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最多可用49克．§21.2勾股数21.2.1★★★满足方程的一切基本勾股数、、（为偶数），都可表示为以下形式：

，，，①其中、为正整数，（，）=1，，、一奇一偶．解析设正整数、满足（，）=1，，、一奇一偶，则．所以一切形如①的正整数、、都是方程的解．下面证明这样的、、是基本勾股数．设，由于、一奇一偶，所以是奇数，由，于是是奇数．又由，得，即，同理．因为是奇数，所以，，于是．由得，所以．这就证明了由①确定的、、是一组基本勾股数．反过来，设、、是一组基本勾股数，且是偶数，和都是奇数，则和都是整数．设，则存在正整数和，使，，，于是，．由于，所以，即．由得．这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设，，这里．，于是可得．由于是奇数，所以、一奇一偶．这就证明了方程的任意一组解、、（为偶数）都可由①表示．评注如果正整数、、满足方程，那么就称、、是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．在勾股数、、中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果（，，）=，那么设′，′，′，则有（′，′，′）=1，并且由得，两边除以，得．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数、、中，和必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：

假定和的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：

①和同奇，②和同偶．如果和同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以是4的倍数加2，于是是偶数，也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以和不能都是奇数．如果和都是偶数，那么也是偶数，这与、、是基本勾股数矛盾，所以和中一奇一偶．由此也可推出是奇数．21.2.2★设、、是勾股数，是质数，求证：

和都是完全平方数．解析．因为是质数，所以只有1、、三个正约数．由于，所以有由此得，，所以和都是完全平方数．21.2.3★求证：

、、（是正整数）是一组勾股数．解析因为是正整数，，．由,所以、、是一组勾股数．21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为、、，其中为正整数．解析设弦长为，股长为，勾为．因为（，）=1，所以、、为一组基本勾股数．又为奇数，为偶数，则为奇数．设，则，得，．所以，勾股数组具有形式、、．21.2.5★★求证：

勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．解析当是大于1的奇数时，和都是正整数，并且．当是大于2的偶数时，和都是正整数，并且．由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边可取大于2的任何正整数．21.2.6★★求证：

在勾股三角形中，

（1）必有一条直角边的长是3的倍数；

（2）必有一条直角边的长是4的倍数；（3）必有一条边的长是5的倍数．解析设该勾股三角形的三边的长分别为、、（是斜边），则．只要证明、、是基本勾股数时的情况．不失一般性，设为偶数，则，，，其中、满足上述定理中的条件．

（1）若、中至少有一个是3的倍数，则是3的倍数；若、都不是3的倍数，设，，则是3的倍数．

（2）由于、一奇一偶，所以是4的倍数．（3）若、都不是5的倍数，则的末位数是1或9；的末位数字是4或6．1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以的末位数只可能是5．于是的末位数是5．评注由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数．21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16．解析设勾股数组、、，其中16．16=2×4×2=2×8×1，若，，有（）-2≠1，从而只有，，，且和为一奇一偶．于是，．从而，只有一组基本勾股数16、63、65．评注若不要求基本勾股数，则16=2×4×2，设，，得，．即16、12、20为一组勾股数．又，设，，得，．即16、30、34为一组勾股数．21.2.8★★设、、为一组勾股数，其中为奇质数，且>，>．求证：

必为完全平方数．解析因为、、为一组勾股数，，，则有．，．设，则有．因为，为奇质数，则（否则，若，则，矛盾）．由，得，从而是完全平方数．21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和最小值分别是多少?

解析设直角三角形的三边长分别是35，，，则，即．1225的大于35的正约数可作为，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的最大值是35+1225=1260，最小值是35+49=84．21.2.10★★设为大于2的正整数．证明：

存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长恰为．解析只需证明不定方程，有正整数解．利用，结合与具有相同的奇偶性，故当为奇数时，由（，）=（1，），可得不定方程的一组正整数解（，）=；而当为偶数时，由条件，知≥4．利用（，）=，可得不定方程的一组正整数解（，）=．综上，可知命题成立。

21.2.11★★如果正整数、、满足．证明：

数和都可以表示为两个正整数的平方和．解析先证下述命题：

如果正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平方和．设，这里、、都是正整数，且．则．于是，可表为两个整数和的平方和，命题获证．注意到，由条件有．利用已证命题，可知．记，，由可知、都是正整数，并且．若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而，这就是要证的结