初中数学第21章不定方程竞赛专题复习人教版有答案.docx

1、初中数学第21章不定方程竞赛专题复习人教版有答案初中数学第21章不定方程竞赛专题复习（人教版有答案）第21章 不定方程 21.1 二元一次不定方程 21.1.1求不定方程 的正整数解 解析 因为 ， ， ，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 其中 可以取一切正整数 21.1.2求 的整数解 解析1 将方程变形得 因为 是整数，所以 应是11的倍数由观察得 ， 是这个方程的一组整数解， 所以方程的解为 为整数 解析2 先考察 ，通过观察易得 ， 所以 ， 可取 ， 从而 为整数 评注 如果 、 是互质的整数， 是整数，且方程 有一组整数解 、 则此方程的一切整数解可以表示为 其中 ，1，2，

2、3， 21.1.3求方程 的非负整数解 解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 由观察知， ， 是方程 的一组整数解，从而方程的一组整数解为 所以方程的一切整数解为 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 由于 是整数，由、得15 16，所以只有 15， 16两种可能 当 15时， 15， ；当 16时， 4， 3所以原方程的非负整数解是 21.1.4求方程 的所有正整数解 解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解 用方程 的最小系数7除方程的各项，并移项得 因为 、 是整数，故 也是整数，于是有

3、 再用5除此式的两边得 令 (整数)，由此得 由观察知 ， 是方程的一组解将 代入得 代入得 =25于 是方程有一组解 ， ，所以它的一切解为 由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得 只能取0，1因此得原方程的正整数解为 21.1.5求方程 的整数解 解析 因为 ， ， 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-84=37-4-84=37-94 =37-9(37-33)=933-837 =9(107-237)-837=9107-2637 =37(-26)+1079, 由此可知 ， 是方程 的一组整数解于是 , 是方程 的一组整数解所以原方程的一切整数解为 是整数 2

4、1.1.6求方程 的整数解 解析 设 ，即 ，于是 原方程可化为 用前面的方法可以求得的解为 是整数 的解为 是整数 消去 ，得 是整数 21.1.7求方程 的整数解 解析 设 ，则 对于， ， 是一组特解，从而的整数解为 是整数 又 ， 是方程的一组特解，于是的整数解为 是整数 所以，原方程的整数解为 、 是整数 21.1.8求方程组 的正整数解 解析 消去 ，得 易知 ， 是它的一组特解，从而的整数解为 是整数 代入原方程组，得所有整数解为 是整数 由 ， ， 得 ， 所以 0，1，故原方程组的正整数解为 21.1.9求方程 的正整数解的组数 解析 因为 ，所以 ， 是一组特解于是方程的整

5、数 解为 是整数 由 得 . 所以 1，2，87故原不定方程有87组正整数解 21.1.10某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需 枚7分， 枚5分恰好支付142分，于是 所以 由于 142，所以 20，并且由上式知 因为(5，2)=1，所以 ，从而 1，6，11，16的非负整数解为 所以，共有4种不同的支付方式 评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程 21.1.11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公

6、 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只? 解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买 、 、 只，由题意列方程组 化简得 . -得 即 解 得 于是 的一个特解为 所以 的所有整 数解为 是整数 由题意知， ， ， ，所以， 解得 故 . 由于 是整数，故 只能取26，27，28，而且 、 、 还应满足 所以26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡 21.1.12小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分小明共套10次，每次都套中了，每个小玩

7、具都至少被套中一次小明套lO次共得61分，问：小鸡至少被套中几次? 解析 设套中小鸡 次，套中小猴 次，套中小狗 次，则根据题意得 我们要求这个方程组的正整数解 消去 ：从中减去2得 ，于是 由可以看出 从而 的值只能是1，2，3，4，5将写成 ， 由于 是整数，所以 必须是3的倍数从而只有2、5两个值满足这一要求 但 时， ， 不是正整数在 时， ， 是本题的解 因此小鸡被套中5次 评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去 21.1.13今有浓度为5、8、9的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7的盐水100克，问甲种盐水最多可

8、用多少克?最少可用多少克? 解析 设甲、乙、丙盐水分别各取 克、 克、 克，配成浓度为7的盐水100克，依题意有 其中 ，0 60，0 47 解方程组可得 由 得 又 ， ， 和 ， ， 均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克 21.2 勾股数 21.2.1满足方程 的一切基本勾股数 、 、 （ 为偶数)，都可表示为以下形式： ， ， ， 其中 、 为正整数，( ， )=1， ， 、 一奇一偶 解析 设正整数 、 满足( ， )=1， ， 、 一奇一偶，则 所以一切形如的正整数 、 、 都是方程 的解下面证明这样的 、 、 是基本勾股 数 设 ，由于 、 一奇一偶，所以 是奇数

9、，由 ，于是 是奇数又由 ，得 ，即 ，同理 因为 是奇数，所以 ， ，于是 由 得 ，所以 这就证明了由确定的 、 、 是一组基本 勾股数 反过来，设 、 、 是一组基本勾股数，且 是偶数， 和 都是奇数，则 和 都是整数 设 ，则存在正整数 和 ，使 ， ， ， 于是 ， 由于 ，所以 ，即 由 得 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数设 ， ， 这里 ，于是可得 由于 是奇数，所以 、 一奇一偶这就证明了方程 的任意一组解 、 、 ( 为偶数) 都可由表示 评注 如果正整数 、 、 满足方程 ，那么就称 、 、 是一组勾股数边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形 在勾股数 、 、 中

10、，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数如果 （ ， ， ）= ，那么设 ， ， ， 则有（ ， ， ）=1，并且由 得 ， 两边除以 ，得 所以我们只需研究基本勾股数在基本勾股数 、 、 中， 和 必定一奇一偶这一点可以用反证法证明：假定 和 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况： 和 同奇， 和 同偶如果 和 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以 是4的倍数加2，于是 是偶数， 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以 和 不能都是奇数如果 和 都是偶数，那么 也是偶数，这与 、 、 是基本勾股数矛盾，所以 和 中一奇一偶由此也可推出 是奇数

11、21.2.2设 、 、 是勾股数， 是质数，求证： 和 都是完全平方数 解析 因为 是质数，所以 只有1、 、 三个正约数由于 ，所以有 由此得 ， ， 所以 和 都是完全平方数 21.2.3求证： 、 、 ( 是正整数)是一组勾股数 解析 因为 是正整数， ， 由 , 所以 、 、 是一组勾股数 21.2.4若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为 、 、 ，其中 为正整数 解析 设弦长为 ，股长为 ，勾为 因为（ ， ）=1，所以 、 、 为一组基本勾股数又 为奇数， 为偶数，则 为奇数 设 ，则 ，得 ， 所以，勾股数组具有形式 、 、 21.2.5求证：勾股三角形的直角边的长能

12、取任何大于2的正整数 解析 当 是大于1的奇数时， 和 都是正整数，并且 当 是大于2的偶数时， 和 都是正整数，并且 由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边 可取大于2的任何正整数 21.2.6求证：在勾股三角形中， (1)必有一条直角边的长是3的倍数； (2)必有一条直角边的长是4的倍数； (3)必有一条边的长是5的倍数 解析 设该勾股三角形的三边的长分别为 、 、 （ 是斜边)，则 只要证明 、 、 是基本勾股数时的情况不失一般性，设 为偶数，则 ， ， ， 其中 、 满足上述定理中的条件 (1)若 、 中至少有一个是3的倍数，则 是3的倍数；若 、 都不是3的倍数，设 ， ， 则 是

13、3的倍数 (2)由于 、 一奇一偶，所以 是4的倍数 (3)若 、 都不是5的倍数，则 的末位数是1或9； 的末位数字是4或6 1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以 的末位数只可能是5于是 的末位数是5 评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数 21.2.7求基本勾股数组，其中一个数是16 解析 设勾股数组 、 、 ，其中 16 16=242=281， 若 ， ，有( )-21，从而只有 ， ， ，且 和 为一奇一偶于是 ， 从而，只有一组基本勾股数16、63、65 评注 若不要求基本勾股数，则 16=

14、242，设 ， ，得 ， 即16、12、20为一组勾股数 又 ，设 ， ，得 ， 即16、30、34为一组勾股数 21.2.8设 、 、 为一组勾股数，其中 为奇质数，且 ， 求证： 必为完全平方数 解析 因为 、 、 为一组勾股数， ， ，则有 ， 设 ，则有 因为 ， 为奇质数，则 (否则，若 ，则 ，矛盾) 由 ，得 ，从而 是完全平方数 21.2.9直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少? 解析 设直角三角形的三边长分别是35， ， ，则 ， 即 1225的大于35的正约数可作为 ，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角

15、三角形的周长的 最大值是 35+1225=1260， 最小值是 35+49=84 21.2.10设 为大于2的正整数证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为 解析 只需证明不定方程 ，有正整数解 利用 ，结合 与 具有相同的奇偶性，故当 为奇数时，由（ ， ）=（1， ），可得不定方程的一组正整数解 （ ， ）= ； 而当 为偶数时，由条件，知 4利用 （ ， ）= ， 可得不定方程的一组正整数解 （ ， ）= 综上，可知命题成立。 21.2.11如果正整数 、 、 满足 证明：数 和 都可以表示为两个正整数的平方和 解析 先证下述命题：如果正整数 可表示为两个正整数的平方和，则 也可表示为两个整数的平 方和 设 ，这里 、 、 都是正整数，且 则 于是， 可表为两个整数 和 的平方和，命题获证 注意到，由条件有 利用已证命题，可知 记 ， ，由 可知 、 都是正整数，并且 若 、 不同为偶数，则由平方数 或 ，可知 或 ，这是一个矛盾所以， 、 都是偶数，从而 ，这就是要证的结