电子科大研究生图论0514年图论期末试题.docx
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电子科大研究生图论0514年图论期末试题
2005年研究生期末试题（120分钟）
《图论及其应用》
一、填空（15分，每空1分）
1、已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2,则
G中至少有8个顶点.
2、m条边的简单图G中所有不同的生成子图（包括G和空图）的个数为
2"
3、4个顶点的非同构的简单图有11个.
4、图G的最小生成树各边权值之和为28
5、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则W在这样的闭通道中具有最短度的充要条件是：
"
（1）每一条边最多重复经过_4_次；
（2）在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的一一半
65阶度极大非哈密尔顿图族有_C5,_C；
7、在图G2中，图的度序列为（44443322）,频序列为（422）,独立数为3,团数为4,点色数为4,边色数为4,直径为3.
:
、选择（15分）
（1）下列序列中，能成为某简单图的度序列的是（C）
（A）（54221）（B）（6654332）（C）（332222）
（2）已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2,则图G有（A）个2度点。
（A）2（B）4（C）8
（3）图G如（a）所示，与G同构的图是（C）
⑷下列图中为欧拉图的是（B），为H图的是（AB）,为偶图的是（BC）・
5•下列图中可1•因子分解的是（B）
四、正整数序列（dd丄，dn）是棵树的度序列的充分必要条件是d.2（n1）
i1
（10分）・
证明：
””结论显然
n
,H设正整数序列（小,衣丄,山）满足d.2（n1）,易知它是度序列。
设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知m二E（G）nh
假设G不连通，则（G）2,且至少有一个分支G含有圈C,否则，G是森林,
有m二E（G）矛盾！
从C中任意取出一条边©mw。
并在另一分支G2中任意
取出一条边©2U2V2,作图
GGUlVl,U2V2U|V2,U2A
则G的度序列仍然为（did丄，dn）且（G）（G）h这与G的选取矛盾！
所
以
G是连通的，G是树。
即（ch,d2丄，dn）—棵树的度序列。
五、求证：
在简单连通平面图G中，至少存在一个度数小于或等于5的顶点（10分）.
面图矛盾。
六、证明：
（1）若G恰有两个奇度点u与V,则u与v必连通；
（2）一棵树至多只有一个完美匹配（10分）.
证明；
（1）因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若G恰有两个奇度点u与v,且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。
所以若G恰有两个奇度点u与v,则u与v必连通。
且T[MiM2]中
（2）若树T有两个相异的完美匹配Mi,M2,®JM1M2
的每个顶点的度数为2,则T中包含圈，这与T是数矛盾!
riNMH!
）0,aN2（HJ2
1,hN2W2）1k65k56[k]42[kb
解：
图G的补图如图G,贝Uh（Hi,x）DX2EX3jXs其中,r3N3（HJ4,匚N4（HJ1;
2
h（H2.x）hxax,其中，nNMHz）
Pk（G）（xx2）（2x24X3X0
八、求图G中a到b的最短路（15分）.
解1.Ai={a},t（a）=O,Ti二①
2力V3
3.mi=1ta2=V3,t（V3）=t（a）+I（av3）=1（最小）,
T2={av3）
2.A={a,vs},bfVi,b：
®v2
3.m2=1ta3=Vi,t（vi）=t（a）+l（avi）=2（最小），
T3={av3,avi}
2・A3={atV3,W},bl3>V2,b23»V2,b33）V4
3.m3=3,a4=V4,t（V4）=t（v”+I（V1V4）=3（最小）,
丁4={av3,avi,V1V4}
2.A4={a,V3,Vi,V4}.bK4）=V2.b2（4）=V2,b3⑷=V2,t）4⑷=V5
3.m4=4,as=V5,t（Vs）=t（V4）+I（V4V5）=6（最小），
Ts={aVa,aVi,ViV4,V4V5}
2.A5={a,V3,Vi,V4,Vs}.bi（5）=V2,b2<5）=V2,b3⑸=V2,b4（s）=V2,b护
=V2
3.ms=4,t（V2）=t（V4）+I（V4V2）=7（巔小）,
Te={aVa,aVi,V1V4,VWs,V4V2}
2.A6={a,V3,Vi,V4,V5,V2},bz=V6,b4<6）=b,b5回=V6.=V6
3.m6=6,a7=V6,t（V6）=t（V2）+I（V2V6）=9（最小）,
T?
={aVa,aVi,V1V4,V4V5,V4V2,V2Ve}
2.4={a,V3,vi,V4,vs,V2,ve},b4⑺=b.b&7>=b,b7（z）=b
3.m7=7,as=b,t（b）=t（V6）+l（veb）=11（最小），
Te={aVa,aVi,V1V4,VWs,V4V2,V2V6,Veb}
于是知a与b的距离
d（a,b）=t（b）=11
2006研究生图论期末试题（120分钟）
一、填空题35分，每空1分）
1、若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在对应，而且它们的关联关
系也保持其关系，则这两个图同构。
2、完全图心的生成树的数目为;阶为6的不同构的树有棵。
3、设无向图G有12条边，已知G中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3,则
G中至少有个结点。
4、具有5个结点的自补图的个数有°
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
5、已知图G的邻接矩阵A（G）o
1
0
1
1,顶点集合V（G）W.V2.V3,V4,V
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
则由V到V的途径长度为2的条数为
6、若Kn为欧拉图，则n二；若Kn仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路，则
7、无向完全图Kn（n为奇数），共有条没有公共边的哈密尔顿圈。
8、设G是具有二分类（X,丫）的偶图，贝UG包含饱和X的每个顶点的匹配当且仅当
对所有SX。
9、在有6个点。
12条边的简单连通平面图中，每个面均由条边组成。
10.彼德森图的点色数为;边色数为:
点独立数为
V,E的补图是（）・
二、单选或多选题（15分，每題3分）
1.设V1,2,345.E（1,2）,（2,3）,（3,4）,（4,5）,（5,1）,则图G
V1
V2
••
3、下列图中的（
V4
D
）图，V到V4是可达的。
V3
V2
B
V1
V1V4
4、下列图中，可4一因子分解的是（〉・
V2
V3
5、下列优化问题中，存在好算法的是（）
（A）最短路问题；（B）最小生成树问题；（C）TSP问题；（D）最优匹配问题.
三、作图题O0分）
1、分别作岀满足下列条件的图
（1）vE图但非H图；
（2）H图但非E图；（3）既非H图又非E图；（4）既是H图又是E图
2、画出度序列为（3,2,2,1,1,1）的两个非同构的简单图。
五、给出一个同构函数证明GiG2（10分）
G2
六、若图G为自补图，那么，它的阶n_负宀心"主―斗川-十土力。
彳从卫卡甘+I.斗池
定能够表亦为4k或者4k1的形式，其中k为非整数。
而且，图G的边有，呦。
条。
4（5分）
七、设T为一棵非平凡树，度为i的顶点记为m,则m2n32n4（k2）n”
（10
分）
八、证明：
阶数为8的简单偶图至多有16条边（5分）
九、设图G有10个4度顶点和8个5度顶点，其余顶点度数均为7。
求7度顶点的最大数
虽，使得G保持其可平面性（10分）
十、求图G的色多项式（10分）
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
至,共小时）
课程名称图论及其应用教师学时60学分
教学方式讲授考核日期2007年月日成绩
考核方式：
（学生填写）
•填空题（每题2分，共12分）
1.简单图G二（n,m）中所有不同的生成子图（包括G和空图）的个
数
个；
2.设无向图G二（n,m）中各顶点度数均为3,且2n=m+3则
3.一棵树有ni个度数为i的结点，匸2,3,…,k,贝y它有个度
数为1的结点；
下边赋权图中，最小生成树的权值之和为
5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时，必须提前将这9门
课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要天才能考完这9
门课。
二.单项选择（每题2分，共10分）
1.下面给岀的序列中，不是某简单图的度序列的是（）
（A）（11123）;（B）（22222）;（C）（3333）;（D）（1333）.
2.
F列图中，是欧拉图的是0
3.
下列图中，不是哈密尔顿图
4•下列图中，是可平面图的图的是（
三、（8分）画出具有7个顶点的所有非同构的树
四，用图论的方法证明：
任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同（10分）
5.（10分）设G为n阶简单无向图，n>2且n为奇数，G与G的补图G中度数为奇数的顶点个数是否相等？
证明你的结论
6.（10分）设G是具有n个顶点的无向简单图，其边数m!
（n1）（n2）
2,证明⑴证明G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n⑵给出
—个图，使它具有n个顶点，m£（n1）（n2）1条边，但不是哈密尔顿图。
七、（10分）今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。
已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学和物理
图G
两门课程。
问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课程，使得每门课程都有人教，说明理由
八、（10分）设G是具有n个顶点，m条边，P（P2）个连通分支的平
面图，G的每个面至少由k（k3）条边所围成，则
k（np1）
9.（40分）求下图G的色多项式Fk（G）.
十、（10分）
（1）、在一个只有2个奇度点的边赋权图中，如何构造一个最优欧拉环游？
说明理由；
（2）、在一个边赋权的哈密尔顿图中，如何估计其最优哈密尔顿圈的
权值之和的下界？
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
至,共_2_小时）
课程名称图论及其应用教师学时50学分
教学方式进授考核日期2008年月日成绩
考核方式：
（学生填写）
•填空题（鱷2分，共20分）
1.若n阶单图G的最大度是，则其补图的最小度（G）=
2.若图G（mm）,G2（压口2）,贝卩它们的联图GGiG2的顶点
；边数二
3.G是一个完全I部图，n是第i部的的顶点数匸1,2,3,・・・,1。
则它的边数为
5.若GKn,贝I]G的谱spec（G）；
6.5个顶点的不同构的树的棵数为;
7.5阶度极大非哈密尔顿图族是;
8.G为具有二分类（X,Y）的偶图，贝SG包含饱和X的每个顶点的匹
配的充分必要条件是
9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为;3阶以上的极大
外
平面图的每个内部面的次数为
10.n方体的点色数为;边色数为。
二.单项选择（每题3分，共12分）
1.下面给出的序列中，不是某图的度序列的是0
（A）（33323）;（B）（12222）;（C）（5533）;（D）（1333）.
2.设V（G）=1,2,3,4,5,E（G）（1,2）,（2,3）,（3,4）,（4,5）,（5,1）则图G（V.E）的
补图是0
3.
又是哈密尔顿图的是
下列图中，既是欧拉图
（）
（C）
4.下列说法中不正确的是（）
（A）每个连通图至少包含一棵生成树；
（B）k正则偶图（k>0）—定存在完美匹配；
（C）平面图G（G*）*，其中G*表示G的对偶图;
（D）完全图心可一因子分解。
三、（10分）设图G的阶为14,边数为27,G中每个顶点的度只可能为
3,4或5,且G有6个度为4的顶点。
问G中有多少度为3的顶点？
多
少度为5的顶点?
四，（10）证明：
每棵非平凡树至少有两片树叶（10分）
5.（10分）今有a,b,c,d,e,f,g七个人
围圆桌开会，已知：
a会讲
英语，b会讲英语和汉语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语与德语。
给出一种排座方法，使每个人能够和他身边的人交流
（用图论方法求解）。
6.（10分）设丨是赋权完全偶图G二（V.E）的可行顶点标号，若标号对应的相等子图G含完美匹配则是G的最优匹配。
7.（10分）求证：
在n阶简单平面图G中有2n4,这里是G的面数。
八、（10分）来自亚特兰大，波士顿,芝加哥，丹佛，路易维尔,迈阿密，以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每支队都被安排与一些其它队比赛（安排如下所示）。
每支队同一天最多进行一场比赛。
建立一个具有最少天数的比赛时间表。
亚特兰大：
波士顿，芝加哥，迈阿密，纳什维尔波士顿：
亚特兰大,芝加哥，纳什维尔芝加哥：
亚特兰大，波士顿，丹佛，路易维尔丹佛：
芝加哥，路易维尔,迈阿密，纳什维尔路易维尔：
芝加哥，丹佛，迈阿密
迈阿密：
亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔
纳什维尔：
亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密
（要求用图论方法求解）
9.（8分）求下图G的色多项式R（G）.
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
—至,共_2_小时）
课程名称图论及其应用教师学时_60—学分_
教学方式进授考核日期_2009—年—月日成绩
考核方式：
（学生填写）
题
1.填空题（每题2分，共20分）
院…1若自补图G的顶点数是10,则G的边数m（G）=;
学二
答2.若图Gt（m,mi）,G2（n2,m2）,则它们的积图GGG2的顶点数
=；边数二;
3.
子图个数为
具有m条边的简单图的
4.设G二心则其最大特征值为；
5.设G是n阶的完全I等部虱则其边数m（G）-
6.下图Gi中最小生成树的权值为；
图Gi
7.6阶度极大非哈密尔顿图族是;
8.心的2因子分解的数目是;
9.n（n》3）阶极大外平面图内部面个数为;3阶以上的极大
平面图的边数m和顶点数n的关系为；
10.下图G的点色数为;边色数为o
二单项选择（每题3分，共12分）
1.
F面给出的序列中，不
是某图的图序列的是
（）
（A）（11123）;（B）（22222）;（C）（3333）;（D）（1333）.
2.下列有向图中是强连通图的是（）
000®>
（A）（B）（C）（D）
3.关于n方体Q（n>3）,下面说法不正确的是（）
（A）Qn是正则图；（B）Qn是偶图；（C）Qn存在完美匹配；（D）Qn是欧拉图。
4.关于平面图G和其几何对偶图G的关系，下列说法中不正确的是
0
（A）平面图G的面数等于其对偶图的顶点数；
（B）平面图G的边数等于其对偶图的边数；
（C）平面图G（G*）*，其中G*表示G的对偶图；
（D）平面图的对偶图是连通平面图。
三、（10分）设根树T有仃条边，12片树叶，4个4度内点，1个3度内点，求T的树根的度数。
四，（10分）证明：
若图G的每个顶点的度数为偶数，则G没有割边。
5.（10分）设G是一个边赋权完全图。
如何求出G的最优哈密尔
顿圈的权值的一个下界？
为什么？
6.（10分）求证：
偶图G存在完美匹配的充要条件是对任意的sV（G）,有SN（S）
（10
3,
七.
分）求证：
若G是连通平面图，且所有顶点度数不小于则G至少有一个面f,使得deg（f）5。
八、（10分）一家公司计划建造一个动物园，他们打算饲养下面这些动物：
狒狒（b）、狐狸⑴、山羊（g）、土狼（h）、非洲大羚羊（k）、狮子（I）、豪猪（p）、兔子（r）、齣籍（s）、羚羊（w）和斑马
（2）。
根据经验，动物的饮食习惯为：
狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊（幼年）、兔子和齣體；狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和齣籍；土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；豪猪喜欢吃齣籍和兔子；而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。
公司将饲养这些动物，希望它们能自由活动但不能相互捕食。
求这些动物的一个分组，使得需要的围栏数最少。
（要求用图论方法求解）
九（8分）求下图G的色多项式R（G）.
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
—至—,共_2_小时）
课程名称图论及其应用教师学时60学分
教学方式讲授考核日期2010年月日成绩
考核方式：
（学生填写）
•填空题（每题2分，共20分）
1.若自补图G的顶点数是n,则G的边数m（G）=
2.若图G!
（mm）,G2（n2.m2）,贝卩它们的联图GGG2的顶点
；边数二
3•下图G中U与V间的最短路的长度为
Gi
4•设A佝）rw是图G的推广的邻接矩阵，则A佝,Q）nn（k是正整
的表示的意义为
5•设GKn,贝SG的谱SpecA（G）二
6•设8阶图G中没有三角形，则G能够含有的最多边数为
;7.三角形图的生成树的棵数为
8.G2的点连通度与边连通度分别为;
9.n=5的度极大非H图族为；
10.n方体（n1）的点色数为；边色数为o
2.单项选择（每题3分，共12分）
1.下面命题正确的是（）
（A）任意一个非负整数序列均是某图的度序列；
（B）设非负整数序列（di,d2tL,dn）,贝S是图序列当且仅当口厲为
m偶
数；
（C）若非负整数序列（dl,d2,L,dn）是图序列，则对应的不同构的
图一定唯一；
（D）n阶图G和它的补图G有相同的频序列.
2.下列有向图中是强连通图的是（）
000
（A）欧拉图一定是哈密尔顿图；
（B）哈密尔顿图一定是欧拉图；
（C）存在既不是欧拉图又不是哈密尔顿图的图；
（D）欧拉图与哈密尔顿图都可以进行圈分解。
4.下列说法中正确的是（）
（A）任意一个图均存在完美匹配；
（B）k（kl）正则偶图一定存在完美匹配；
（C）匈牙利算法不能求出偶图的最大匹配，只能用它求偶图的完美匹
配；
（D）图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子。
三、（10分）若阶为25且边数为62的图G的每个顶点的度只可能为
3,4,5或6,且有两个度为4的顶点，门个度为6的顶点，求G中5度顶点的个数。
四，（8分）求下图的最小生成树（不要求中间过程，只要求画出
小生成树，并给出T的权和）
5.（8分）求下图的k色多项式。
6.（8分）设G是一个边赋权完全图。
如何求出G的最优哈密尔
顿圈的权值的一个下界？
为什么？
7.（8分）求证：
设Gl是赋权完全偶图GKn.n的可行顶点标号I对应的
相等子图，若M是G的完美匹配，则它必为G的最优匹配。
8.（8分）求证：
若n为偶数，且（G）号则G中存在3因子。
九、（10分）一家公司计划建造一个动物园，他们打算饲养下面这些动物：
狒狒（b）、狐狸（f）、山羊（g）、土狼（h）、非洲大羚羊（k）、狮子（I）、豪猪（p）、兔子（r）、齣體（s）、羚羊（w）和斑马⑵。
根据经验，动物的饮食习惯为：
狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊（幼年）、兔子和齣體；狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和齣籍；土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；豪猪喜欢吃齣體和兔子；而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。
公司将饲养这些动物，希望它们能自由活动但不能相互捕食。
求这些动物的一个分组，使得需要的围栏数最少。
（要求用图论方法求解）
十.（8分）求证，每个5连通简单可平面图至少有12个顶点
电子科技大学研究生试卷
（考试时间：
—至,共_2_小时）
课程名称图论及其应用教师学时60学分
教学方式讲授考核日期20"年月日成绩
考核方式：
（学生填写）
•填空题（每空1分，共22分）
1.若n阶单图G的最小度是，则其补图的最大度（G）=
2.若图G（mm）,G2（说）,则它们的积图GGiG?
的顶点数
；边数二
3.设A是图G的推广邻接矩阵，则A的）行）列元q
（1）等于由G中
顶点V到顶点Vj的长度为的途径数目。
•完全图Kn的邻接矩阵的最大特征值为
5.不同构的3阶单图共有个。
6.设n阶图G是具有k个分支的森林，则其边数m（G）
7.n阶树（n3）的点连通度为；边连通度为
色数为；若其最大度为，则边色数为
8.图G是k连通的，则G中任意点对间至少有条内点不交
9.5阶度极大非哈密尔顿图族为
10.完全图©n能够分解为个边不箱交的一因子之并。
11.设连通平面图G具有5个顶点，9条边，则其面数为
n（n3）阶极大平面图的面数等于;n（n3）阶极大外
平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有o
12.完全偶图K甸的点独立数等于，点覆盖数等于
13.完全m元根树有t片树叶，i个分支点，则其总度数为
14.对具有m条边的单
图定向，能得到个不同的定向图。
二.单项选择（每题3分，共15分）
1.下面给岀的序列中，
不是某图的度序列的是（）
（A）（135,4,7）;（B）（2,2,2,2,2）;（C）（3,2,3,3）;（D）
（1,5,7,1）.
2.下列无向图G（nm）—定是树的是0
（A）连通图；（B）无回路但添加一条边后有回路的图；
（C）每对结点间都有路的图；
（D）连通且mn1。
3.以下必为欧拉图的是（）
（A）顶点度数全为偶数的连通图;
（B）奇数顶点只有2个的图；
（C）存在欧拉迹的图；
（D）没有回路的连通图。
4.设G是n（n3）阶单图，则其最小度卫是G为哈密尔顿图的
（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充分必要条件
5.下列说法正确的是（）
（A）非平凡树和n（n2）方体都是偶图；
（B）任何一个3正则图都可1■因子分解；
（C）可1■因子分解的3正则图中一定存在哈密尔顿圈；
（D）平面图G的对偶图的对偶图与G是同构的。
三、（10分）设无向图G有12条边，且度数为3的结点有6个，其余结点的度数小于3,求G的最少结点个数。
四，（12分）在下面边赋权图中求：
（1）每个顶点到点a的距离（只需要把距离结果标在相应顶点处，不需要写出过程）；
（2）在
该图中求
出一棵最
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