电子科大研究生图论0514年图论期末试题.docx

1、电子科大研究生图论0514年图论期末试题2005年研究生期末试题(120分钟)图论及其应用一、填空(15分，每空1分)1、 已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2,则G中至少有8个顶点.2、 m条边的简单图G中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数为23、 4个顶点的非同构的简单图有 11个.4、 图G的最小生成树各边权值之和为 285、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则 W在这样的闭通道中具有最短 度的充要条件是： (1)每一条边最多重复经过_4_次；(2)在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的 一一半6 5阶度极大非哈密尔顿图族有_C5, _C；

2、7、在图G2中，图的度序列为(44443322),频序列为(422),独立数为3,团数为 4,点色数为4,边色数为4,直径为3.:、选择(15分)(1)下列序列中，能成为某简单图的度序列的是(C)(A) (54221) (B) (6654332) (C) (332222)(2)已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2, 则图G有(A)个2度点。（A） 2 （ B） 4 （C ） 8（3）图G如（a）所示，与G同构的图是（C ）下列图中为欧拉图的是（B），为H图的是（AB）,为偶图的是（BC）5下列图中可1 因子分解的是（B）四、正整数序列（dd丄，dn）是棵树的度序

3、列的充分必要条件是 d.2（n1）i 1（10分）证明：”结论显然n,H 设正整数序列（小,衣丄,山）满足 d.2 （n 1）,易知它是度序列。设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知 m二E（G）nh假设G不连通，则（G） 2,且至少有一个分支G含有圈C,否则，G是森林,有m二E（G） 矛盾！从C中任意取出一条边 mw。并在另一分支G2中任意取出一条边2U2V2,作图G G UlVl,U2V2 U|V2,U2A则G的度序列仍然为（did丄，dn）且（G） （G） h这与G的选取矛盾！所以G是连通的，G是树。即（ch,d2丄，dn）棵树的度序列。五、求证：在简单连通平面图G中，至少存在

4、一个度数小于或等于5的顶点（10 分）.面图矛盾。六、证明：（1）若G恰有两个奇度点u与V,则u与v必连通；（2） 一棵树至多只有一个完美匹配（10分）.证明；（1）因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若G恰有两个奇度点u 与v,且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。所以若 G恰有两个奇度点u与v,则u与v必连通。且 TMi M2中（2）若树T有两个相异的完美匹配Mi,M2, J M1M2的每个顶点的度数为2,则T中包含圈，这与T是数矛盾!riNMH!) 0, aN2(HJ21, h N2W2)1 k65k5 6k4 2kb解：图G的补图如图G,贝U h (Hi,x

5、) DX2 EX3jXs 其中, r3N3(HJ4,匚 N4(HJ 1 ;2h(H2.x)hxax,其中，nNMHz)Pk(G) (xx2)(2x2 4X3X0八、求图G中a到b的最短路（15分）.解 1.Ai=a, t(a) = O, Ti 二2力 V33.mi = 1t a2 = V3, t(V3)= t(a) + I(av3)= 1 (最小),T2 = av3)2.A = a, vs, bf Vi, b： v23.m2 = 1t a3= Vi, t(vi) = t(a) + l(avi) = 2 (最小)，T3 = av3, avi2 A3= at V3, W, bl3 V2, b23

6、V2,b33)V43. m3 = 3, a4 = V4, t(V4)= t(v” + I(V1V4) = 3 (最小),丁4 = av3, avi, V1V42.A4= a, V3, Vi, V4 . bK4)=V2. b2(4) =V2, b3=V2, t)4 =V53.m4 = 4, as = V5, t(Vs) = t(V4)+ I(V4V5) = 6 (最小)，Ts= aVa, aVi, Vi V4, V4V52.A5= a, V3, Vi, V4, Vs . bi(5)=V2, b25) =V2, b3 =V2 , b4(s)=V2, b护= V23.ms = 4, t(V2) =

7、t(V4)+ I (V4V2) = 7 (巔小),Te= aVa, aVi, V1V4, VWs, V4V22.A6= a, V3, Vi, V4,V5, V2, bz = V6, b4=b, b7(z)=b3.m7= 7, as= b, t(b) = t(V6)+ l(veb) = 11 (最小)，Te= aVa, aVi, V1V4, VWs, V4V2, V2V6, Veb于是知a与b的距离d(a, b) = t(b) = 112006研究生图论期末试题（120分钟）一、填空题35分，每空1分）1、 若两个图的顶点与顶点之间，边与边之间都存在 对应，而且它们的关联关系也保持其 关系，则这

8、两个图同构。2、 完全图心的生成树的数目为 ;阶为6的不同构的树有 棵。3、 设无向图G有12条边，已知G中度为3的结点有6个，其余结点的度数均小于3,则G中至少有 个结点。4、具有5个结点的自补图的个数有 01010111015、已知图G的邻接矩阵A （G） o1011 ,顶点集合 V(G) W.V2.V3, V4,V1010101111则由V到V的途径长度为2的条数为 6、若Kn为欧拉图，则 n二 ；若Kn仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路，则7、无向完全图Kn （n为奇数），共有 条没有公共边的哈密尔顿圈。8、设G是具有二分类（X,丫）的偶图，贝UG包含饱和X的每个顶点的匹配当且仅当 ,对所有

9、SX。9、 在有6个点。12条边的简单连通平面图中，每个面均由 条边组成。10.彼德森图的点色数为 ;边色数为 :点独立数为 V, E的补图是（）二、单选或多选题（15分，每題3分）1.设 V 1,2,345. E (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1),则图 GV1V2 3、下列图中的（V4D）图，V到V4是可达的。V3V2BV1V1 V44、下列图中，可4一因子分解的是（V2V35、下列优化问题中，存在好算法的是 （ ）（A）最短路问题；（B）最小生成树问题；（C） TSP问题；（D）最优匹配问题.三、作图题O0分）1、 分别作岀满足下列条件的图（1）v E图但非H图；

10、（2） H图但非E图；（3）既非H图又非E图；（4）既是H图又是E图2、 画出度序列为（3,2,2,1,1,1）的两个非同构的简单图。五、给出一个同构函数证明 Gi G2（10分）G2六、 若图G为自补图，那么，它的阶n_负 宀心主斗川-十土力。彳从卫卡 甘+I.斗池定能够表亦为4 k或者4k 1的形式，其中k为非 整数。而且，图G的边有，呦。条。4 （5 分）七、 设T为一棵非平凡树，度为i的顶点记为m,则m 2 n3 2n4 （k2） n”（10分）八、 证明：阶数为8的简单偶图至多有16条边（5分）九、 设图G有10个4度顶点和8个5度顶点，其余顶点度数均为 7。求7度顶点的最大数虽，使

11、得G保持其可平面性（10分）十、求图G的色多项式（10分）电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ,共 小时）课程名称图论及其应用教师 学时60学分教学方式 讲授 考核日期2007年 月 日成绩考核方式： （学生填写）填空题（每题2分，共12分）1.简单图G二（n,m）中所有不同的生成子图（包括G和空图）的个数个；2.设无向图G二（n,m）中各顶点度数均为3,且2n=m+3则3.一棵树有ni个度数为i的结点，匸2,3,k,贝y它有 个度数为1的结点；下边赋权图中，最小生成树的权值之和为5、某年级学生共选修9门课。期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要天才能考

12、完这9门课。二.单项选择(每题2分，共10分)1.下面给岀的序列中，不是某简单图的度序列的是 ()(A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D)(1333).2.F列图中，是欧拉图的是03.下列图中，不是哈密尔顿图4下列图中，是可平面图的图的是(三、(8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树四，用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友 数相同（10分）5.（10分）设G为n阶简单无向图，n2且n为奇数，G与G的补 图G中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论6.(10分)设G是具有n个顶点的无向简单图，其边数m!(n1)(n 2)2,证明证明

13、G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n给出个图，使它具有n个顶点，m(n1)(n2)1条边，但不是哈密尔顿图。七、(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师，要承担语文、数学、物 理、化学、英语五门课程。已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程，钱熟 悉语文、数学、物理、英语四门课程，孙、李、周都只熟悉数学和物理图G两门课程。问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课 程，使得 每门课程都有人教，说明理由八、(10分)设G是具有n个顶点，m条边，P(P2)个连通分支的平面图，G的每个面至少由k ( k 3)条边所围成，则k(n p 1)9.(40分)求下图G的色多项式Fk(G).十、（10分）（

14、1）、在一个只有2个奇度点的边赋权图中，如何构造 一个最优欧拉环游？说明理由；（2）、在一个边赋权的哈密尔顿图中，如何估计其最优哈密尔顿圈的权值之和的下界？电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ,共_2_小时）课程名称图论及其应用教师 学时50学分教学方式 进授 考核日期2008年 月 日成绩考核方式： （学生填写）填空题（鱷2分，共20分）1.若n阶单图G的最大度是，则其补图的最小度（G）=2.若图G （mm） , G2 （压口 2）,贝卩它们的联图G GiG2的顶点；边数二3.G是一个完全I部图，n是第i部的的顶点数匸1 , 2,3,1。则它的边数为5.若 GKn,贝I G 的谱 spe

15、c(G) ；6.5个顶点的不同构的树的棵数为 ;7.5阶度极大非哈密尔顿图族是 ;8.G为具有二分类(X,Y)的偶图，贝S G包含饱和X的每个顶点的匹配的充分必要条件是 9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为 ; 3阶以上的极大外平面图的每个内部面的次数为 10.n方体的点色数为 ;边色数为 。二.单项选择(每题3分，共12分)1.下面给出的序列中，不是某图的度序列的是 0(A)(33323); (B) (12222); (C) (5533); (D) (1333).2.设 V(G)= 1,2,3,4,5 , E(G) (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)则图 G (V.

16、E)的补图是03.又是哈密尔顿图的是下列图中，既是欧拉图()(C)4.下列说法中不正确的是()(A)每个连通图至少包含一棵生成树；(B)k正则偶图(k0) 定存在完美匹配；(C)平面图G (G*)*，其中G*表示G的对偶图;(D)完全图心可一因子分解。三、(10分)设图G的阶为14,边数为27, G中每个顶点的度只可能为3,4或5,且G有6个度为4的顶点。问G中有多少度为3的顶点？多少度为5的顶点?四，（10）证明：每棵非平凡树至少有两片树叶（10分）5.（10分）今有a,b,c,d,e,f,g七个人围圆桌开会，已知：a会讲英语，b会讲英语和汉语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日 语和汉语

17、，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会 讲法语与德语。给出一种排座方法，使每个人能够和他身边的人交流（用图论方法求解）。6.（10分）设丨是赋权完全偶图G二（V.E）的可行顶点标号，若标号 对应的相等子图G含完美匹配则是G的最优匹配。7.（10分）求证：在n阶简单平面图G中有2n4,这里是G 的面数。八、（10分）来自亚特兰大，波士顿,芝加哥，丹佛，路易维尔,迈阿密，以 及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每支队都被安排与一些 其它队比赛（安排如下所示）。每支队同一天最多进行一场比赛。建 立一个具有最少天数的比赛时间表。亚特兰大：波士顿，芝加哥，迈阿密， 纳什维尔 波士顿：

18、亚特兰大,芝加哥，纳什维尔 芝加哥：亚特兰大，波士 顿，丹佛，路易维尔 丹佛：芝加哥，路易维尔,迈阿密，纳什维尔 路易维 尔：芝加哥，丹佛，迈阿密迈阿密：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔纳什维尔：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密（要求用图论方法求解）9.（8分）求下图G的色多项式R （G）.电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ,共_2_小时）课程名称图论及其应用教师 学时_60学分_教学方式进授考核日期_2009年月 日成绩 考核方式： （学生填写）题1.填空题（每题2分，共20分）院 1若自补图G的顶点数是10,则G的边数m（G）= ;学二答 2.若图Gt（m,mi） , G2（n2,m

19、2）,则它们的积图GGG2的顶点数= ；边数二 ;3.子图个数为具有m条边的简单图的4 .设G二心则其最大特征值为 ；5.设G是n阶的完全I等部虱 则其边数m（G）- 6.下图Gi中最小生成树的权值为 ；图Gi7.6阶度极大非哈密尔顿图族是 ;8.心的2因子分解的数目是 ;9.n （n3）阶极大外平面图内部面个数为 ;3阶以上的极大平面图的边数m和顶点数n的关系为 ；10.下图G的点色数为 ;边色数为 o二 单项选择（每题3分，共12分）1.F面给出的序列中，不是某图的图序列的是()(A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333).2.下列有向图

20、中是强连通图的是()0 0 0 (A) (B) (C) (D)3.关于n方体Q(n 3),下面说法不正确的是()(A)Qn是正则图；(B)Qn是偶图；(C)Qn存在完美匹配；(D)Qn是欧拉 图。4.关于平面图G和其几何对偶图G的关系，下列说法中不正确的是0(A)平面图G的面数等于其对偶图的顶点数；(B)平面图G的边数等于其对偶图的边数；(C)平面图G (G*)*，其中G*表示G的对偶图；(D)平面图的对偶图是连通平面图。三、(10分)设根树T有仃条边，12片树叶，4个4度内点，1个3度内 点，求T的树根的度数。四，（10分）证明：若图G的每个顶点的度数为偶数，则G没有割边。5.（10分）设G

21、是一个边赋权完全图。如何求出G的最优哈密尔顿圈的权值的一个下界？为什么？6.（10分）求证：偶图G存在完美匹配的充要条件是对任意的 s V（G）,有 S N（S）(103,七.分）求证：若G是连通平面图，且所有顶点度数不小于 则G至少有一个面f,使得deg(f) 5。八、（10分）一家公司计划建造一个动物园，他们打算饲养下面这些 动 物：狒狒（b）、狐狸、山羊（g）、土狼（h）、非洲大羚羊（k）、狮 子（I）、豪猪（p）、兔子（r）、齣籍（s）、羚羊（w）和斑马（2）。根据经验，动物 的饮食习惯为：狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊（幼年）、兔子和齣 體；狐狸喜欢吃山羊、豪猪、兔子和 齣籍；土狼喜欢吃

22、山羊、非洲大 羚羊、羚羊和斑马；狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；豪猪 喜欢吃齣籍和 兔子；而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。 公司将饲养这些动物，希望它们能自由活动但不能相互捕食。求这些 动物的一个分组，使得需要的围栏数最少。（要求用图论方法求解）九(8分)求下图G的色多项式R(G).电子科技大学研究生试卷(考试时间：至,共_2_小时)课程名称图论及其应用教师 学时60学分教学方式讲授 考核日期2010年 月 日成绩考核方式：(学生填写)填空题(每题2分，共20分)1.若自补图G的顶点数是n,则G的边数m(G)=2.若图G! (mm), G2 (n2.m2),贝卩它们的联图G

23、G G2的顶点；边数二3下图G中U与V间的最短路的长度为Gi4 设A佝)rw是图G的推广的邻接矩阵，则A佝,Q)nn(k是正整的表示的意义为5设 GKn,贝 S G 的谱 SpecA(G)二6设8阶图G中没有三角形，则G能够含有的最多边数为 ; 7.三角形图的生成树的棵数为 8.G2的点连通度与边连通度分别为 ;9.n=5的度极大非H图族为 ；10.n方体(n 1)的点色数为 ；边色数为 o2.单项选择(每题3分，共12分)1.下面命题正确的是()(A)任意一个非负整数序列均是某图的度序列；(B)设非负整数序列 (di,d2tL,dn),贝S是图序列当且仅当 口厲为m偶数；(C)若非负整数序列

24、 (dl,d2,L,dn)是图序列，则 对应的不同构的图一定唯一；(D)n阶图G和它的补图G有相同的频序列.2.下列有向图中是强连通图的是()0 0 0(A)欧拉图一定是哈密尔顿图；(B)哈密尔顿图一定是欧拉图；(C)存在既不是欧拉图又不是哈密尔顿图的图；(D)欧拉图与哈密尔顿图都可以进行圈分解。4.下列说法中正确的是()(A)任意一个图均存在完美匹配；(B)k(kl)正则偶图一定存在完美匹配；(C)匈牙利算法不能求出偶图的最大匹配，只能用它求偶图的完美匹配；(D)图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子。三、(10分)若阶为25且边数为62的图G的每个顶点的度只可能为3,4, 5或6,且有

25、两个度为4的顶点，门个度为6的顶点，求G中 5度顶点的个数。四，（8分）求下图的最小生成树（不要求中间过程，只要求画出小生成树，并给出T的权和）5.（8分）求下图的k色多项式。6.（8分）设G是一个边赋权完全图。如何求出G的最优哈密尔顿圈的权值的一个下界？为什么？7.（8分）求证：设Gl是赋权完全偶图G Kn.n的可行顶点标号I对应的相等子图，若M是G的完美匹配，则它必为G的最优匹配。8.(8分)求证：若n为偶数，且(G)号则G中存在3因子。九、(10分)一家公司计划建造一个动物园，他们打算饲养下面这些 动物：狒狒(b)、狐狸(f)、山羊(g)、土狼(h)、非洲大羚羊(k)、狮 子(I)、 豪

26、猪(p)、兔子(r)、齣體(s)、羚羊(w)和斑马。根据经验，动物的饮食 习惯为：狒狒喜欢吃山羊、非洲大羚羊(幼年)、兔子和齣 體；狐狸 喜欢吃山羊、豪猪、兔子和齣籍；土狼喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚 羊和斑马；狮子喜欢吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑马；豪猪喜欢吃齣 體和兔子；而其余的则喜欢吃虫子、蚯蚓、草或其它植物。公司将饲养 这些动物，希望它们能自由活动但不能相互捕食。求这些动物的一个 分组，使得需要的围栏数最少。(要求用图论方法求解)十.（8分）求证，每个5连通简单可平面图至少有12个顶点电子科技大学研究生试卷(考试时间： 至 ,共_2_小时)课程名称图论及其应用教师 学时60学分教学方式讲

27、授 考核日期20年 月 日成绩考核方式：(学生填写)填空题(每空1分，共22分)1 .若n阶单图G的最小度是，则其补图的最大度(G)=2.若图G(mm) , G2 (说),则它们的积图GGiG?的顶点数；边数二3.设A是图G的推广邻接矩阵，则A的)行)列元q(1)等于由G中顶点V到顶点Vj的长度为 的途径数目。完全图Kn的邻接矩阵的最大特征值为5. 不同构的3阶单图共有 个。6.设n阶图G是具有k个分支的森林，则其边数m(G)7.n阶树(n 3)的点连通度为 ；边连通度为色数为 ；若其最大度为，则边色数为8. 图G是k连通的，则G中任意点对间至少有 条内点不交9.5阶度极大非哈密尔顿图族为10

28、.完全图n能够分解为 个边不箱交的一因子之并。11.设连通平面图G具有5个顶点，9条边，则其面数为n(n 3)阶极大平面图的面数等于 ; n(n3)阶极大外平面图的顶点都在外部面边界上时，其内部面共有 o12.完全偶图K甸的点独立数等于 ，点覆盖数等于13.完全m元根树有t片树叶，i个分支点，则其总度数为14.对具有m条边的单图定向，能得到 个不同的定向图。二.单项选择(每题3分，共15分)1.下面给岀的序列中，不是某图的度序列的是 ()(A) (135,4,7); (B) (2,2,2,2,2); (C) (3,2,3,3); (D)(1,5,7,1).2.下列无向图G (nm)定是树的是0

29、(A)连通图；(B)无回路但添加一条边后有回路的图；(C)每对结点间都有路的图；(D)连通且m n 1。3.以下必为欧拉图的是()(A)顶点度数全为偶数的连通图;(B)奇数顶点只有2个的图；（C）存在欧拉迹的图；（D）没有回路的连通图。4. 设G是n（n 3）阶单图，则其最小度 卫是G为哈密尔顿图的（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充分必要条件5.下列说法正确的是（）（A） 非平凡树和n（n2）方体都是偶图；（B） 任何一个3正则图都可1 因子分解；（C） 可1 因子分解的3正则图中一定存在哈密尔顿圈；（D） 平面图G的对偶图的对偶图与G是同构的。三、（10分）设无向图G有12条边，且度数为3的结点有6个，其 余 结点的度数小于3,求G的最少结点个数。四，（12分）在下面边赋权图中求：（1）每个顶点到点a的距离（只 需要把距离结果标在相应顶点处，不需要写出过程 ）；（2）在该图中求出一棵最