初二上学期全等三角形专题之半角模型教案有答案.docx
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初二上学期全等三角形专题之半角模型教案有答案
半角模型
互动精讲
【知识梳理】
半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）
（2）外夹（90°角不完全包含45°
1、90°夹45°
（1）内夹（90°角完全包含45°角）
角）
【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M,N分别是直线CB、DC上的动点，ZMAN=45°。
（1）当ZMAN交边CB、DC于点H、N（如图①）时，线段B\I、DN和MN之间有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明；
（2）当ZMAN分别交边CB,De的延长线于点M/N时（如图②），线段BH,DN和MN之间的乂有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明。
MΛr
（2）DN一BAI=MN.
理由如下：
如图，在DC上截取DF=BM,连接AF.
VAB=AD,Bxf=^ADF=90λI
・・・^ABM^^ADF（SAS）
：
.AM=AFtZAfAB=ZFAD・
・・.ΔMA13+ZZ?
/IF=ΔFAD^BAF=9Oc.
即ZMAF=ZBAD=9（『・
又ZMTIN=45。
，
.∖^NAF=ΛMAN=45∖
・・・AN=ANJ
・・・ΔFAN・
・・.MN=FNI
即MN=DN一DF=DN-BM；
例2、在等边AABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、X,D为AABC外一点，且ZMDN二60°,ZBDC=I20o,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.
（I）如图1,当点M、N边AB、Ae上，且DM二DN时，BM、NC.MN之间的数量关
系是;此时—=;
L
（II）如图2,点M、\边AB、AC±,且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论
还成立吗？
写出你的猜想并加以证明;
（IlI）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=λ,则Q二
（用八L表示）•
（3）如图,当M-V分别在AB.CT的延长线上时,若.LV=z,
SMQ=2了+話（用八Z表示）・
3
解:
⑴如图,BAf、NC、M之间的数屋关系
DM+NC=
此时Q=?
L3
（2）猜想:
结论仍然成立.
证明:
如图,延长.1C至&使CE=I3M.连接DE
在厶MDN与厶EDy中：
（D-W=DE
IDN=DN
所以V空I）X（SAS）-
所以对.\「=NE=.VC+〃対・Δ.43∕.V的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+ΠM）
=（∕LV/+BM）+（/LV+NC）
=AB+AC
=2A1L
而等边△ABCm长L=3.4B.
因为=CDIS.DC=120°
所以ZDBC=厶DCB=30°又因为Δ.1BC是等边三角形，所以ΛMΓ3D=ZLNCD=90°.
在厶MBD与厶ECD中：
（BM=CE
<Δ∖il3D-AECU
IBD=Dc
所以△MliL）≤^ECD（SAS）-
所以D.”=DE^BDM=ACDE1所以ZEZZY=乙BDC-ZA/P.V=60°
【课堂练习】
1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG丄EF于G,若Z
EAF=45o,求证：
AG=ADO
延长CD到使DM=BEI连接AMI
∙.∙四边形ABCD^AE方形，
・•・AB=ADyΔB=ZADF=^ADM=ZBAD=90°r
・・・ZEAF=45°.
.∖ΛBAE+^DAF=45qt
在MBE和ZXADF中
{
AB=AD
^B=ΔADF
BE=DF
.∖ΔABE丝ΔADFI
∙∙∙ZDAM=ZBAEtAE=AM,
・•・ZFAM=ZDAF+ZDAM=ZjDAF+ΔBAE=45°=Z.EAF
^ΔEAF和ZkMAF中
{
AE=AM
LEAF=AMAF
AF=AF
.∖ΔEAF^ΔMAFt
.∙∙EF=MF,SbEAF=SIMAFF
.∖^EF×AG≈^MF×ADt
Z厶
.∖AG=AD.
2、已知：
∆ABC是等边三角形，ΔBDC是等腰三角形，其中ZBDC=I20°,过点D作ZEDF=60°,分别交AB于E,交AC于F,连接EF.
（1）若BE二CF,求证：
①Z∖DEF是等边三角形；②BE+CF二EF.
（2）
若BE≠CF,即E、F分别是线段AB,AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？
λaNBD^∙FCD（SAS）,/-DN=DFrZNDB=ZFDCr∙.zEDB=ZFDCZλzEDB=zBDN=zFDC,∙.zBDC=120ofZEDF=60%λzEDB÷zFDC=60%λzEDB÷zBDN=60%即ZEDF=ZEDN,在AEDN和、EDF中
λδ∈dN^EDF（SAS）,
.∙.EF=EN=BE+BN=BE+CF,
（1）证明：
延长AB到N•使BN=CFZ连接DN,
VMBC是等边三角形，
∙∙.ZABC=ZACB=60。
，
∙"DBC是等腰三角形，ZBDC=I20°,
/.zDBC=zDCB=30or
.∖zACD=zABD=30o+60o=90of
在AEBD和TCD中
I
BE=CF
ZEBD=ZFCD
BD=DC
∙,EBD^FCD（SAS）,
/.ED=DF,
√zEDF=60ef
•行EDF是等边三角形，
EBD^FCDl
即^EDF是等边三角形，BE÷CF=EF.
/.zEDB=ZFDCf
（2）BE÷CF=EF还成立，理由是：
延长AB到N,使BN=CF,连接DN,TAABC是等边三角形，/.ZABC=ZACB=6O∖
∙.∙δDBC是等腰三角形,ZBDC=I20of
/.zDBC=zDCB=30o,
/.zACD=zABD=30o+60o=90o=zNBDZ
•・•在二NBD和AFCD中
I
BD=DC
ZNBD二ZFCD二90°
BN=CF
•••△NBD即FCD（SAS）,ADN=DFjZNDB=ZFDCiVZBDC=I20%ZEDF=60or
AZEDB+zFDC=60%λzEDB+zBDN=60oz即ZEDF=ZEDN,在©EDN和吒DF中
课堂检测
1、
（1）如图1、在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=I20o,ZB=ZADC=90o,E、
F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=60°,探究图中的线段BE、EF、FD之间的数量关系
（2）如图2,在四边形ABCD中，AB二AD,ZB+ZADC=180o,且ZEAF二丄ZBAD,
2
探究图中的线段BE、EF、FD之间的数量关系
（1）延长FD至G,使得GD=BE,再连接AG
图①豳
（I）EF二BE+DFf
理由如下：
K^AnE^^ADG中.
（DG=BE
{ZB=ZADG=90。
r
IAB^AD
ΔABE^ΔADG（SAS）t
.∖AE=AGfG]AE=∕DAG.
-ZEAF≈^BADi
ΛΔGAF=ΔDAG^ΔDAF=LBAE.
+ZDAF=LBAD一ZEAF=ZEAF
.∖ZEAF=ZGAFI
在AAEF和AGAF中.
（AE^AG
{ΛEAF≈ΛGΛFt
[af≈λf
AEF^^AGF（SAS）9
.・・EF=FG.
∙.∙FG=DG+DF=BE+DFt
.・・EF=BE+DF；
故答案为：
EF=BE+DF・
（2）结论EF=BE+DF仍然成⅛;
理由：
延长FD到点G•使DG=BE.连结AGt如图2,
2、如图，在正方形月砲中，点E尸分别为万Gzr边上的点，且满足DF+BBEF。
求证：
Z£45=45°
证明诞长CD到点G,使D（；=BE旌接AG则MBE仝ΔADG
.∖AG=AE,ΔBAE=ZDAG
.∖ΔEΛD+ΔDAG=ZEAD+ZB八E=90°即ZEAG
∖DF+BE=EF
∙.EF=DG
∖AF=AF
.∖ΔEAF=厶GAF（SSS）
.∖ΔEΛF=ZCAF=:
ZEAG=；×90o=15°
课后作业
1、如图，D为等边AABC外一点，且BD=CD,ZBDC=I20°,点M、N分别在AB、
AC上，若ZMDN=60oo
求证：
（1）BM+CN=MN;
（2）MD、ND分别平分ZBMX、ZCNMO
2、如图，四边形月砲为正方形（各边相等，各内角为直角），E是庞边上一点,F是G?
上的一点。
（1）若近的周长等于正方形初G?
的周长的一半，求证：
ZEAF=^O
⑵在
（1）的条件下，若DF=2、CF=^CEf求△/!
厅的面积
・・・四^ABCD是励形,.∖LBAD=/LABE=ΔADF=90"iAB=BC=CD=ADt
ΛZAPG=90°,
•：
'CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半,
・•・CE+CF^EF=CD+BCt：
.DF+BE=EFI
.・•DF+DG=EF,即GF=EFl
（AB=AD
在'ABE和MDG中，｛ZABE=ZADG=90'
∖BE=DG
.∖^ABEHADG（SAS）t
・・・AE=AGlZBAE=ZDAGI
.∖ZEAG=9OQf
AE=AF
ΔAEFfQΔAGF中，｛GF=EF9
AF=AF
••.△AEF仝△△GF（SS®Z
・•・/LEAF=LGAF=∣×90°=45°；
（2）∖∙DF=2.CF=4tCE=Zt
λAB=AD=CD=BC=2+4=6IBE=BC-CE=3.由⑴得：
ΔAEF的面积=AAGF的面积
=△>!
BE的面积+ΔADF的面积
=专x6×3+-^×6×2
Z厶
=15f
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