分式知识点及题型总结超好用.docx

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分式知识点及题型总结超好用

分式知识点及题型总结超好用

　　分式知识点及题型

　　一、分式的定义：

　　一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式有关的条件

　　①分式有意义：

分母不为0　　②分式无意义：

分母为0③分式值为0：

分子为0且分母不为0

　　B0A0A0

　　或）B0B0A0A0

　　或）

　　B0B0

　　④分式值为正或大于0：

分子分母同号

　　⑦分式值为-1：

分子分母值互为相反数

　　三、分式的基本性质

　　分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

　　AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。

BBCBBC拓展：

分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：

　　AAAABBBB注意：

在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

　　四、分式的约分

　　1．定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2．步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

　　3．注意：

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

　　②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

　　4．最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：

　　1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

　　3）如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

　　五、分式的通分

　　1．定义：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

　　2．最简公分母：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：

　　1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

　　第1页/共2页

　　3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：

　　acacbdbdacadad分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：

　　bdbcbc分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

　　ana②分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子表示为：

n

　　bb③分式的加减法则：

同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为：

　　nababcccacadbc异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：

　　bdbd整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式。

　　再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

　　先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

　　注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对

　　有无错误或分析出错的原因。

　　加减后得出的结果一定要化成最简分式。

七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指

　　数幂一样适用。

即：

　　amanamn　　amnnnamnabanbn　　amanamn

　　1anan0n　　ana0）　　a1

　　abb其中m，n均为整数。

　　八、分式方程的解的步骤：

　　⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

　　⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

　　如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

　　产生增根的条件是：

①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

　　九、列分式方程——基本步骤：

①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程。

④解—解出方程。

注意检验⑤答—答题。

　　第2页/共2页

　　分式典型例题

　　一、分式

　　从分数到分式

　　题型1：

考查分式的定义

　　9a15例：

下列式子中，、8a2b、-23xya5ab3a2b2、、2xy42、2-a1、m5xy、

　　6

　　1x1、2x213xy、、

　　2

　　、

　　3、xy1中分式的个数为　　2　　3　　4　　（D）　　5m练习题：

下列式子中，是分式的有　　.

　　2x7x15a2⑴；⑵；⑶

　　x523a下列式子，哪些是分式？

　　；⑷

　　x2x2b2

　　；⑸2

　　b

　　；⑹

　　xy2x2y2.

　　a3y3；2；5x4y

　　；

　　7x8；

　　1bxxy；.

　　45x2y题型2：

考查分式有，无意义，总有意义

　　使分式有意义：

令分母≠0按解方程的方法去求解；使分式无意义：

令分母=0按解方程的方法去求解；

　　注意：

　　2x11有意义；　　例2：

分式中，当x____时，分式没有意义x52x1x例3：

当x　　时，分式2有意义。

　　例4：

当x　　时，分式2有意义

　　x1x1例1：

当x　　时，分式例5：

x。

　　y满足关系　　时，分式

　　xy无意义；xy例6：

无论x取什么数时，总是有意义的分式是

　　2xx3xx5　　B.　　C.　　D.

　　2x1x21x31x2x例7：

使分式有意义的x的取值范围为A．x2B．x2

　　x2A．

　　例8：

要是分式

　　C．x2D．x2

　　x2没有意义，则x的值为A.2　　B.-1或-3　　C.-1　　

　　（x1）（x3）题型3：

考查分式的值为零的条件

　　第3页/共2页

　　使分式值为零：

令分子=0且分母≠0，注意：

当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

　　12a例1：

当x　　时，分式

　　a1例3：

如果分式

　　x21

　　的值为0　　例2：

当x　　时，分式的值为0

　　x1

　　a2a2的值为为零,则a的值为（）　　A.

　　2　　C.2D.以上全不对

　　x2x例4：

能使分式2的值为零的所有x的值是

　　x1A

　　x0　　Bx1Cx0或x1Dx0或x1

　　x29例5：

要使分式2的值为0，则x的值为或-3　　C.-3　　D2

　　x5x6例6：

若

　　a10,则a是（　　）A.正数　　B.负数　　C.零　　D.任意有理数a4为正；8x题型4：

考查分式的值为正、负的条件

　　【例】当x为何值时，分式

　　当x为何值时，分式当x为何值时，分式

　　5x3（x1）2为负；

　　x2

　　为非负数.x3

　　二、分式的基本性质

　　题型1：

分式的基本性质的应用

　　分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

　　例1：

　　AACBBCC0AACBBCxy6x（yz）5（3a1）5成立,则a的取值范围是________；；；如果27（3a1）7aabyyz3（yz）ab2例2：

33（ab例3：

如果把分式

　　1）　　

　　a2babbca（bc）

　　中的a和b都扩大10倍，那么分式的值

　　A、扩大10倍　　B、缩小10倍　　C、是原来的20倍　　D、不变

　　例4：

如果把分式

　　10x中的x，y都扩大10倍，则分式的值xy110A．扩大100倍　　B．扩大10倍　　C．不变　　D．缩小到原来的

　　第4页/共2页

　　例5：

如果把分式

　　xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值xyA、扩大2倍；　　B、扩大4倍；　　C、不变；　　D缩小2倍例6：

若把分式

　　x3y2x的x、y同时缩小12倍，则分式的值

　　A．扩大12倍B．缩小12倍C．不变

　　例7：

若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是

　　3xA、

　　2y3x　　B、

　　2y23x2　　C、

　　2y3x3　　D、

　　2y2

　　a可变形为abaaaaA　　B　　C　　D　　

　　abababa　　；例9：

不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数。

　　xx例10：

不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，=　　。

　　1xx2例8：

根据分式的基本性质，分式

　　题型2：

分式的约分及最简分式

　　①约分的概念：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分②分式约分的依据：

分式的基本性质．

　　③分式约分的方法：

把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．④约分的结果：

最简分式

　　约分主要分为两类：

第一类：

分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

　　第二类：

分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

　　例1：

下列式子

　　babaabxy1xyxy1；；；中正确的是22caacabxyxyxyxyA、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个例2：

下列约分正确的是

　　x6xyxy12xy2130；　　C、2A、2x；　　B、；　　D、2

　　xyxxxyx4xy2例3：

下列式子正确的是（　　）A

　　yzyzcdcdcdcd2xyay00　　B.1　　C.　　D.

　　xxxaaaay2xy例4：

下列运算正确的是

　　aa241111a2aA、B、　　C、2　　D、ababxx22mmmbb例5：

下列式子正确的是

　　bb2A．2aa

　　B．

　　aba3b0　　C．1　　D．

　　abab2ab第5页/共2页

　　分式知识点及题型

　　一、分式的定义：

　　一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子二、与分式有关的条件

　　①分式有意义：

分母不为0　　②分式无意义：

分母为0③分式值为0：

分子为0且分母不为0

　　B0A0A0

　　或）B0B0A0A0

　　或）

　　B0B0

　　④分式值为正或大于0：

分子分母同号

　　⑦分式值为-1：

分子分母值互为相反数

　　三、分式的基本性质

　　分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

　　AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。

BBCBBC拓展：

分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：

　　AAAABBBB注意：

在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

　　四、分式的约分

　　1．定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2．步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

　　3．注意：

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

　　②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

　　4．最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法：

　　1）系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2）取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

　　3）如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

　　五、分式的通分

　　1．定义：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

　　2．最简公分母：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：

　　1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

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　　3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则：

　　acacbdbdacadad分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：

　　bdbcbc分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

　　ana②分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子表示为：

n

　　bb③分式的加减法则：

同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为：

　　nababcccacadbc异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：

　　bdbd整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式。

　　再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

　　先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

　　注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对

　　有无错误或分析出错的原因。

　　加减后得出的结果一定要化成最简分式。

七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指

　　数幂一样适用。

即：

　　amanamn　　amnnnamnabanbn　　amanamn

　　1anan0n　　ana0）　　a1

　　abb其中m，n均为整数。

　　八、分式方程的解的步骤：

　　⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

　　⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

　　如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

　　产生增根的条件是：

①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

　　九、列分式方程——基本步骤：

①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程。

④解—解出方程。

注意检验⑤答—答题。

　　第2页/共2页

　　分式典型例题

　　一、分式

　　从分数到分式

　　题型1：

考查分式的定义

　　9a15例：

下列式子中，、8a2b、-23xya5ab3a2b2、、2xy42、2-a1、m5xy、

　　6

　　1x1、2x213xy、、

　　2

　　、

　　3、xy1中分式的个数为　　2　　3　　4　　（D）　　5m练习题：

下列式子中，是分式的有　　.

　　2x7x15a2⑴；⑵；⑶

　　x523a下列式子，哪些是分式？

　　；⑷

　　x2x2b2

　　；⑸2

　　b

　　；⑹

　　xy2x2y2.

　　a3y3；2；5x4y

　　；

　　7x8；

　　1bxxy；.

　　45x2y题型2：

考查分式有，无意义，总有意义

　　使分式有意义：

令分母≠0按解方程的方法去求解；使分式无意义：

令分母=0按解方程的方法去求解；

　　注意：

　　2x11有意义；　　例2：

分式中，当x____时，分式没有意义x52x1x例3：

当x　　时，分式2有意义。

　　例4：

当x　　时，分式2有意义

　　x1x1例1：

当x　　时，分式例5：

x。

　　y满足关系　　时，分式

　　xy无意义；xy例6：

无论x取什么数时，总是有意义的分式是

　　2xx3xx5　　B.　　C.　　D.

　　2x1x21x31x2x例7：

使分式有意义的x的取值范围为A．x2B．x2

　　x2A．

　　例8：

要是分式

　　C．x2D．x2

　　x2没有意义，则x的值为A.2　　B.-1或-3　　C.-1　　

　　（x1）（x3）题型3：

考查分式的值为零的条件

　　第3页/共2页

　　使分式值为零：

令分子=0且分母≠0，注意：

当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

　　12a例1：

当x　　时，分式

　　a1例3：

如果分式

　　x21

　　的值为0　　例2：

当x　　时，分式的值为0

　　x1

　　a2a2的值为为零,则a的值为（）　　A.

　　2　　C.2D.以上全不对

　　x2x例4：

能使分式2的值为零的所有x的值是

　　x1A

　　x0　　Bx1Cx0或x1Dx0或x1

　　x29例5：

要使分式2的值为0，则x的值为或-3　　C.-3　　D2

　　x5x6例6：

若

　　a10,则a是（　　）A.正数　　B.负数　　C.零　　D.任意有理数a4为正；8x题型4：

考查分式的值为正、负的条件

　　【例】当x为何值时，分式

　　当x为何值时，分式当x为何值时，分式

　　5x3（x1）2为负；

　　x2

　　为非负数.x3

　　二、分式的基本性质

　　题型1：

分式的基本性质的应用

　　分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

　　例1：

　　AACBBCC0AACBBCxy6x（yz）5（3a1）5成立,则a的取值范围是________；；；如果27（3a1）7aabyyz3（yz）ab2例2：

33（ab例3：

如果把分式

　　1）　　

　　a2babbca（bc）

　　中的a和b都扩大10倍，那么分式的值

　　A、扩大10倍　　B、缩小10倍　　C、是原来的20倍　　D、不变

　　例4：

如果把分式

　　10x中的x，y都扩大10倍，则分式的值xy110A．扩大100倍　　B．扩大10倍　　C．不变　　D．缩小到原来的

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　　例5：

如果把分式

　　xy中的x和y都扩大2倍，即分式的值xyA、扩大2倍；　　B、扩大4倍；　　C、不变；　　D缩小2倍例6：

若把分式

　　x3y2x的x、y同时缩小12倍，则分式的值

　　A．扩大12倍B．缩小12倍C．不变

　　例7：

若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是

　　3xA、

　　2y3x　　B、

　　2y23x2　　C、

　　2y3x3　　D、

　　2y2

　　a可变形为abaaaaA　　B　　C　　D　　

　　abababa　　；例9：

不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数。

　　xx例10：

不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，=　　。

　　1xx2例8：

根据分式的基本性质，分式

　　题型2：

分式的约分及最简分式

　　①约分的概念：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分②分式约分的依据：

分式的基本性质．

　　③分式约分的方法：

把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．④约分的结果：

最简分式

　　约分主要分为两类：

第一类：

分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

　　第二类：

分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

　　例1：

下列式子

　　babaabxy1xyxy1；；；中正确的是22caacabxyxyxyxyA、1个　　B、2个　　C、3个　　D、4个例2：

下列约分正确的是

　　x6xyxy12xy2130；　　C、2A、2x；　　B、；　　D、2

　　xyxxxyx4xy2例3：

下列式子正确的是（　　）A

　　yzyzcdcdcdcd2xyay00　　B.1　　C.　　D.

　　xxxaaaay2xy例4：

下列运算正确的是

　　aa241111a2aA、B、　　C、2　　D、ababxx22mmmbb例5：

下列式子正确的是

　　bb2A．2aa

　　B．

　　aba3b0　　C．1　　D．

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