全国卷高考理科数学试题分析.docx

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全国卷高考理科数学试题分析

I.总体评价

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷遵循课程标准版《考试大纲》和《考试说明》的各项要求，注重考试内容的基础性、综合性，同时注重考查考生独立思考、运用数学方法和手段分析问题、解决问题的能力.试题涉及的内容广泛，基本覆盖了中学数学所学的主干内容.试卷在结构上与往年相比保持稳定，在试题难度上与往年相比有一定的调整，并且针对不同地区考生的特点，合理控制试卷难度，难易适度，既有利于不同水平的考生能力的发挥，有较好的信度，又有很好的区分度，有利于高校选拔优秀人才.试卷秉承中学数学教学重视对考生数学素养培养的原则，考查考生的基本数学素养和探究意识，重在引导考生对数学应用价值和文化价值的更深层次的思考，激发考生学习数学的兴趣,对中学数学教学有较好的导向作用.试题科学、规范，设问新颖、灵活，答案和评分参考准确、合理.试卷有利于高校选拔新生,有利于中学实施素质教育.

一、立足基础知识，考查主干内容

2018年理科数学试卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能和基本方法，如理科数学全国I、口、皿卷的第1一7题和第13、14、17题都是直接考查基础知识和基本方法的试题.此外，试卷还注重对高中所学内容的全面考查，集合、复数、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查，选修内容继续以选考题的形式出现，突出了新课程的选择性.在此基础上，试卷还强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性.如在解答题中重点考查了函数与导数的应用、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆、圆锥曲线等主干内容.

二、注重能力立意，突出通性通法

2018年的理科数学试卷以能力立意为核心，坚持多角度、多层次地考査考生的数学能力.推理论证能力、空间想象能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力在试卷中都得到了较好的体现.如理科数学全国I卷第7、12、18题，理科数学全国II卷第9、16、20题，理科数学全国ID卷第3、10、19题重点考査了考生的空间想象能力；理科数学全国I卷第3、20题，理科数学全国II卷第18题，理科数学全国DI卷第8、18题考查了考生利用概率统计思想解决实际问题的能力；理科数学全国I、口卷第19.21,23题，理科数学全国皿卷第20,21.23题考査了考生的推理论证能力、运算求解能力和探究能力.

2018年的数学试卷注重对数学通性通法的考查，命题时以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，通过做这道题让考生掌握解决这一类问题的通用方法.如理科数学全国DI卷第21题给出了一种新的证明一点为函数极值点的方法；理科数学全国I卷第18题,理科数学全国II卷第20题,理科数学全国Hl卷第19题考查求直线与平面、平面与平面所成角的一般方法;特别是理科数学全国II卷第21题考査了化归与转化的思想方法，揭示了如何利用辅助函数研究函数性质的方法.

三、创新题型设计，考查数学素养

2018年的数学试卷注重创新题型设计，综合、灵活地考査考生的数学素养.试卷中问题情境更加丰富，设问方式更加新颖，既有利用生活情境、素材考查考生空间想象能力的试题，也有利用数学原理说明所釆用方法合理性的说明题，还有利用数学知识建立数学模型解决实际问题的建模题.如理科数学全国I卷第20题着眼于产品检验的质量及成本控制建立数学模型，向考生展示了问题的提出、模型的建立、数据的整理与分析、统计与概率知识的应用，直至问题的解决的全过程；理科数学全国I卷第10题基于古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，理科数学全国II卷第8题则以我国数学家陈景润取得了世界领先成果的哥德巴赫猜想为背景，这些试题在弘扬中国传统文化的同时，注意吸收世界数学文化的精华，既打上中华文化的烙印，又有西方数学的特点，引导考生胸怀祖国，放眼世界，引导考生通过了解数学文化,体会数学知识方法在认识现实世界中的重要作用，突出了传承中华优秀传统文化的重要意义；理科数学全国HI卷第3题要求考生利用棒

卯结构的样头想象卯眼的俯视图，设问方式新颖，不落俗套，打破了常规的三视图试题的设计形式，用全新的命题方式设计了试题;理科数学全国n卷第is题要求考生利用所学知识说明用哪种线性回归模型合理;理科数学全国I卷第3题要求考生读懂“饼图”，考査考生准确利用所学知识学习新知识的能力.

四、贴近生活实践，体现应用价值

2018年的数学试题紧密结合社会实际和考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强应用性的特点.2018年的数学试题涉及新农村建设、产品检验、环境基础设施投资、移动支付、工厂技术创新等背景，试题情境丰富,贴近考生，贴近生活，具有浓厚的时代气息，设计的问题自然却不乏新意，使考生体会到数学知识与现实生活息息相关,在工作与生活中有着广泛而又重要的应用，体现了课程标准注重情感态度价值观、过程、实践与能力的教学理念，对培养考生形成自觉应用数学知识指导社会实践的意识，提高考生的综合实践能力起着很好的促进作用，对提高考生进一步学习数学的兴趣起着积极的推动作用，对中学数学教学起着积极的引导作用.如理科数学全国I卷第20题以工农业生产经营中，提高产品质量、降低生产和经营成本为背景，着眼于“最小化检验成本”的决策问题设计和设问，考査的统计与概率知识丰富，设计的问题有重要的现实意义；理科数学全国I卷第3题从社会生活的真实背景出发命制试题，给出一种课本中没有介绍的新的统计图——饼图，图文并茂，要求考生读懂统计图的内容，解读统计图，并从中提取信息，达到考査考生学习新知识的能力，注重对统计学的核心素养和能力的考査，很好地体现了“素质教育”的基本理念，在引导中学加强学科核心素养、数学应用能力和应用意识的培养等方面具有很好的引导作用；理科数学全国皿卷第18题，以新时代大众创业、万众创新的背景下工厂进行技术革新、改进生产方式为素材命制，具有强烈的时代感、浓厚的生活气息，体现了数学应用的与时俱进、新时代、新特点，体现了以学生发展为本、立德树人、提升素养的基本理念，在体现统计与概率知识应用魅力的同时，传递了正能量.

U.试题分析

全国I卷

一、选择题

1.设zm=+2i,则Izl

1+1

握情况.考生只需按照复数加法、乘法运算法则化简复数，然后就可求出复数的模.

所以选C.

思路2

1+i1+i1+i

l-l+il=72,ll+il=V2,

T+i~（i+i）（i-i）~i+i

1—i

1,

z=+2i=-i+2i=i,Izl=

1+i'

利用复数运算法则将复数转化为一个分式形式，分式形式的复数的模为分子的模与分母的模的商，从而得到结论.

利用复数运算法则化简可得

1-il-i+2i-2-1+i

+2i==,

所以

-1+i

1+i

故选C.

【答案】C

【试题评价】试题以复数的代数表示法和基本运算作为考査的重点，体现了新课程标准对复数这部分内容的要求.只要考生掌握了复数的基本概念和基本运算方法，完全可以正确作答.本题有多种解法，考查内容回归教材，计算量小，具有很好的对复数这部分内容教学的导向作用.试题面向全体考生，有利于考生消除紧张情绪，增强考试信心，对考生在考试中正常发挥起到了重要的作用.

2.已知集合A={x\x2-x-2>0}，则抑=

A.\x\-l

C.1x\x<-1[U!

xIx>2}D.\x\x^-l\\J\x\x^2\

【考查目标】本题主要考查集合的表示方法和集合补集的概念及运算，同时也考查一元二次不等式解集的计算方法.

【命制过程】试题以一元二次不等式的解集为背景，考査考生对集合有关概念、集合表示形式的理解，以及对集合补集运算的掌握情况.

【解题思路】思路1直接求解不等式的解集.

由已知得

x2-x~2=（x-2）（x+1）>0,解得x>2或x<-1,

故

于是

故选B.

A=|xlx<-lIUjx\x>2},

Cr4=

思路2根据一元二次函数的性质解答.

本题可以不具体解出不等式的解集，通过分析和逻辑推理得到结论.一元二次函数的二次项系数为1>0,且对应的一元二次方程有两个实根们，外（们5）,所以从函数图像上可得集合A=\xlx2-x-2>0\必然是（-8,气）和（％,+8）的并集，于是Cr4为在两个实根中间部分的实数，而且包含两个实根.通过分析本题的选项，只有选项B满足条件，于是Cr4=I先IT

故选B.

思路3特殊值法.

因为x=0不满足x2-x-2>0,所以0金4,故0eCRA.选项C和D不正确.

因为％=-1不满足x2-x-2>0,所以-1任4,故-leC".选项A不正确.

故选B.

思路4直观法与特殊值法相结合.

由题设知,^A=\x\x2-x-2>0\的补集.又集合A必为开集，所以R4是闭集，选项A和C不正确.因为x=0不满足x2-x-2>0,所以0磋4,故0eCRA.

故选B.

【答案】B

【试题评价】集合是数学的基础.试题以考生最熟悉的知识呈现，入手宽泛，体现面向全体考生、注重考査基础知识的特点，考生只要对所涉及的数学对象有基本的认知就可以正确作答.试题借助考生熟悉的一元二次不等式的解集作为背景，考生作答的方法多样.数学能力较强的考生可以通过简单的计算和逻辑推理得到正确选项，减少计算量；数学能力一般的考生也可以按部就班地计算出结果.这有利于稳定考生的心态，增强考生的考试信心和获得感，对考生在考试中正常发挥起到了重要的作用.

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【考查目标】本题考査统计图的应用，考查考生“读图识图”的能力和从统计图中提取信息的能力.

【命制过程】整理和显示统计数据是统计学的重要内容.利用统计图显示数据是数据处理的重要技术手段，各种统计图有其适用场景和独特作用.比如，在显示总体中各种组成成分所占比例方面，饼图具有简单、直观、易懂等方面的优势.试题以“农村的经济收入”这一考生熟悉的生活情境，设计了显示农村经济收入构成比例的饼图，要求考生读懂统计图，并从统计图中获得相关的信息.本题注重对考生应用意识和能力的考查.

【解题思路】根据新农村建设前后农村经济收入构成比例的饼图，可以看出新农村建设后种植收入在经济收入中所占比例减少了，由新农村建设前的60%下降到新农村建设后的37%.由于农村的经济收入增加了一倍，因此种植收入还是增加了，所以选项A符合题目要求，故选A,对选项B,从饼图可以看岀其他收入在经济收入中所占比例由新农村建设前的4%增加到新农村建设后的5%,再结合题目给出的信息:

经济收入增加了一倍，可知其他收入在新农村建设后增加了一倍以上，因此选项B中给出的结论是正确的，故选项B不符合题目要求.类似地可分析出选项C、D不符合题目要求.

【答案】A

【试题评价】试题源于生活，贴近考生，为考生所熟悉；选项的设置通俗易懂,有利于考生分析问题和解决问题.利用统计图显示数据既简单又直观.图形技术是统计学和大数据科学的重要内容，其在探索数据的结构、挖掘数据的规律、提取数据的信息等方面都有着重要应用.通过对数据的整理，选取合适的统计图显示数据，解读统计图，并从中提取信息是统计学的核心素养之一.试题以考生熟悉的生活情境，设计了显示新农村建设前后农村的经济收入构成比例的两个饼图，考查考生解读统计图以及提取信息的能力，重点考查了统计学的核心素养，考生在此过程中还能真切体会到统计学中图形技术的作用与魅力，在提高学生学习数学与统计学的兴趣，引导中学加强学科核心素养的培养，提高学生的数学应用能力和应用意识等方面具有很好的引导作用.另外，通过对新农村建设前后农村经济数据的分析，展示了我国新农村建设的成就，传递了正能量，很好地体现了“立德树人”的教育理念.

4.记S”为等差数列I的前几项和.若3S3=S2+S4,Ol=2,则.=

A.-12B.-10C.10D.12

【考查目标】本题考查等差数列的概念、通项公式与前“项和公式等基础知识，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【命制过程】求解等差数列或等比数列的试题，关键在于能根据已知条件先确定等差数列的首项和公差或等比数列的首项和公比.该类试题通常题干有几个相互独立的已知条件，将这些已知条件通过一些基本公式或常见关系式，如数列通项％的公式、前□项和S,的公式、S,w及S“-Sz=a〃等，转换为数列基本量（首项、公比和公差）之间的方程或方程组，再通过解方程或方程组就可以完全确定所求的等差数列或等比数列.本题直接给出了等差数列的首项,再通过S2,S3和S4的相互关系间接确定了公差，通过解方程可解出等差数列的公差，从而进一步通过等差数列的通项公式求解本题，得到结论.

【解题思路】思路1由等差数列的前"项和公式

C丄，心-1）丿

S„=na,+—-—d,

得S2=2

53=3。

［+3d,

54=4a（+6d.

因为3S3=S2+S4,所以

9©+9d=6。

］+7d,

又a,=2,故d=-3,从而由等差数列的通项公式an=a.+（n-l）6/得

a5=a1+4

思路2利用Sn-Sz=an^3S3=S2+S4得（S4-S3）-（S3-S2）=S3,即a4-a3=S3=d.

因为S3=3%,所以

d=3（al+d）.

又a.=2,故d=-3,从而由等差数列的通项公式an=a^（n-l）d得

a5=。

]+4J=-10,故选B.

思路3利用等差数列的性质“在等差数列中，若p+q=k+l,则％+%=%+虻解题.根据此性质可得

S4=«]+a2+a3+a4=2（a2+a3）.

因^3S3=S2+S4,所以

3（aj+a2+a3）=（+a2）+2（a2+a3）,化简得a3=-2aI.

由a[+as=2a3得a5=-5ar

又％=2,所以a5=-10,故选B.

思路4因为本题只涉及前2、3、4项的和，不涉及复杂运算，故可直接由数列前n项和的定义Sn=a1+a2+--+an,得

=G1+。

29

S3=a1+a2+a3,

S4—ai+a2'^a3'*'a4,

因为3S3=S2+S>所以

3（a,+a2+a3）=（+a2）+（a（+a2+a3+a4）,化简得

a（+a2+2a3=a4.

由等差数列的通项公式an=a.+（n-l）J得

4a,+5（/=aI+3d・

又a,=2,故d=-3,从而由等差数列的通项公式％=Q|+（hl）d得

-a5=O|+4J=-10,

故选B.

思路5本题也可以使用排除法，验证每个选项.

7

当a,=2且a,=-12时，可得公差d=~—，此时

S2=y,S3=-y，S4=-13,

不满足题设3S3=S2+S4；

当a,=2且但=-10时，可得公差d=-3,此时$2=1,S3=-3,S4=-10,满足题设3S,=S2+S4；

当a,=2且a5=10时，可得公差d=2,此时

S2=6,S3=12,$4=20,不满足题设3S3=S2+S4；

当少=2且％=12时，可得公差-=：

，此时

1327

$2=歹，‘3=亍S‘=23,

不满足题设3S3=S2+S4.

所以a，=-10,选B.

【答案】B

【试题评价】等差数列的概念、通项公式及前几项和公式是本题的主要考査点，这些知识点属于新课程标准对数列这部分内容的基本要求.试题考查考生借助基本量（首项与公差）求解等差数列的能力，考查的内容是数列的基础知识，题干形式是考生熟悉的，试题所求结论也是考生常见的.求解试题可用的方法较多，但不同方法能很好地区分各个层次考生的逻辑思维能力.试题出现在基本题部分，可以有效缓解考生刚开始考试时的紧张情绪，有利于增强考生的考试信心,有助于考生正常发挥.

5.设函数/（x）=x3+（a-1）x2+ax.若为奇函数，则曲线/=/（”）在点（0,0）处的切线方程为

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y-x

【考查目标】试题以函数的应用为背景，考査考生对函数奇偶性、导数几何意义的理解与掌握程度，考査考生灵活运用知识分析函数性质的能力和计算能力.

【命制过程】试题选取一个带参数的三次函数作为载体来考查函数的奇偶性，要求考生能正确理解奇函数的概念，求出参数的值，再求函数的导数，从而写出要求的切线方程.

（解答思路】思路1由于/■（/）是奇函数，故

/*（—1）=1），即—1+（a—1）—a=—1—（a~1）—a,

解得a=l,所以f（x）=x3+X,B.f'M=3x2+l,从而广（0）=1,得所求切线方程为尸％,故选D.

思路2对参数a进行讨论.

若a尹1,得a-17^0,/（x）=x3+（a-l）x2+ax不是奇函数.

若a=1,得a-1=0,/（x）=x3+x是奇函数.

故a=l,f（x）=x3+x,且尸"）=3必+1,从而尸（0）=1,得所求切线方程为y=x,故选D.

思路3本题也可以使用排除法，验证每个选项.

由f'（x）=3x2+2（a-l）x+a,得尸（0）=a,故切线方程应为y=ax.若a=-2,f（x）=x3-3x2-2x不是奇函数，故A错误.

若a=-l,f（x）=x3-2x2-x不是奇函数，故B错误.

若a=2,f（x）=x3+x2+2x不是奇函数，故C错误.

若a=l,f（x）=x3+x是奇函数，故D正确.

故选D.

【答案】D

【试题评价】试题以函数的奇偶性为问题背景，考查了函数的奇偶性和函数导数的几何意义.试题面向全体考生，题目简单，计算量小，侧重对基础知识和必备能力的考査，主要考査了考生对基本概念的理解程度，考查了考生的运算求解能力和逻辑推理能力.

6.在ZUBC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则扇=

3一1—>A.—AB——AC

1—►3—►B.—AB―AC

44

44

3—►1—►

C.—48—AC

44

1—>3—>D.—AB+—AC44

【考查目标】本题考査平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量的基本定理以及平面向量的几何意义等基本知识，考査数形结合的数学思想方法，同时也考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【命制过程】向量是研究数学和其他科学的有力工具.向量方法是解决数学问题的一类重要方法，在几何的研究中有很重要的作用，通过数形结合可以将几何问题和代数问题有机地结合在一起，既可以通过代数运算来得到几何中的位置关系和距离等，也可以通过几何直观验证代数运算的结果.试题考査了向量的概念、向量的方向及长度、向量的代数运算、向量的几何意义等知识点.这些都是向量的基本内容.试题解题方法多种多样，考生可以利用向量的几何意义和代数运算求解，也可以建立直角坐标系通过解析法来求解，还可以利用从特殊到一般的数学思想方法来解题，不同思维能力层次的考生可以通过不同的思路、利用不同的方法来解决问题.

【解题思路】思路1由E为AD的中点，可得

——►]-►1——►

BE-—BA+—BD.①

22

因为AD为BC边上的中线，所以说=!

尻.

又BC=BA+AC，所以BD=^-（BA+AC），代入①得

►1►1►1►1►►BE=一BA+—BD=一BA+—（BA+AC）

2224

3一1—►

=—BA+—AC.

44

因为

BA=-AB,BE=-EB,

——►3—►1―►

所以EB=—AB~AC.

44

思路2通过建系方法求解.

由已知，以。

为坐标原点，边8C所在的直线为，轴，DC的长为单位长度建立直角坐标系，如下图所示.设点，4的坐标为（*o，，o），则点B,C,D,E的坐标分别为

（-1,0）,（1,0）,（0,0）,

从而

蠢（一号-孔

届=（-1-%0，-*0），

4C=（1-%0，-打）.

设EB=X届+产屁,从而得方程组

x0

1=A•（-1-x0）+/i.（1~x0）,

y。

z

~=A•（-&）+冋•（-y（））,

31

解得a=—,/x=_y,

——►3―►1-►所以EB=-AB-—AC.

44

思路3通过建系并取特殊三角形的方法求解.

类似思路2,建立直角坐标系并取△ABC为等腰三角形.不妨设点A,B,C,D,E的坐标分别为（0,4）,（-3,0）,（3,0）,（0,0）,（0,2）,从而兩=（-3,-2），届=（-3,-4）,那=（3,-4）.

设疏=入届+旧屁,从而得方程组

_3=-3入+3“，

-2=-4A-4jLt,

所以

【答案】A

【试题评价】试题不偏不怪，能够有效考査考生对向量基础知识和基本方法的掌握程度，同时也可以考查考生将数与形有机结合的能力，重点是考査考生将向量知识迁移到几何情境中的能力，对知识的考查侧重于理解和应用，符合《考试大纲》对向量基本概念和基本运算的考査要求.试题可以通过多种解法解答，强调的是通性通法，大部分考生对试题的情境都很熟悉，也都能上手解题，但不同能力水平的考生答题所需的时间和运算的复杂程度大不相同，能很好地区分考生的数学能力和思维水平.本题作为选择题的第6题，考查的是主干知识，但仍然强调基础，有效稳定了考生的情绪，对考生在考试中正常发挥起到了重要的作用，让考生有分数的获得感和学习的成就感.

7.

某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为4,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A.2717B.2^/5C.3D.2

【考查目标】本题考查考生对三视图的基础知识和基本方法的掌握与应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力.试题让考生通过对三视图的观察分析和直观想象，构建该三视图所对应的空间几何体，从而实现考査考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，以及数学思维的严密性和应用意识的目的；让考生通过探究圆柱侧面展开图与圆柱三视图之间的关系，重点考查考生的空间想象能力和应用能力.

【命制过程】有关三视图的基本问题一般有两类：

一类是根据给

定的空间几何体（或物体模型），画出该几何体（或模型）的三视图；另一类是已知某几