1、全国卷高考理科数学试题分析I .总体评价2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷遵循课程 标准版考试大纲和考试说明的各项要求,注重考试内容的基础 性、综合性,同时注重考查考生独立思考、运用数学方法和手段分析问 题、解决问题的能力.试题涉及的内容广泛,基本覆盖了中学数学所学 的主干内容.试卷在结构上与往年相比保持稳定,在试题难度上与往年 相比有一定的调整,并且针对不同地区考生的特点,合理控制试卷难 度,难易适度,既有利于不同水平的考生能力的发挥,有较好的信度,又 有很好的区分度,有利于高校选拔优秀人才.试卷秉承中学数学教学重 视对考生数学素养培养的原则,考查考生的基本数学素养和探究意识
2、, 重在引导考生对数学应用价值和文化价值的更深层次的思考,激发考 生学习数学的兴趣,对中学数学教学有较好的导向作用.试题科学、规 范,设问新颖、灵活,答案和评分参考准确、合理.试卷有利于高校选拔 新生,有利于中学实施素质教育.一、 立足基础知识,考查主干内容2018年理科数学试卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技 能和基本方法,如理科数学全国I、口、皿卷的第1一7题和第13、14、 17题都是直接考查基础知识和基本方法的试题.此外,试卷还注重对 高中所学内容的全面考查,集合、复数、线性规划、平面向量、算法、二项 式定理、排列组合等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查,选修 内容继续以选考
3、题的形式出现,突出了新课程的选择性.在此基础上, 试卷还强调对主干内容的重点考查,体现了对数学知识考查的全面性、 基础性和综合性.如在解答题中重点考查了函数与导数的应用、三角 函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆、圆锥曲线等主干内容.二、 注重能力立意,突出通性通法2018年的理科数学试卷以能力立意为核心,坚持多角度、多层次 地考査考生的数学能力.推理论证能力、空间想象能力、探究能力、分 析问题和解决问题的能力在试卷中都得到了较好的体现.如理科数学 全国I卷第7、12、18题,理科数学全国II卷第9、16、20题,理科数学全 国ID卷第3、10、19题重点考査了考生的空间想象能力;理科数学
4、全国 I卷第3、20题,理科数学全国II卷第18题,理科数学全国DI卷第8、 18题考查了考生利用概率统计思想解决实际问题的能力;理科数学全 国I、口卷第19.21,23题,理科数学全国皿卷第20,21.23题考査了考 生的推理论证能力、运算求解能力和探究能力.2018年的数学试卷注重对数学通性通法的考查,命题时以一道题 为载体,呈现给考生的是一类题,通过做这道题让考生掌握解决这一类 问题的通用方法.如理科数学全国DI卷第21题给出了一种新的证明 一点为函数极值点的方法;理科数学全国I卷第18题,理科数学全国 II卷第20题,理科数学全国Hl卷第19题考查求直线与平面、平面与平 面所成角的一般
5、方法;特别是理科数学全国II卷第21题考査了化归与 转化的思想方法,揭示了如何利用辅助函数研究函数性质的方法.三、创新题型设计,考查数学素养2018年的数学试卷注重创新题型设计,综合、灵活地考査考生的 数学素养.试卷中问题情境更加丰富,设问方式更加新颖,既有利用生 活情境、素材考查考生空间想象能力的试题,也有利用数学原理说明所 釆用方法合理性的说明题,还有利用数学知识建立数学模型解决实际 问题的建模题.如理科数学全国I卷第20题着眼于产品检验的质量 及成本控制建立数学模型,向考生展示了问题的提出、模型的建立、数 据的整理与分析、统计与概率知识的应用,直至问题的解决的全过程; 理科数学全国I卷第
6、10题基于古希腊数学家希波克拉底所研究的几 何图形,理科数学全国II卷第8题则以我国数学家陈景润取得了世界 领先成果的哥德巴赫猜想为背景,这些试题在弘扬中国传统文化的同 时,注意吸收世界数学文化的精华,既打上中华文化的烙印,又有西方 数学的特点,引导考生胸怀祖国,放眼世界,引导考生通过了解数学文 化,体会数学知识方法在认识现实世界中的重要作用,突出了传承中华 优秀传统文化的重要意义;理科数学全国HI卷第3题要求考生利用棒 卯结构的样头想象卯眼的俯视图,设问方式新颖,不落俗套,打破了常 规的三视图试题的设计形式,用全新的命题方式设计了试题;理科数学 全国n卷第is题要求考生利用所学知识说明用哪种
7、线性回归模型合 理;理科数学全国I卷第3题要求考生读懂“饼图”,考査考生准确利 用所学知识学习新知识的能力.四、贴近生活实践,体现应用价值2018年的数学试题紧密结合社会实际和考生的现实生活,体现了 数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值,体现了高考改革中加 强应用性的特点.2018年的数学试题涉及新农村建设、产品检验、环境 基础设施投资、移动支付、工厂技术创新等背景,试题情境丰富,贴近考 生,贴近生活,具有浓厚的时代气息,设计的问题自然却不乏新意,使考 生体会到数学知识与现实生活息息相关,在工作与生活中有着广泛而 又重要的应用,体现了课程标准注重情感态度价值观、过程、实践与能 力的教学理念
8、,对培养考生形成自觉应用数学知识指导社会实践的意 识,提高考生的综合实践能力起着很好的促进作用,对提高考生进一步 学习数学的兴趣起着积极的推动作用,对中学数学教学起着积极的引 导作用.如理科数学全国I卷第20题以工农业生产经营中,提高产品 质量、降低生产和经营成本为背景,着眼于“最小化检验成本”的决策 问题设计和设问,考査的统计与概率知识丰富,设计的问题有重要的现 实意义;理科数学全国I卷第3题从社会生活的真实背景出发命制试 题,给出一种课本中没有介绍的新的统计图饼图,图文并茂,要求 考生读懂统计图的内容,解读统计图,并从中提取信息,达到考査考生 学习新知识的能力,注重对统计学的核心素养和能力
9、的考査,很好地 体现了“素质教育”的基本理念,在引导中学加强学科核心素养、数学 应用能力和应用意识的培养等方面具有很好的引导作用;理科数学全 国皿卷第18题,以新时代大众创业、万众创新的背景下工厂进行技术 革新、改进生产方式为素材命制,具有强烈的时代感、浓厚的生活气 息,体现了数学应用的与时俱进、新时代、新特点,体现了以学生发展为 本、立德树人、提升素养的基本理念,在体现统计与概率知识应用魅力 的同时,传递了正能量.U.试题分析全国I卷一、选择题1.设 zm=+2i,则 Izl1 +1握情况.考生只需按照复数加法、乘法运算法则化简复数,然后就可求 出复数的模.所以选C.思路21+i 1+i 1
10、+il-l+il =72 , ll+il =V2,T+i(i+i)(i-i) i+i1 i1,z = +2i = -i+2i = i, Izl =1+i 利用复数运算法则将复数转化为一个分式形式,分式形 式的复数的模为分子的模与分母的模的商,从而得到结论.利用复数运算法则化简可得1-i l-i+2i-2 -1+i +2i = = ,所以-1+i1+i故选C.【答案】C【试题评价】试题以复数的代数表示法和基本运算作为考査的 重点,体现了新课程标准对复数这部分内容的要求.只要考生掌握了 复数的基本概念和基本运算方法,完全可以正确作答.本题有多种解 法,考查内容回归教材,计算量小,具有很好的对复数这
11、部分内容教学 的导向作用.试题面向全体考生,有利于考生消除紧张情绪,增强考试 信心,对考生在考试中正常发挥起到了重要的作用.2.已知集合A=xx2-x-20,则抑=A.x -lx2f B.C. 1 xx2 D. xx-l J xx2【考查目标】本题主要考查集合的表示方法和集合补集的概念 及运算,同时也考查一元二次不等式解集的计算方法.【命制过程】试题以一元二次不等式的解集为背景,考査考生对 集合有关概念、集合表示形式的理解,以及对集合补集运算的掌握情况.【解题思路】思路1直接求解不等式的解集.由已知得x2-x2= (x-2) (x+1)0,解得 x2 或 x-1,故于是故选B.A= |xlx2
12、,Cr4 =思路2根据一元二次函数的性质解答.本题可以不具体解出不等式的解集,通过分析和逻辑推理得到结 论.一元二次函数的二次项系数为10,且对应的一元二次方程有两个 实根们,外(们5),所以从函数图像上可得集合A=xlx2-x-20必 然是(-8 ,气)和(,+8 )的并集,于是Cr4为在两个实根中间部分的 实数,而且包含两个实根.通过分析本题的选项,只有选项B满足条 件,于是Cr4= I先IT故选B.思路3特殊值法.因为x = 0不满足x2-x-20,所以0金4,故0 eCRA.选项C和D 不正确.因为 = -1不满足x2-x-20,所以-1任4,故-leC.选项A不 正确.故选B.思路4
13、直观法与特殊值法相结合.由题设知,A=xx2-x-20的补集.又集合A必为开集,所以 R4是闭集,选项A和C不正确.因为x = 0不满足x2-x-20,所以 0磋4,故 0 e CR A.故选B.【答案】B【试题评价】集合是数学的基础.试题以考生最熟悉的知识呈 现,入手宽泛,体现面向全体考生、注重考査基础知识的特点,考生只要 对所涉及的数学对象有基本的认知就可以正确作答.试题借助考生熟 悉的一元二次不等式的解集作为背景,考生作答的方法多样.数学能 力较强的考生可以通过简单的计算和逻辑推理得到正确选项,减少计 算量;数学能力一般的考生也可以按部就班地计算出结果.这有利于 稳定考生的心态,增强考生
14、的考试信心和获得感,对考生在考试中正常 发挥起到了重要的作用.3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该 地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收 入的一半【考查目标】本题考査统计图的应用,考查考生“读图识图”的能 力和从统计图中提取信息的能力.【命制过程】整理和显示统计数据是统计学的重要内容.利用统 计图显示数据是数
15、据处理的重要技术手段,各种统计图有其适用场景 和独特作用.比如,在显示总体中各种组成成分所占比例方面,饼图具 有简单、直观、易懂等方面的优势.试题以“农村的经济收入”这一考生 熟悉的生活情境,设计了显示农村经济收入构成比例的饼图,要求考生 读懂统计图,并从统计图中获得相关的信息.本题注重对考生应用意 识和能力的考查.【解题思路】根据新农村建设前后农村经济收入构成比例的饼 图,可以看出新农村建设后种植收入在经济收入中所占比例减少了,由 新农村建设前的60%下降到新农村建设后的37%.由于农村的经济收 入增加了一倍,因此种植收入还是增加了,所以选项A符合题目要求, 故选A,对选项B,从饼图可以看岀
16、其他收入在经济收入中所占比例由 新农村建设前的4%增加到新农村建设后的5%,再结合题目给出的信 息:经济收入增加了一倍,可知其他收入在新农村建设后增加了一倍以 上,因此选项B中给出的结论是正确的,故选项B不符合题目要求.类 似地可分析出选项C、D不符合题目要求.【答案】A【试题评价】试题源于生活,贴近考生,为考生所熟悉;选项的设 置通俗易懂,有利于考生分析问题和解决问题.利用统计图显示数据 既简单又直观.图形技术是统计学和大数据科学的重要内容,其在探索 数据的结构、挖掘数据的规律、提取数据的信息等方面都有着重要应 用.通过对数据的整理,选取合适的统计图显示数据,解读统计图,并从 中提取信息是统
17、计学的核心素养之一 .试题以考生熟悉的生活情境,设 计了显示新农村建设前后农村的经济收入构成比例的两个饼图,考查 考生解读统计图以及提取信息的能力,重点考查了统计学的核心素养, 考生在此过程中还能真切体会到统计学中图形技术的作用与魅力,在 提高学生学习数学与统计学的兴趣,引导中学加强学科核心素养的培 养,提高学生的数学应用能力和应用意识等方面具有很好的引导作用. 另外,通过对新农村建设前后农村经济数据的分析,展示了我国新农村 建设的成就,传递了正能量,很好地体现了“立德树人”的教育理念.4.记S”为等差数列I 的前几项和.若3S3=S2+S4,Ol=2,则.=A. -12 B. -10 C.
18、10 D. 12【考查目标】 本题考查等差数列的概念、通项公式与前“项和公 式等基础知识,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.【命制过程】求解等差数列或等比数列的试题,关键在于能根据 已知条件先确定等差数列的首项和公差或等比数列的首项和公比.该 类试题通常题干有几个相互独立的已知条件,将这些已知条件通过一 些基本公式或常见关系式,如数列通项的公式、前项和S,的公 式、S,w 及S“-Sz=a等,转换为数列基本量(首项、公比和公差)之 间的方程或方程组,再通过解方程或方程组就可以完全确定所求的等 差数列或等比数列.本题直接给出了等差数列的首项,再通过S2,S3和 S4的相互关系间接确定了公差,
19、通过解方程可解出等差数列的公差, 从而进一步通过等差数列的通项公式求解本题,得到结论.【解题思路】思路1由等差数列的前项和公式C 丄,心-1)丿S=na,+-d,得 S2 = 2i+d,53= 3。 +3d,54= 4a( +6d.因为3S3=S2+S4,所以9 +9d = 6。 +7d,又a,=2,故d = -3,从而由等差数列的通项公式an=a. + (n-l)6/得a5 =a1+4所以3(a, +a2+a3) = (+a2) +(a( +a2+a3+a4), 化简得a( +a2 +2a3 =a4.由等差数列的通项公式an=a. + (n-l)J得4a, +5(/ = aI +3d又a,
20、=2,故d = -3,从而由等差数列的通项公式 =Q|+(hl)d得- a5 =O| +4J = -10,故选B.思路5本题也可以使用排除法,验证每个选项.7当a, =2且a, = -12时,可得公差d = ,此时S2=y, S3 = -y,S4 = -13,不满足题设3S3=S2+S4;当a,=2且但=-10时,可得公差d = -3,此时 $2 = 1, S3 = -3, S4 = -10, 满足题设3S, = S2+S4;当a,=2且a5 = 10时,可得公差d = 2,此时S2 = 6, S3 =12, $4 = 20, 不满足题设3S3 =S2+S4 ;当少=2且 = 12时,可得公差
21、- = :,此时13 27$2=歹,3=亍 S = 23,不满足题设3S3 = S2+S4.所以a,=-10,选B.【答案】B【试题评价】 等差数列的概念、通项公式及前几项和公式是本题 的主要考査点,这些知识点属于新课程标准对数列这部分内容的基本 要求.试题考查考生借助基本量(首项与公差)求解等差数列的能力, 考查的内容是数列的基础知识,题干形式是考生熟悉的,试题所求结论 也是考生常见的.求解试题可用的方法较多,但不同方法能很好地区分 各个层次考生的逻辑思维能力.试题出现在基本题部分,可以有效缓 解考生刚开始考试时的紧张情绪,有利于增强考生的考试信心,有助于 考生正常发挥.5.设函数/(x)
22、= x3 + ( a - 1 ) x2+ax.若为奇函数,则曲线/= /(”)在点(0,0)处的切线方程为A. y = -2x B. y=-x C. y=2x D. y-x【考查目标】试题以函数的应用为背景,考査考生对函数奇偶 性、导数几何意义的理解与掌握程度,考査考生灵活运用知识分析函数 性质的能力和计算能力.【命制过程】试题选取一个带参数的三次函数作为载体来考查 函数的奇偶性,要求考生能正确理解奇函数的概念,求出参数的值,再 求函数的导数,从而写出要求的切线方程.(解答思路】思路1由于/(/)是奇函数,故/*( 1) = 1),即 1 + ( a 1) a = 1 ( a 1) a,解得a
23、=l,所以f(x)=x3+X,B.fM=3x2 + l,从而广(0)=1,得所求切 线方程为尸,故选D.思路2对参数a进行讨论.若 a尹 1,得 a-1 70,/(x) = x3 +(a-l)x2 +ax 不是奇函数.若 a = 1,得 a-1 =0,/(x) = x3+x 是奇函数.故a =l,f(x)=x3+x,且尸)=3必+ 1,从而尸(0)= 1,得所求切线 方程为y=x,故选D.思路3本题也可以使用排除法,验证每个选项.由 f(x)= 3x2+2(a-l)x+a,得尸(0)= a,故切线方程应为 y = ax. 若a = -2,f(x) = x3-3x2-2x不是奇函数,故A错误.若
24、a = -l ,f(x) = x3-2x2-x不是奇函数,故B错误.若a = 2,f(x) = x3+x2+2x不是奇函数,故C错误.若a=l,f(x) = x3+x是奇函数,故D正确.故选D.【答案】D【试题评价】试题以函数的奇偶性为问题背景,考查了函数的奇 偶性和函数导数的几何意义.试题面向全体考生,题目简单,计算量小, 侧重对基础知识和必备能力的考査,主要考査了考生对基本概念的理 解程度,考查了考生的运算求解能力和逻辑推理能力.6.在ZUBC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则扇=3 一 1 A. ABAC1 3 B. ABAC4 44 43 1 C. 48AC441 3 D.
25、AB+AC 4 4【考查目标】本题考査平面向量的概念、平面向量的运算、平面 向量的基本定理以及平面向量的几何意义等基本知识,考査数形结合 的数学思想方法,同时也考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.【命制过程】向量是研究数学和其他科学的有力工具.向量方法 是解决数学问题的一类重要方法,在几何的研究中有很重要的作用,通 过数形结合可以将几何问题和代数问题有机地结合在一起,既可以通 过代数运算来得到几何中的位置关系和距离等,也可以通过几何直观 验证代数运算的结果.试题考査了向量的概念、向量的方向及长度、向 量的代数运算、向量的几何意义等知识点.这些都是向量的基本内容. 试题解题方法多种多样,考生可
26、以利用向量的几何意义和代数运算求 解,也可以建立直角坐标系通过解析法来求解,还可以利用从特殊到一 般的数学思想方法来解题,不同思维能力层次的考生可以通过不同的 思路、利用不同的方法来解决问题.【解题思路】 思路1由E为AD的中点,可得 - 1BE-BA+BD. 22因为AD为BC边上的中线,所以说=!尻.又BC = BA+AC,所以BD = -(BA+AC),代入得 1 1 1 1 BE = 一BA +BD = 一BA + (BA+AC)22 2 43一 1 =BA+AC.44因为BA = -AB, BE=-EB, 3 1 所以 EB=ABAC.4 4思路2通过建系方法求解.由已知,以。为坐标
27、原点,边8C所在的直线为,轴,DC的长为单 位长度建立直角坐标系,如下图所示.设点,4的坐标为(*o,o),则点 B,C,D,E的坐标分别为(-1,0), (1,0), (0,0),从而蠢(一号-孔届=(-1-%0,-*0),4C=( 1-%0,-打).设EB = X届+产屁,从而得方程组x0 1 = A ( -1 -x0 ) +/i . (1 x0),y。 z = A (-&)+冋 (-y(),31解得 a=, /x=_y, 3 1 - 所以 EB = -AB-AC.44思路3通过建系并取特殊三角形的方法求解.类似思路2,建立直角坐标系并取ABC为等腰三角形.不妨设点 A,B,C,D,E 的
28、坐标分别为(0,4), (-3,0),( 3,0),(0,0),(0,2),从而 兩=(-3,-2),届=(-3,-4),那=(3,-4).设疏=入届+旧屁,从而得方程组_3 = - 3入 + 3“,-2 = -4A-4jLt,所以【答案】A【试题评价】试题不偏不怪,能够有效考査考生对向量基础知识 和基本方法的掌握程度,同时也可以考查考生将数与形有机结合的能 力,重点是考査考生将向量知识迁移到几何情境中的能力,对知识的考 查侧重于理解和应用,符合考试大纲对向量基本概念和基本运算的 考査要求.试题可以通过多种解法解答,强调的是通性通法,大部分考 生对试题的情境都很熟悉,也都能上手解题,但不同能力
29、水平的考生答 题所需的时间和运算的复杂程度大不相同,能很好地区分考生的数学 能力和思维水平.本题作为选择题的第6题,考查的是主干知识,但仍 然强调基础,有效稳定了考生的情绪,对考生在考试中正常发挥起到了 重要的作用,让考生有分数的获得感和学习的成就感.7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其 三视图如右图所示.圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为4,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧 面上,从M到N的路径中,最短路径的长 度为A. 2 717 B. 2/5 C. 3 D. 2【考查目标】本题考查考生对三视图的基础知识和基本方法的 掌握与应用,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.试题让考生通 过对三视图的观察分析和直观想象,构建该三视图所对应的空间几何 体,从而实现考査考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力, 以及数学思维的严密性和应用意识的目的;让考生通过探究圆柱侧面 展开图与圆柱三视图之间的关系,重点考查考生的空间想象能力和应 用能力.【命制过程】有关三视图的基本问题一般有两类:一类是根据给 定的空间几何体(或物体模型),画出该几何体(或模型)的三视图;另 一类是已知某几
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