导数讨论含参单调性习题含详解答案.docx

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导数讨论含参单调性习题含详解答案

1•设函数.

（1）当"时，函数*「与：

“J在'1处的切线互相垂直，求的值；

（2）若函数「i；：

「T门在定义域内不单调，求―门的取值范围；

2ak

f（—）-f（e）+f（—）w0

（3）是否存在正实数，使得'对任意正实数•恒成立？

若存在，求出满足条件的实数•；若不存在，请说明理由.

2•已知函数-*■■-三三7：

乳"是’的导函数，•为自然对数的底数.

（1）讨论」的单调性；

（2）当―时，证明：

.'；

（3）当.’时，判断函数」零点的个数，并说明理由.

b

f（x）=a（x+-）+blnx

3.已知函数'（其中，：

」）.

（1）当•时，若」在其定义域内为单调函数，求-的取值范围；

（2）当••时，是否存在实数,使得当''I■'时，不等式：

’恒成立，如果存在，

求•的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，"匸m）.

4•已知函数「''，其中为常数.

（1）讨论函数•的单调性；

+g（x2）X1+X2xx>）

（2）若.存在两个极值点，求证：

无论实数•取什么值都有’•

5•已知函数：

'（为常数）是实数集'•上的奇函数，函数汀丁—w是

区间口上的减函数.

（1）求的值；

（2）若'1在T「及■所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；

Inx2

——=x-2ex+m

6•已知函数fx=ax-Inx,Fx=exax，其中x.0,a：

：

：

0•

（1若fx和Fx在区间0,In3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；

（2）若a-二，一］，且函数gx二xeax丄一2ax・fx的最小值为M，求M的Ie」

最小值.

7.已知函数f（x）=ex^_lnx.

（1）如x=1是函数f（x）的极值点，求实数m的值并讨论的单调性f（x）;

（2）若X=Xo是函数f（x）的极值点，且f（x）_0恒成立，求实数m的取值范围（注：

已知常数a满足alna=1）.

2

x

8•已知函数fxi；=ln1mxmx，其中0：

：

：

m_1.

x3

（1）当m=1时，求证：

-1：

：

：

x^0时，fxi

3

（2）试讨论函数y=fx的零点个数.

9•已知e是自然对数的底数，Fx=2ex，xlnx,fx二ax-13.

（1）设Tx=Fx-fx,当a=「2eJ时，求证：

Tx在0,=上单调递增；

（2）若-x_1,Fx-fx,求实数a的取值范围.

10•已知函数fx二ex，ax-2

（1）若a=-1求函数f（x）在区间［-1,1］的最小值；

（2）若a・R,讨论函数fx在（0,f）的单调性；

（3）若对于任意的x1,x^（0,：

：

）,且论：

：

x2,都有x2I.f（x1）al:

:

:

x1If（x2）a成立，求a的取值范围。

（4）

参考答案

1=aln2s-白Inx-a+-令•

1.

（1）'；

（2）「:

;（3）

【解析】

试题分析：

（1）本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当

可知•「•在•1处的切线斜率I，同理可求得’•，然后再根据函数•「与

1-n

x]二=1

"三:

匚在,：

”处的切线互相垂直，得^，即可求出结果.

1

x+2-m（l-n）4■—

IIIX

V=f（x）-g（x）=

⑵易知函数—好-汽门的定义域为，可得：

'-1，由题意，

11

x+2-m（l-n）+-x+2”m（：

l-n）+-

K在（6+*）内有至少一个实根且曲线与X不相切，即K的最小

[m+（1-nH2

>m（l-n）>4

值为负，由此可得r：

I，进而得到…，由此即可求出结果•⑶

h（x}=f（一］f（eaJ<）+f（—）h（x）=aln2a-alnx-a+-

令^、，可得-

・a1ax+1

k（x）==<0

"/"，所以心）在区间（0严呵内单调递减，且在区间（0八呦内必存

1

1门先=——+In2a-1

在实根，不妨设…•，可得^,（*），则「在区间内单调递增，在区间内单调递减,

1h（xJ=ax+——2

「「「「=：

'，将（*）式代入上式，得；•使

7ak1

f（—}f（eflX）+f（—）<0h阳=ax0+—-2"

得.'对任意正实数恒成立，即要求-恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：

£閃=

（1）当"「时，-:

11-n

f（X）=-,X11

由’，得’，•/，•/

⑵易知函数八％「2、的定义域为，

2x+2-m（l-n“一

・..1m（l-n）x+[2-m（l-n）]x+1x

V=f（x）-e（x）=:

又;i止*J

X（K+1）

仪+1）2,

k+2-m（l-n）+-

由题意，得，的最小值为负,

（注：

结合函数V=：

-|.JII-：

：

--图象同样可以得到）,

[m+（l-n）l2

>in（l-n）>4

m+（1-n）>4

•，…

h（x）=f（—）f（eax）+f（—）=axln2a-axdnx+Inx-In2a

⑶令：

，其中',

h（x）=aln2a-alnx-a+

则•

k（x）-aln2a-alnx-a+

则’，

•a1ax+1

k（x）==<0

则'

••…在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设…：

11

k（xQ）=aln2a亠alnx&-a+一=0In®=——+In2a-1

即，可得

（*）

则在区间

内单调递增，在区间

内单调递减,

灾人旳=h%）h（x0）=口心-l）Jn2a-□心“Ir%

•LJ?

1

h%）=axo+——1将（*）式代入上式，得八

h（x0）=ax0+——2"

根据题意：

'恒成立，

11

axD+一^2a«0=一

又•••，当且仅当'时，取等号

11

一In-=In2a

•，代入（*）式，得•

1

-=2a

即，又'，

日二一日二一

•••,•••存在满足条件的实数，且.

点睛:

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值

的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅

助函数-,利用恒成立'"」•恒成立'"■，即可求出参数范

围•

（-，+

间为；

（2）证明见解析；（3）一个零点，理由见解析•

【解析】

ja1ax-1g（x）=-—^=—・

试题分析：

（1）讨论函数单调性，先求导、•，当：

：

时，一’，故"在-

111XA-（0厂）（-,+

上为减函数；当’时，解…可得•，故"的减区间为，增区间为；

（2）

2ax2***

根据■:

构造函数，设:

■,当•时，.，所以皿刈之=『是增函数，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函

数的增减性及极值端点，由

（1）可知，当时，」是先减再增的函数，其最小值为

g（-）=aln-+a=a（ln-+1）<0-；e"5<-

-，而此时⑺门「卜沖，且「，故r恰有两

个零点’"，

从而得到，的增减性，当，：

'时，山］小；「1；当，.，时，仃胡=处］-皿；当K6叫心时，讪询紆>Q，从而個在勺旳两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值f（X1J<0,所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点.

试题解析：

1

g（x）=f（x）=Rinx+-

（1）对函数」求导得,

.a1ax-1

g（x）==——

XX2/

?

1

1当.勺」•时，…，故"在㈡-n上为减函数；

111

x>-（0，一）十讯）

2当.：

时，解•…可得•，故“的减区间为，增区间为；

（2）='+设=yh凶二

易知当「时，,

”：

：

门-』_.：

•：

.■-?

'-H；、：

：

：

.

;

（3）由

（1）可知，当：

：

时，”是先减再增的函数，

111gH=aln-+a=a（In-+1）<0

其最小值为^,

1

11-a1；

_.一e<-

而此时『小-Ur头W,且，故'恰有两个零点’’，

...当丸丘（6勺）时，仃町=创町》口.当乂丘仪1*勺）时，f（町二君低）<0.当乂丘（勺，+*）时

小；pi?

.：

“

••在r•两点分别取到极大值和极小值，且

-白InX]+—=0a

由■知''

f（K]）=（aXj+ljlnx^-aXj+3=lnx1++2

1口勺

■—皿■■■e]匚托——[”\

，但当’时，，则:

不合题意，所以，故函数」的图象与•轴不可能有两个交点.

•函数」只有一个零点.

3.

（1）1—「

（2）存在，且I

【解析】

试题分析：

（1）当•时，首先求出函数的导数，函数的定义域是，得到

faA*tat牛口

f（^）=

X，分a-°和白＞°两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到a的取值

r-x+bx+b

f（*）=

范围；

（2）'，分和两种情况讨论函数的单调性，若能满足当'1■-

时，当满足函数的最小值大于0，即得到的取值范围•

试题解析：

（1）由题-

I

1当•：

时，知••，则」是单调递减函数；

2当：

：

时，只有对于.，不等式■'■■■-:

恒成立，才能使为单调函数，只需

-「二，解之得或，此时..

综上所述，的取值范围是■■■-

b1D°

f（x）=blnx-x-x>OHf（x）=-^l+-=

（）当时，’•：

’，于是••在-上为减函数，则在•上也为减函数

b1f（x）=f（e）=b-e--=（l--）b-e<0

知恒成立，不合题意，舍去

b++4b

（買=

（）当时，由’’得，列表得

X

b+Jb2*4b

b++

b+,b2+4b

◎21

2

I2

加

+

0

-

21

取大值

€

0

①若

即「，则’-在上单调递减.

b111e2-2e

f（x）土=f（e）=b-e--=（1-）b-e（1--）b-e<（1-—-e=—-

知-，而"：

''，

于是’’•恒成立，不合题意，舍去•

b+肿+4bL

>e—

②若^，即1.

b+Jb2+4bb+'b?

+4b

他—）（—卄呵

则'在上为增函数，在上为减函数,

（f（e）>Or

要使在卜■&■!

恒有I、’恒成立，则必有’

综上所述，存在实数，使得’恒成立•

【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若='就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为朋）聞兀，若仆）"恒成立

（3）若恒成立，可转化为.

4.

（1）当一-UP时，■在区间:

-上单调递增；

-a-Ja^2-a+J^-2-a~Ja^2-a+

厂…（—1—•—:

—）卜比——）・（—；—・*叫

当.•时，…在「■'上单调递减，在•--上单调

递增；

（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究

:

-'■■-在「上零点情况：

当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等

实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定

1

厂X]+X2=-（占=_

单调区间，

（2）先由

（1）知.',且两个极值点、满足'.再代入化简

酣]）+加』叫+勺a21In2a21In2

>g（）—-Ilna-—+—>Qh（a）=—-Inai■—

22得422,利用导数研究耳22单调性，最后

根据单调性证明不等式•

试题解析：

（1）函数的定义域为.

①当—’即…「时，「一恒成立，：

，所以「在区间.上单

调递增•

②当.'或'时，方程「'有两个不同的实数根’’，记

，显然

a21In2

h（a）1--Ins-+

匚

记■,

?

则

a

厂2X=>0

（i）若.「，、「■'■■■-图象的对称轴’，“门

两根'在区间’-上，可知当…时函数「单调递增，”乂X,所以，,

所以j在区间「已'T■上递增.

厂2耳—%■屮

（ii）若.',则'；-图象的对称轴，h门-上：

2「•；.：

.，所以

■合<叫~,当叫YKf时，h閃"，所以gF（x）<0,所以酣）在讯旳）上单调递减.当-3

，所以，所以•-在’•‘上单调递增•

综上，当■■■■-r；二/-时，•-在区间m上单调递增；当•「时，’在

-3-Ja2-2-a+Ja2-23-J孑-2-3+Ja2-2

（—-—■—;—）（-1——）』—I—・十呵

22上单调递减，在厦2上单调递增•

（2）由

（1）知当.•'时，I'没有极值点，当，时，j有两个极值点',且

1

K]+X2二日眄电二-

222

g（xj+g（x2）=xT++a}+x2+ln（x2+aj=a-1-In2

?

曲2）a2-l-ln2xi+x2aa2a

=創）=g（-H=—+ln-

22又2242

E%）壮（®）\+x2a2i|n2

g（）———-Ina-—n—

22422

+g（x2）叫+x2>g（）所以’

5.

（1）：

;

（2）';（3）详见解析•

【解析】

试题分析：

（1）根据奇函数定义可得■■-E,再根据恒等式定理可得’.

（2）

由函数■'；1'是区间-上的减函数，得其导函数恒非正，即:

•最小值，

而罠门””+丈「在--□恒成立等价于-■,从而有

:

i1■:

'■■■■1'■-1"i:

i对［匚丄恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负

Irtx

即可，解不等式组可得：

的取值范围（3）研究方程根的个数,

Inx

以刈=X_2eK+,in交点个数，先根据导数研究函数1x图像，再根据二次函数

以刈"”2已x+m上下平移可得根的个数变化规律

试题解析：

（1）i：

““°7是奇函数y宀、=心尙、’/恒成立，

（e*++^）=1即1+aex+aex+a2=1

•讣！

=F-.：

.=•；:

••?

又••心］在I•丄」上单调递减，

.孟；.：

.匚二

..,

X且曲］-「:

八宀对恒成立，

即：

匸：

：

.：

；.对「一-•恒成立，

1

…,

•••「-I在'1'■上恒成立，

.-钉门：

*丁-Ati:

…,

即Jn■'汕|f对：

恒成立，

t+1^0

令h®}=（t+1）入+『+$泊1+贝y^-t-i+t3+sinl+1^0

t£-1

{22

•••：

m：

，而••|•恒成立，

Inx

令,,

1Unxf「凶二=

当让（0*即时，忙冈何在®

上为增函数;

当->”'5时，•：

•'在.上为减函数;

•函数'在同一坐标系的大致图象如图所示,

『丄m=e\-

，即：

时，方程有一个根;

2121e<-m

，即：

时，方程有两个根•

点睛：

对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一

端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决•但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数

后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法

6.

（1）M的最小值为0.

（2）■,_3L

【解析】

恒成立=fx在0上单调递减=当-仁a：

：

：

0时，F'x0，即Fx在0,•:

:

上单调递增，不合题意；当a：

：

：

-1时，利用导数工具得Fx的单调减区间为0,ln-a，单调增区间为

In-a，:

:

二

Pxmin

gxmin

在0,e2上递减=ht-he2=0=M的最小值为0.

当-仁a<0时，F'x・0,即Fx在0「：

上单调递增，不合题意;

当ac—1时，由F'（x）>0，得x>In（—a）,由F'（x）c0，得0cxvln（—a）.

•••Fx的单调减区间为0,In-a，单调增区间为In-a,=.

:

fx和Fx在区间0,In3上具有相同的单调性，

•In-a-In3，解得a乞一3,

综上，a的取值范围是-匸'，-3】.

（2）g'x=eax4'axeaxA-a-~=axVieax4—,xIx丿

由eaxl

1小1-Inx1-1nx,

_—=0得到a=，设p（x）=,p（x）=

xxx

22e时，p'x0；当0：

x：

：

e时，p'x:

:

:

0.

Inx-2

2，x

从而

Px在0,e2上递减，在e2,•:

:

上递增••pxmin二

a乞^1^，即eaxJ-^0,

xx

ax+1>0,g'（x）兰O,g（x）递减;

i1■,

在上，ax•1：

：

：

0,g‘x_0,gx递增.•••gxmin

a

12rf1）t2

设t0,e,ght2-1nt10：

：

t_e,

aae

11_

h't20,ht在0,e2上递减••-ht-he2=0；

•M的最小值为0•

考点：

1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式•

【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型•利用导数处理不等式问题•在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题•常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用

7.

（1）m--1，f（x）在（0,1）上单调递减，在（1/:

■）上单调递增；

（2）m二［-a-lna,■：

：

）.

【解析】

试题分析：

（1）由x=1是函数f（x）的极值点，得fj=0可得m得值，由导数和单调性

11

的关系得其单调区间；

（2）由题意知f'（x）=exm-一，设h（x）=exm-一，知h'xi>0得

xx

hx单调递增，即x=x°是f'（x）=0在（0,=）上的唯一零点，得m=-怡Tnx°,

fXmin=fX。

，使得fX。

—0即可，结合alna=1，得参数m范围•

f'⑴=0二e1m_1=0.

试题解析：

（1）vx=1是函数f（x）的极值点,

x-1

x71xe-1

（x）二e

xx

令g（x）二xex'-1,g'（x）=ex4xexJ=（x1£exJ0,

•-g（x）在（0,二）上单调递增，g（x）g（0）—1,g（l）=0.•••当x（0,1）,g（x）：

：

0；当x（1,二）,g（x）0.

二f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,：

：

）上单调递增，

此时，当x=1时f（x），取极小值.

（2）f'（x）=exm」，设h（x）=e5—[,

xx

1

则h'（x）=ex—0.•h（x）在（0,七）上单调递增，

x

•f'（x）在（0,=）上单调递增•

•••X是函数f（x）的极值点，

•-x=x0是f'（x）=0在（0,■:

：

）上的唯一零点，

•ex。

m=丄=.x0m=In丄=xm=Inx0二m=-怡-Inx0.X0X0

•••0■xXo,f'（x）：

：

f'（Xo）=0,

XX。

f'（x）f'（X0）=0,

•f（x）在（0,x。

）上单调递减，在（X0,二）上单调递增，•f（X）有最小值.

•f（x）min二f（X°）=e"m-1nx°1X0m.

X0

•••f（x）一0恒成立,

—x0m_0,

X0

1

x°—x°InX0,

X0

•—-Inx0.valnX0

•-m=-x0Tnx0--aTna,

m[-a-Ina,:

:

）.

考点：

（1）利用导数研究函数的极值；

（2）利用导数研究函数的单调性；（3）恒成立问题.

【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以

及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立•考查函

数的单调性，由fx0，得函数单调递增，fx：

0得函数单调递减；考查恒成立问题，

正确分离参数是关键，也是常用的一种手段•通过分离参数可转化为ahx或a：

：

：

hx恒

成立，即a■hmaxx或a:

:

:

hminX即可，利用导数知识结合单调性求出hmaxX或人皿山X即

得解•

&

（1）见解析；

（2）当0：

：