导数讨论含参单调性习题含详解答案.docx

1、导数讨论含参单调性习题含详解答案1 设函数 .(1) 当 时，函数* 与：“J在 1处的切线互相垂直，求 的值；(2)若函数i；：T门在定义域内不单调，求 门的取值范围；2a kf()-f (e ) + f() w 0(3) 是否存在正实数 ，使得 对任意正实数恒成立？若存在，求出 满足条件的实数；若不存在，请说明理由.2已知函数- * -三三7：乳是的导函数，为自然对数的底数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：. ；(3)当.时，判断函数零点的个数，并说明理由.bf(x) = a(x + -) + blnx3.已知函数 (其中，：).(1)当 时，若在其定义域内为单调函数，求-的取值范围

2、；(2) 当 时，是否存在实数,使得当I 时，不等式：恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由(其中 是自然对数的底数，匸m ).4已知函数 ，其中为常数.(1)讨论函数 的单调性；+ g(x2) X1 + X2 x x )(2) 若.存在两个极值点 ，求证：无论实数取什么值都有 5已知函数： (为常数)是实数集上的奇函数，函数 汀丁w 是区间口上的减函数.(1)求的值；(2) 若 1在T 及所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；Inx 2=x -2ex + m 6 已知函数 f x = ax -In x, F x = ex ax，其中 x . 0, a ： 0 (1若f x和F

3、 x在区间0,In3上具有相同的单调性，求实数 a的取值范围；(2)若a -二，一，且函数g x二xeax丄一2axf x的最小值为M，求M的 I e最小值.7.已知函数 f(x)=ex_lnx.(1)如x =1是函数f (x)的极值点，求实数 m的值并讨论的单调性 f (x);(2)若X = Xo是函数f (x)的极值点，且f (x) _ 0恒成立，求实数 m的取值范围(注：已知常数a满足aln a = 1).2x8 已知函数 f xi；=ln 1 mx mx，其中 0 ： m _1 .x3(1)当 m=1 时，求证：- 1：x0时，f xi3(2)试讨论函数y = f x的零点个数.9已知

4、e是自然对数的底数，F x =2ex， x lnx, f x二a x-1 3.(1)设Tx=Fx-fx,当a=2eJ时，求证：T x在0,= 上单调递增；(2)若-x_1,F x - f x ,求实数a的取值范围.10已知函数 f x 二ex，ax-2(1) 若a =-1 求函数f(x)在区间-1,1的最小值；(2)若aR,讨论函数f x在(0,f)的单调性；(3)若对于任意的x1, x (0,：),且论：x2, 都有x2 I. f (x1) al: x1 If (x2) a成立，求a的取值范围。(4)参考答案1 = aln2s -白Inx- a + - 令 1.( 1) ； (2) :; (

5、3)【解析】试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当可知 在 1处的切线斜率 I ，同理可求得，然后再根据函数与1 - n x 二=1三:匚在,：”处的切线互相垂直，得 ，即可求出结果.1x + 2 - m(l - n) 4 I I I XV =f(x)-g(x)= 易知函数好-汽门的定义域为 ，可得 ： -1 ，由题意，1 1x + 2 - m(l - n) + - x + 2 ” m(：l - n) + -K在(6 + *)内有至少一个实根且曲线与 X不相切，即 K的最小m + (1-nH2 m(l - n) 4值为负，由此可得 r：I ，进而得到 ，由此即可求出结果

6、h(x = f(一f(eaJ) + f() h (x) = aln2a - alnx - a + -令 、，可得 - a 1 ax +1k (x) = = 0/ ，所以心)在区间(0严呵内单调递减，且在区间(0八呦内必存11门先=+ In2a -1在实根，不妨设 ，可得 , (*)，则在区间 内单调递增，在区 间内单调递减,1 h(xJ = ax + 2 =： ，将(*)式代入上式，得 ；使7a k 1f( f(eflX) + f() in(l - n) 4m + (1 - n) 4 ，h(x) = f() f(eax) + f() = ax ln2a - axdnx + Inx - In2a

7、令 ： ，其中 ,h (x) = aln2a - alnx- a +则 k(x) - aln2a - alnx - a +则 ， a 1 ax +1k (x) = = 0则 在区间 内单调递减，且在区间 内必存在实根，不妨设：,1 1k(xQ) = aln2a 亠 alnx&- a + 一= 0 In =+ In2a -1即 ，可得,(*)则在区间内单调递增，在区间内单调递减,灾人旳=h%) h(x0) = 口心-l)Jn2a - 心 “Ir% L J ?1h%） = axo + 1 将（*）式代入上式，得 八h（x0） = ax0 + 2 根据题意 ： 恒成立，1 1axD + 一2 a0

8、= 一又 ，当且仅当 时，取等号1 1一 In- = In2a，代入(*)式，得1-=2a即 ，又 ，日二一 日二一 ,存在满足条件的实数 ，且 .点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题 ，可以求函数最值的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数-,利用恒成立 恒成立 ，即可求出参数范围（-，+间为 ；（2）证明见解析；（3） 一个零点，理由见解析【解析】j a 1 ax-1 g（x）= - = 试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导 、，当：时，一，故在 -1 1 1 X A - （0厂） （-,+上为减函数；当 时，解

9、 可得 ，故的减区间为 ，增区间为 ；（2）2 a x 2 * * *根据: ,构造函数，设 : ,当 时，.，所以 皿刈之=是增函数，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由( 1)可知，当 时，是先减再增的函数，其最小值为g(-) = aln- + a = a(ln- + 1) 0 - ； e5 - Q，从而個在勺旳两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值 f(X1J - (0， 一) 十讯)2当.：时，解 可得 ，故“的减区间为 ，增区间为 ；(2)= + 设 = yh凶二易知当时，,”：门-_.： .- ? - H ；、：.;(3)由(1)可知，当：时，”是先

10、减再增的函数，1 1 1 gH = aln- + a = a (In- + 1) 0其最小值为 ,11 1 -a 1 ；_ .一 e - e而此时小-Ur 头 W,且 ，故恰有两个零点，.当丸丘(6勺)时，仃町=创町口.当乂丘仪1*勺)时，f(町二君低)OHf(x) = -l + - =()当 时，：，于是在 -上为减函数，则在 上也为减函数b 1 f(x) =f(e) = b-e-=(l-)b-e0知 恒成立，不合题意，舍去b + + 4b( 買= ()当 时，由得 ，列表得Xb + Jb2 * 4bb +b + ,b2 + 4b 2 12I 2加+0-21取大值0 b 2若即 ，则-在上单

11、调递减.b 1 1 1 e2 -2ef(x) 土 =f(e) = b-e- = (1 -)b-e (1 -)b-ee 若 ，即 1 .b + Jb2 + 4b b + b? + 4b他 ) (卄呵则在 上为增函数，在 上为减函数,(f(e) Or要使在卜& !恒有I、恒成立，则必有综上所述，存在实数 ，使得恒成立【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2 )若=就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 朋)聞兀，若仆)恒成立(3)若恒成立，可转化为 .4. ( 1)当一-UP时，在区间:-上单调递增；-a-Ja2 -a

12、 + J-2 -aJa2 -a +厂 (1:) 卜比)(；*叫当 .时，在 上单调递减，在 - - 上单调递增；(2)见解析.【解析】试题分析 ：(1 )先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究:- -在 上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定1厂 X + X2 =- (占=_单调区间，(2)先由(1 )知 .,且两个极值点、满足 .再代入化简酣)+ 加 叫+ 勺 a2 1 In2 a2 1 In2 g( ) -Ilna - + Q h(a) = -Inai 2 2得4 2 2 ,利用

13、导数研究 耳 2 2单调性，最后根据单调性证明不等式试题解析：(1)函数的定义域为 .当 即 时，一恒成立，： ，所以在区间. 上单调递增当.或 时，方程 有两个不同的实数根，记，显然a2 1 In2h(a)1 - - Ins - +匚记 ,?则a厂 2 X = 0(i)若 .， 、 -图象的对称轴 ，“门两根 在区间-上，可知当 时函数单调递增，”乂 X ,所以， ,所以j在区间已 T上递增.厂 2 耳 %屮(ii)若 .,则 ；-图象的对称轴 ，h 门-上：2；.：.，所以合叫,当叫YKf时，h閃，所以gF(x)0,所以酣)在讯旳)上单调递减.当-3x g( ) 所以 5.( 1) ： ;

14、 (2) ; (3)详见解析【解析】试题分析：(1)根据奇函数定义可得- E ,再根据恒等式定理可得 .(2)由函数 ；1 是区间 - 上的减函数，得其导函数恒非正， 即 : 最小值 ，而罠门” ” +丈在- 恒成立等价于- , 从而有:i 1 : 1 - 1 i:i对匚丄恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负Irtx即可，解不等式组可得：的取值范围(3)研究方程根的个数,Inx以刈=X _2eK + ,in交点个数，先根据导数研究函数1 x图像，再根据二次函数以刈” 2已x + m上下平移可得根的个数变化规律试题解析：(1) i：“ “ 7是奇函数y宀、=心尙、/恒成立， (e

15、 * + + ) = 1 即 1 + ae x + aex + a2 = 1讣！ = F - .：.=；: ?又心在I 丄上单调递减，.孟；.：.匚二. ,X 且曲-:八宀对恒成立，即：匸：.：；.对一 -恒成立，1 , - I在 1 上恒成立，.-钉门：* 丁 - At i : ,即J n 汕| f对：恒成立，t + 10令h = (t + 1)入+ $泊1 + 贝y-t - i + t3 + sinl + 10t-1 2 2 ： m：，而 | 恒成立，Inx令 , ,1 Unx f凶二=当让(0*即时，忙冈何在上为增函数;当- ” 5时， ： ,在. 上为减函数;函数 在同一坐标系的大致图

16、象如图所示,丄 m=e-，即 ：时，方程有一个根;2 1 2 1 e - me，即 ：时，方程有两个根点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题， 在可能的情况下把参数分离出来， 使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决 但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法6. (1) M 的最小值为 0. (2) , _3 L【解析】恒成立=f x在0上单调递减=当-仁a ： 0时，F x 0，即F x在0, :上单调递增，不合题意； 当a ： -1时，

17、利用导数工具得F x的单调减区间为0,ln -a ，单调增区间为In -a，:二P x ming x min在0,e2上递减=h t -he2 =0= M的最小值为0.当-仁a 0，得 x I n( a ),由 F(x)c0，得 0c xvl n( a). F x的单调减区间为 0,In -a ，单调增区间为In -a ,=.:f x和F x在区间0,In3上具有相同的单调性， In -a -In3，解得 a 乞 一3 ,综上，a的取值范围是-匸，-3】.(2) g x =eax4 axeaxA - a- = ax Vieax4 , x I x丿由 eaxl1 小 1 -In x 1 -1n

18、x ,_ = 0 得到 a = ，设 p (x)= , p (x)=x x x2 2 e 时，p x 0 ；当 0 ： x ： e 时，p x : 0 .In x-22 ， x从而P x在0,e2上递减，在 e2, :上递增 p x min二a 乞1，即 eaxJ-0 ,x xax +1 0,g( x)兰 O,g(x)递减;i 1 ,在 上，ax 1 ：0,g x _0,g x 递增. g x mina1 2r f 1 ) t 2设 t 0,e , g h t 2 -1n t 1 0 ： t _ e ,a a e1 1 _h t 2 0,h t 在 0,e2 上递减 - h t -he2 =0

19、 ； M的最小值为0 考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较 强，属于较难题型利用导数处理不等式问题在解答题中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问题常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用7.( 1 )m-1， f(x)在(0,1)上单调递减，在(1/ : )上单调递增；(2)m 二-a-l na, ：).【解析】试题分析：(1)

20、由x =1是函数f (x)的极值点，得f j =0可得m得值，由导数和单调性1 1的关系得其单调区间；(2)由题意知f (x) = ex m - 一，设h(x) = ex m -一，知h x i 0得x xh x单调递增，即 x =x是f (x) =0在(0,=)上的唯一零点，得 m = -怡Tn x ,f X min = f X。，使得f X。 0即可，结合aln a =1，得参数m范围f=0二 e1 m_1 =0.试题解析：(1)v x =1是函数f (x)的极值点,x -1x7 1 xe - 1(x)二 ex x令 g(x)二 xex -1 , g (x) =ex4 xex J = (x

21、 1exJ 0 ,- g(x)在(0,二)上单调递增，g(x) g(0) 1, g(l) = 0. 当 x (0,1), g(x) ： 0； 当 x (1,二),g(x) 0.二f (x)在(0,1)上单调递减，在(1,：)上单调递增，此时，当x =1时f (x)，取极小值.(2) f(x)=exm，设 h(x)=e5,x x1则h(x) =ex 0. h(x)在(0,七)上单调递增，x f (x)在(0,=)上单调递增 X 是函数f(x)的极值点，- x = x0 是 f (x) = 0 在(0, :：)上的唯一零点， ex。m =丄=.x0 m = In 丄=x m = In x0 二 m

22、 = - 怡 - In x0. X0 X0 0 x Xo , f (x) ： f (Xo) =0 ,X X。, f (x) f (X0)=0 , f(x)在(0,x。)上单调递减，在(X0,二)上单调递增， f (X)有最小值. f (x)min 二 f(X) = e m -1n x 1 X0 m .X0 f (x) 一 0恒成立,x0 m _ 0 ,X01x x In X0 ,X0 -In x0. v aln X0- m = -x0 Tn x0 - -a Tn a ,m -a -In a,:).考点：(1)利用导数研究函数的极值； (2)利用导数研究函数的单调性； (3)恒成立问题.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题， 以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立 考查函数的单调性，由f x 0，得函数单调递增，f x ： 0得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段 通过分离参数可转化为 a h x或a ： h x恒成立，即a hmax x或a : hmin X即可，利用导数知识结合单调性求出 hmax X或人皿山X即得解& (1)见解析；(2)当0 ：