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范文等差数列教案

等差数列教案

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　　2．2.1　等差数列

　　整体设计

　　教学分析　　　

　　本节课将探究一类特殊的数列——等差数列．本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算．第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质．让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究．在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法来检验所提出的猜想．其中例1是巩固定义，例2到例5是等差数列通项公式的灵活运用．

　　在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．

　　数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫．教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材．

　　三维目标　　　

　　．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．

　　2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．

　　3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．

　　重点难点　　　

　　教学重点：

等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．

　　教学难点：

概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．

　　课时安排　　　

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　导入新课　　　

　　思路1.教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上出示几个数列，如：

数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课．

　　思路2.教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想：

在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？

由此导入新课．

　　推进新课　　　

　　新知探究

　　提出问题

　　1回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？

　　2阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.

　　3观察数列①②③，它们有什么共同特点？

　　4根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？

　　5什么是等差数列？

怎样理解等差数列？

其中的关键字词是什么？

　　6数列①②③存在通项公式吗？

如果存在，分别是什么？

　　7等差数列的通项公式是什么？

怎样推导？

　　活动：

教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点．然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：

　　①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；

　　②2,9,16,23,30；

　　③89,83,77,71,65,59,53,47.

　　这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列．观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．

　　至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：

第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．

　　以上这些数列的共同特征是：

从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数．这就是我们这节课要研究的主要内容．教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．

　　等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

　　教师引导学生理解这个定义：

这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因．显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，－6.

　　教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？

　　这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：

对于数列{an}，若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列．这是证明一个数列是等差数列的常用方法．点拨学生注意这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起．若n从3开始，则会漏掉a2－a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．

　　教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：

①an＝21.5＋0.5n，②an＝7n－5，③an＝－6n＋95.

　　以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性．教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，an，…，根据等差数列的定义都有：

　　a2－a1＝d，

　　a3－a2＝d，

　　a4－a3＝d，

　　……

　　所以a2＝a1＋d，

　　a3＝a2＋d＝＋d＝a1＋2d，

　　a4＝a3＋d＝＋d＝a1＋3d.

　　学生很容易猜想出等差数列的通项公式an＝a1＋d后，教师适时点明：

我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识．

　　教师可就此进一步点拨学生：

数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它．数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位．很多著名的数学结论都是从猜想开始的．但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式an＝a1＋d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现．

　　教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如：

　　方法一：

∵{an}是等差数列，

　　∴an－an－1＝d，

　　an－1－an－2＝d，

　　an－2－an－3＝d，

　　……

　　a2－a1＝d.

　　两边分别相加得an－a1＝d，

　　所以an＝a1＋d，

　　方法二：

{an}是等差数列，则有

　　an＝an－1＋d，

　　＝an－2＋d＋d

　　＝an－2＋2d

　　＝an－3＋d＋2d

　　＝an－3＋3d

　　……

　　＝a1＋d.

　　所以an＝a1＋d.

　　讨论结果：

　　～略．

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”．

　　三个数列都有通项公式，它们分别是：

an＝21.5＋0.5n，an＝7n－5，an＝－6n＋95.

　　可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

an＝a1＋d.

　　应用示例

　　例1

　　活动：

本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的是判断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作的逆问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨．

　　点评：

在数列中，要让学生明确解方程的思路．

　　变式训练

　　　100是不是等差数列2,9,16，…的项，如果是，是第几项？

如果不是，请说明理由；

　　－20是不是等差数列0，－312，－7，…的项，如果是，是第几项？

如果不是，请说明理由．

　　解：

由题意，知a1＝2，d＝9－2＝7.因而通项公式为an＝2＋×7＝7n－5.

　　令7n－5＝100，解得n＝15，所以100是这个数列的第15项．

　　由题意可知a1＝0，d＝－312，因而此数列的通项公式为an＝－72n＋72.

　　令－72n＋72＝－20，解得n＝477.因为－72n＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项．

　　例2一个等差数列首项为125，公差d＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d的范围．

　　活动：

教师引导学生观察题意，思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件？

是否仅是a10＞1呢？

d＞0的条件又说明什么？

教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错．

　　解：

∵d＞0，设等差数列为{an}，则有a1＜a2＜a3＜…＜a9＜a10＜a11＜…，

　　由题意，得1＜a10＜a11＜…，a1＜a2＜…＜a9≤1，

　　即a10＞1a9≤1125＋10－1d＞1，125＋9－1d≤1，

　　解得875＜d≤325.

　　点评：

本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解．

　　变式训练

　　　在数列{an}中，已知a1＝1，1an＋1＝1an＋13，求a50.

　　解：

已知条件可化为1an＋1－1an＝13，

　　由等差数列的定义，知{1an}是首项为1a1＝1，公差为d＝13的等差数列，

　　∴1a50＝1＋×13＝523.

　　∴a50＝352.

　　例3已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？

若是，首项与公差分别是什么？

　　活动：

要判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据an－an－1是不是一个与n无关的常数．

　　这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：

如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列．因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来．本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：

对于通项公式形如an＝pn＋q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p＋q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质．在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点．

　　解：

当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an〕

　　an－an－1＝－[p＋q]＝pn＋q－＝p为常数，

　　所以{an}是等差数列，首项a1＝p＋q，公差为p.

　　点评：

若p＝0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….

　　若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

　　数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an＝pn＋q，称其为第3通项公式．

　　变式训练

　　　已知数列的通项公式an＝6n－1.问这个数列是等差数列吗？

若是等差数列，其首项与公差分别是多少？

　　解：

∵an＋1－an＝[6－1]－＝6，

　　∴{an}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.

　　点评：

该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容．需要向学生强调，若用an－an－1＝d，则必须强调n≥2这一前提条件，若用an＋1－an＝d，则可不对n进行限制．

　　知能训练

　　．求等差数列8,5,2，…的第20项；

　　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？

如果是，是第几项？

　　2．求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．

　　答案：

　　．解：

由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋×＝－49.

　　由a1＝－5，d＝－9－＝－4，得这个数列的通项公式为

　　an＝－5－4＝－4n－1.

　　由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401＝－4n－1成立．解这个关于n的方程，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．

　　2．解：

根据题意可知a1＝3，d＝7－3＝4.

　　∴该数列的通项公式为an＝3＋×4，

　　即an＝4n－1．

　　∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.

　　课堂小结

　　．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？

要注意的是什么？

都用到了哪些数学思想方法？

你在这节课里最大的收获是什么？

　　2．教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．

　　作业

　　习题2—2A组1、2.

　　设计感想

　　本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用．等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件．通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具．因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能．

　　本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法；在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法来检验所提出的猜想．

　　本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增．

　　第2课时

　　导入新课　　　

　　思路1.上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子．接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现？

比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢？

由此展开新课．

　　思路2.教师先引导学生回顾上一节所学的内容：

等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课．

　　推进新课　　　

　　新知探究

　　提出问题

　　1请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？

2等差数列的通项公式是怎样得出来的？

它与一次函数有什么关系？

3什么是等差中项？

怎样求等差中项？

4根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？

　　活动：

借助，教师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an－1＝d，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差．

　　再一起回顾通项公式，等差数列{an}有两种通项公式：

an＝am＋d或an＝pn＋q．

　　由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的方法：

①d＝an－an－1；②d＝an－a1n－1；③d＝an－amn－m.

　　对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式．

　　教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：

如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？

　　由定义可得A－a＝b－A，即A＝a＋b2.

　　反之，若A＝a＋b2，则A－a＝b－A，

　　由此可以得A＝a＋b2a，A，b成等差数列．

　　由此我们得出等差中项的概念：

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋y2.

　　根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．

　　如数列：

1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项．

　　9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．

　　等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A＝a＋b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列．

　　根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：

如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，…中，我们知道2a5＝a3＋a7＝a1＋a9＝a2＋a8，那么你能发现什么规律呢？

再验证一下，结果有a2＋a10＝a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6.由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列{an}中，若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就一定是正确的．让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？

只要运用通项公式加以转化即可．设首项为a1，则am＋an＝a1＋d＋a1＋d＝2a1＋d，

　　ap＋aq＝a1＋d＋a1＋d＝2a1＋d.

　　因为我们有m＋n＝p＋q，所以上面两式的右边相等，所以am＋an＝ap＋aq.

　　由此我们的一个重要结论得到了证明：

在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．另外，在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则上面两式的右边相等，所以am＋an＝ap＋aq.同样地，我们还有：

若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.这也是等差中项的内容．

　　我们自然会想到由am＋an＝ap＋aq能不能推出m＋n＝p＋q呢？

举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立．

　　这说明在等差数列中，am＋an＝ap＋aq是m＋n＝p＋q成立的必要不充分条件．由此我们还进一步推出an＋1－an＝d＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，这也是证明等差数列的常用方法．

　　同时我们通过这个探究过程明白：

若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可．

　　讨论结果：

略．

　　如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝x＋y2.

　　得到两个重要结论：

①在数列{an}中，若2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列．

　　②在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

　　应用示例

　　例1在等差数列{an}中，若a1＋a6＝9，a4＝7，求a3，a9.

　　活动：

本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a1，d，进而求出通项公式an，则a3，a9不难求出．应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系．

　　解：

由已知，得a1＋a1＋5d＝9，a1＋3d＝7，解得a1＝－8，d＝5.

　　∴通项公式为an＝a1＋d＝－8＋5＝5n－13.

　　∴a3＝2，a9＝32.

　　点评：

本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如a1＋a6＝a4＋a3＝9.

　　∴a3＝9－a4＝9－7＝2.

　　由此可得d＝a4－a3＝7－2＝5

　　∴a9＝a4＋5d＝32.

　　点评：

这种解法巧妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解．

　　变式训练

　　　已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于

　　A．－165

　　B．－33

　　c．－30

　　D．－21

　　答案：

c

　　解析：

依题意知，a2＝a1＋a1＝2a1，a1＝12a2＝－3，an＋1＝an＋a1＝an－3，

　　可知数列{an}是等差数列，a10＝a1＋9d＝－3－9×3＝－30.

　　例2

　　活动：

本例是等差数列通项公式的灵活运用．正如边注所说，相当于已知直线过点，斜率为－0.6，求直线在x轴下方的点的横坐标的取值范围．可放手让学生完成本例．

　　变式训练

　　　等差数列{an}的公差d＜0，且a2•a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是…

　　A．an＝2n－2

　　B．an＝2n＋4

　　c．an＝－2n＋12

　　D．an＝－2n＋10

　　答案：

D

　　解析：

由题意知a2•a4＝12a2＋a4＝8d＜0a2＝6a4＝2a1＝8，d＝－2，

　　所以由an＝a1＋d，得an＝8＋＝－2n＋10.

　　例3已知a、b、c成等差数列，那么a2，b2，c2是否成等差数列？

　　活动：

教师引导学生思考a、b、c成等差数列可转化为什么形式的等式？

本题的关键是考察在a＋c＝2b的条件下，是否有以下结果：

a2＋c2＝2b2．教师可让学生自己探究完成，必要时给予恰当的点拨．

　　解：

∵a、b、c成等差数列，

　　∴a＋c＝2b.

　　又∵a2＋c2－2b2

　　＝a2b＋a2c＋ac2＋bc2－2b2c－2ab2

　　＝＋＋

　　＝ab＋bc＋ac

　　＝－abc－abc＋2abc

　　＝0，

　　∴a2＋c2＝2b2．

　　∴a2，b2，c2成等差数列．

　　点评：

如果a、b、c成等差数列，常转化为a＋c＝2b的形式，反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功