韦达定理常见经典题型.docx

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韦达定理常见经典题型

一元二次方程知识网络结构图

定义：

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程

1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式（a、b、c、为常数，a）。

2.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：

当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：

用配方法解一元二次方程

的一般步骤是：

①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为项和项，右边为项；

③配方，即方程两边都加上的平方；

④化原方程为

的形式，

如果n是非负数，即

，就可以用法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程。

（3）公式法:

方程

，当

_______0时，x=________

（4）因式分解法：

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为；

②将方程的左边化成两个的乘积；

③令每个因式都等于，得到两个方程；

④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3、韦达定理

一、一元二次方程的基本概念及解法

1、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a（a≠0），则a－b的值为

A．－１B．0C．1D．2

2、

3、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）

A．－1B．2C．1和2D．－1和2

二一元二次方程根的判别式

4、关于x的方程

的根的情况描述正确的是（）．

A．k为任何实数．方程都没有实数根

B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根

C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

5、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A、a＜2B、a＞2C、a＜2且a≠lD、a＜﹣2

6、已知关于的方程

（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程

（2）没有实数根，问取什么整数时，方程

（1）有整数解？

三一元二次方程根与系数的关系

一）韦达定理

　7、不解方程，判别方程两根的符号。

8、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值。

二）、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

9、已知方程的一个根为2，求另一个根及m的值。

10已知方程

有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。

三）、运用判别式及根与系数的关系解题。

11已知

、

是关于x的一元二次方程

的两个非零实数根，问

和

能否同号？

若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

四）、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。

12已知、是方程的两个实数根，求

的值。

13、已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

作业

一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于x的一元二次方程

两根互为倒数，则a_________。

3、已知关于x的方程

的两根为

，

且

，则m=__________。

4、已知是方程

的两个根，那么：

______________；

5、已知关于x的一元二次方程的两根为

，

，且

+

=-2，则

____________；

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是_____，的值为__________。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为___________。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为_________。

二、计算题：

1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知是方程

的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求

的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程

的两根满足关系式，求m的值及方程的两个根。

6、已知方程

和

有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数在什么范围取值时，方程

有正的实数根？

2、已知关于的一元二次方程

（1）求证：

无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足

，求的值。

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程

的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、已知关于的一元二次方程（m

0）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和

，求代数式

的值。