人教版七年级数学下册《相交线》拓展练习.docx
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人教版七年级数学下册《相交线》拓展练习
《相交线》拓展练习
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)对于直线、射线、线段,在下列各图中能相交的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(5分)平面中2条不重合的直线至多可以将平面划分成4个区域,那么4条不重合的直线至多可以将平面划分成( )
A.8B.9C.10D.11
3.(5分)观察下列图形:
第一个图2条直线相交,最多有1个交点,第二个图3条直线相交最多有3个交点,第三个图4条直线相交,最多有6个交点,…,像这样,则30条直线相交,最多交点的个数是( )
A.435B.450C.465D.406
4.(5分)观察图形,并阅读相关的文字:
那么8条直线相交,最多可形成交点的个数是( )
A.21B.28C.36D.45
5.(5分)平面内两两相交的8条直线,其交点个数最少为m个,最多为n个,则m+n等于( )
A.16B.18C.29D.28
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)平面内n条直线,每两条直线都相交,最少有 个交点,最多有 个交点.
7.(5分)同一平面内的任意三条直线a、b、c,其交点的个数有 .
8.(5分)在同一平面内,两条相交直线公共点的个数是 ;两条平行直线的公共点的个数是 ;两条直线重合,公共点有 个.
9.(5分)平面中,两条直线相交最多只有一个交点,三条直线两两相交最多只有三个交点,四条直线两两相交最多只有六个交点,…请问10条直线两两相交,最多的交点数是 .
10.(5分)如图,一条直线l1,最多将平面分成两块,两条直线l1,l2相交,最多将平面分成4块,三条直线l1,l2,l3最多将平面分成7块,…,则9条直线l1,l2,…l9最多将平面分成 块.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)平面内有不重合的4条直线,请指出这4条直线交点个数的所有情况,并画出相应的草图.
12.(10分)探究题:
平面内两两相交的20条直线,其交点个数最少为1个,请你探究它们的交点最多为多少个?
13.(10分)我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?
一般地,n条直线最多有多少个交点?
说明理由.
14.(10分)平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?
它们最多能把平面分成多少个部分?
15.(10分)
(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成 个部分.
《相交线》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共5小题,共25.0分)
1.(5分)对于直线、射线、线段,在下列各图中能相交的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据直线能向两方无限延伸,射线能向一方无限延伸,线段不能延伸,据此进行选择.
【解答】解:
B中这条直线与这条射线能相交;A中线段和直线不能相交;C中线段和射线不能相交;D中直线和射线不能相交.
故选:
B.
【点评】本题考查了相交线,理解直线、线段和射线的延伸性是关键.
2.(5分)平面中2条不重合的直线至多可以将平面划分成4个区域,那么4条不重合的直线至多可以将平面划分成( )
A.8B.9C.10D.11
【分析】画出图形即可判断.
【解答】解:
如图3条直线把平面分成7个区域,4条直线把平面分成11个区域.
故选D.
【点评】本题考查相交线、规律型题目,考查学生的动手能力,解题的关键是学会画出图形,利用图象法解决问题,属于中考常考题型.
3.(5分)观察下列图形:
第一个图2条直线相交,最多有1个交点,第二个图3条直线相交最多有3个交点,第三个图4条直线相交,最多有6个交点,…,像这样,则30条直线相交,最多交点的个数是( )
A.435B.450C.465D.406
【分析】由于第一个图2条直线相交,最多有1个交点,第二个图3条直线相交最多有3个交点,第三个图4条直线相交,最多有6个,由此得到3=1+2,6=1+2+3,那么第四个图5条直线相交,最多有1+2+3+4=10个,以此类推即可求解.
【解答】解:
∵第一个图2条直线相交,最多有1个交点,
第二个图3条直线相交最多有3个交点,
第三个图4条直线相交,最多有6个,
而3=1+2,6=1+2+3,
∴第四个图5条直线相交,最多有1+2+3+4=10个,
∴30条直线相交,最多交点的个数是1+2+3+…+29=(1+29)×29÷2=435.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了平面内直线相交时交点个数的规律,解题时首先找出已知条件中隐含的规律,然后根据规律计算即可解决问题.
4.(5分)观察图形,并阅读相关的文字:
那么8条直线相交,最多可形成交点的个数是( )
A.21B.28C.36D.45
【分析】解答此题的关键是观察图形找出规律,如果8条直线相交,那么每条直线最多可形成7个交点.然后即可得出答案.
【解答】解:
观察图形可得:
n条直线相交最多可形成的交点个数为
,
∴8条直线相交,最多可形成交点的个数为
=
=
=
=28.
故选:
B.
【点评】此题主要考查学生对相交线的理解和掌握.解答此题的关键是观察图形找出规律.
5.(5分)平面内两两相交的8条直线,其交点个数最少为m个,最多为n个,则m+n等于( )
A.16B.18C.29D.28
【分析】由题意可得8条直线相交于一点时交点最少,任意两直线相交都产生一个交点时交点最多,由此可得出m,n的值,从而得出答案.
【解答】解:
根据题意可得:
8条直线相交于一点时交点最少,此时交点为1个,即m=1;
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多,
∵任意三条直线不过同一点,
∴此时交点为:
8×(8﹣1)÷2=28,即n=28;
则m+n=29.
故选:
C.
【点评】本题考查直线的交点问题,难度不大,注意掌握直线相交于一点时交点最少,任意三条直线不过同一点交点最多.
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
6.(5分)平面内n条直线,每两条直线都相交,最少有 1 个交点,最多有
个交点.
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
【解答】解:
2条直线相交最多有1个交点;
3条直线相交最多有1+2个交点;
4条直线相交最多有1+2+3个交点;
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点;
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n﹣1)=
个交点;
n条直线相交与一点,最少有1个交点,
故答案为:
1,
.
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交最多有n(n﹣1)÷2个交点.
7.(5分)同一平面内的任意三条直线a、b、c,其交点的个数有 0,1,2或3 .
【分析】在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,平行和相交,三条直线互相平行无交点,两条直线平行,第三条直线与它相交,有2个交点,三条直线两两相交,最多有3个交点,最少有1个交点.
【解答】解:
由题意画出图形,如图所示:
故答案为:
0,1,2或3.
【点评】此题主要考查了直线的交点个数问题,利用分类讨论得出是解题关键.
8.(5分)在同一平面内,两条相交直线公共点的个数是 1个 ;两条平行直线的公共点的个数是 0个 ;两条直线重合,公共点有 无数 个.
【分析】先画出两条直线平行、相交及重合的图示,再由其交点情况进行解答.
【解答】解:
如图所示:
由
(1)可知同一平面内,两条相交直线公共点的个数是1个;
由
(2)可知两条平行直线的公共点的个数是0个;
由(3)可知两条直线重合,公共点有无数个.
故答案为:
一个、0个、无数.
【点评】本题考查的是两条直线的位置关系,即相交、平行、重合.
9.(5分)平面中,两条直线相交最多只有一个交点,三条直线两两相交最多只有三个交点,四条直线两两相交最多只有六个交点,…请问10条直线两两相交,最多的交点数是 45 .
【分析】n条直线两两相交,最多有
个交点(n为正整数,且n≥2).
【解答】解:
10条直线两两相交,最多的交点个数是:
=45.
故答案是:
45.
【点评】本题主要考查了同一平面内相交直线的交点问题,根据题意找到规律是解题的难点.
10.(5分)如图,一条直线l1,最多将平面分成两块,两条直线l1,l2相交,最多将平面分成4块,三条直线l1,l2,l3最多将平面分成7块,…,则9条直线l1,l2,…l9最多将平面分成 46 块.
【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,进而得到答案.
【解答】解:
∵n=1,f
(1)=1+1=2,
n=2,f
(2)=f
(1)+2=4,
n=3,f(3)=f
(2)+3=7,
n=4,f(4)=f(3)+4=11,
n=5,f(5)=f(4)+5=16,
n=6,f(5)=f(5)+6=22,
n=7,f(7)=f(6)+7=29,
n=8,f(8)=f(7)+8=37,
n=9,f(9)=f(8)+9=46,
故答案为:
46.
【点评】本题考查直线与平面的关系,有一定难度,注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识.
三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)
11.(10分)平面内有不重合的4条直线,请指出这4条直线交点个数的所有情况,并画出相应的草图.
【分析】从平行线的角度考虑,先考虑四条直线都平行,再考虑三条、两条直至都不平行,作出草图即可看出.
【解答】解:
(1)当四条直线平行时,无交点,
(2)当三条平行,另一条与这三条不平行时,有3个交点,
(3)当两两直线平行时,有4个交点,
(4)当有两条直线平行,而另两条不平行时,有5个交点,
(5)当四条直线同交于一点时,只有1个交点,
(6)当四条直线两两相交,且不过同一点时,有6个交点,
(7)当有两条直线平行,而另两条不平行并且交点在平行线上时,有3个交点,
(8)当三条直线交于一点,第四条直线与其它三条直线有三个交点时,共有4个交点,
故4条直线交点个数为:
0或1或3或4或5或6.
【点评】本题考查了平行线与相交线的位置关系,没有明确平面上四条不重合直线的位置关系,需要运用分类讨论思想,从四条直线都平行线,然后数量上依次递减,直至都不平行,这样可以做到不重不漏,准确找出所有答案.
12.(10分)探究题:
平面内两两相交的20条直线,其交点个数最少为1个,请你探究它们的交点最多为多少个?
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
【解答】解:
2条直线相交最多有1个交点;
3条直线相交最多有1+2个交点;
4条直线相交最多有1+2+3个交点;
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点;
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n﹣1)=
个交点.
当n=20时,交点个数为
×20×(20﹣1)=190.
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是根据2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数发现规律.
13.(10分)我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?
一般地,n条直线最多有多少个交点?
说明理由.
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数,找出规律即可解答.
【解答】解:
如图:
2条直线相交有1个交点;
3条直线相交有1+2个交点;
4条直线相交有1+2+3个交点;
5条直线相交有1+2+3+4个交点;
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点;
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+(n﹣1)=
个交点.
【点评】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交有
个交点.
14.(10分)平面上有10条直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?
它们最多能把平面分成多少个部分?
【分析】
(1)画出图形,数出交点个数即可;
(2)从规律看,4条平行线第一条直线和每条相交将会多出4+1个平面,第二条直线和每条相交将会多出5+1个平面依此类推.
【解答】解:
如图,图中共有34个交点.
4条平行线5部分,
加一条线10部分,
再加一条16部分,
再加一条22部分,
可以看出规律5→10→16→22,
所以答案是5+5+6+6+6+9+10=47.
【点评】此题考查了图形的变化规律,画出图形是解题的关键.先根据具体数值得出规律,即可计算出正确结果.
15.(10分)
(1)1条直线,最多可将平面分成1+1=2个部分;
(2)2条直线,最多可将平面分成1+1+2=4个部分;
(3)3条直线,最多可将平面分成 7 个部分;
(4)4条直线,最多可将平面分成 11 个部分;
(5)n条直线,最多可将平面分成
个部分.
【分析】先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数,总结规律,进而求解.
【解答】解:
1条直线,将平面分为两个区域;
2条直线,较之前增加1条直线,增加1个交点,增加了2个平面区域;
3条直线,与之前两条直线均相交,增加2个交点,增加了3个平面区域;
4条直线,与之前三条直线均相交,增加3个交点,增加了4个平面区域;
…
n条直线,与之前n﹣1条直线均相交,增加n﹣1个交点,增加n个平面区域;
所以n条直线分平面的总数为1+(1+2+3+4+5+6+7+8+…n)=1+
,
(1)3条直线,最多可将平面分成1+1+2+3=7个部分,
(2)4条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4=11个部分,
(3)n条直线,最多可将平面分成1+1+2+3+4+…+n=
+1=
个部分.
故应填7,11,
.
【点评】本题是规律探寻题,理清数据的发生、发展规律是解题的关键.