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数学模型第三版》学习笔记
《数学模型（第三版）》学习笔记
写在开始
---小康社会欢迎您
今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是.
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：
（一）“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；
（二）模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；
（三）用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~？
——TonySunJuly2012,TJU
（目前已更新：
全12章）
第1章建立数学模型
关键词：
数学模型意义特点
？
第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
但通常，数学模型有严谨的特点，而且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低；同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简单的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最好的诠释：
用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
第2章初等模型
关键词：
初等数学简化技巧思想
这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
如何把问题做恰当的简化，到简单的数学工具能够表示、求解的程度，本章做出了很好的例子，同时分析也很精彩。
节公平席位分配，通过定义不公平程度等衡量标准，确立目标，提出Q值法。
有意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：
不存在满足上述公理的分配方法。
这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。
这给我们什么启示呢有些问题和工作，比如公平席位的分配，日常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分配，但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时，我们还有分配的意义吗答案不一；在这个例子中，固然是有意义的，我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。
录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型，均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。
实物交换——是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法，确定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想，得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是很好的方法，图中可以给我们很多信息（交点，截距，极限值……），而这些信息都一一对应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义，但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法，大致来说思想就是：
仅知道变量之间的制约关系（正/负相关），系数、阶数均未知，即只能得出表达式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来确定具体的表达式。
这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。
关键：
恰当地选择特征尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。
物理知识和经验是关键。
第2章小结：
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
第3章简单的优化模型
关键词：
简单优化微分法建模思想
本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题，可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。
在第3章中，主要是几个简单的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。
虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句——建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。
存贮模型
分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。
对存贮量函数q（t）作图，观察规律，对结果解释。
生猪出售时机
关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
森林救火
亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设对应的实际解释。
只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。
最优价格
主要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条着名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
血管分支
是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。
消费者的选择
一个消费者买两种产品时，钱应该如何分配。
分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U（q1,q1）。
冰山运输
也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设，这节研究怎样运输冰山使费用最小。
其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。
第4章数学规划模型
关键词：
数学规划方法lingo/lindo软件结果深入分析变量个数
约束条件、可行域、目标函数，构成了常说的“数学规划”模型。
本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别：
常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问题，因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
这一章内容不少，但都是一类问题，主要点有几个：
1.lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用，前两节叙述较多；
2.一些细节之处：
把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如p102的式（19）；
3.多目标规划的处理，p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标规划；
4.同前面章节一样地，对一个问题解出结果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束——我们要学习这种furtherdiscussion的精神，发现这个结果“恰与…相同…”之类的，不妨多问自己一句：
“这是偶然的吗”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。
如p109选课策略。
5.减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同时lingo对变量个数有限制），p115销售的例子。
6.求最优解时，为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。
第5章微分方程模型
关键词：
动态模型合理假设分析预测控制
这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。
对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。
自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。
一个方程，有时就表示着一件事，这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
传染病模型
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：
SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。
可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。
其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。
模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。
经济增长模型
通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。
本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。
本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。
正规战与游击战
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。
重点在于建模过程：
如何描述战争双方的特性，如何作假设。
然后用来分析硫磺岛战役。
这节很好地体现了微分方程的强大。
药物在体内的分布与排除
本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。
重点在于1）模型的假设：
尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。
先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。
香烟过滤嘴的作用
看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。
本例是经典的建模案例。
人口的预测和控制
本节模型与之前的区别在于：
考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。
过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。
烟雾的扩散与消失
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。
万有引力定律的发现
十分有意义的一节。
我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的，这一节再现了这个推导过程。
这个模型告诉我们：
正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。
我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。
第6章稳定性模型
关键词：
稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线
本章是建立在上一章的基础上，在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念，那就是——对于某些问题，我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特征，特别是时间充分长以后的状态/趋势，从而判断是否“稳定”。
这时我们往往不需要“求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。
*微分方程稳定性理论简介
这一节应为优先阅读的一节，介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。
数学推导稍复杂（对于未接触过的同学），重要在于了解一些概念、结论，在模型实例中来进一步理解。
捕鱼业的持续收获
研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得最大收益。
这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。
在稳定的前提下步步深入。
军备竞赛
这个问题在第二章初等模型中就出现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。
正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：
一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度，得到的结果又怎样解释实际现象。
种群的相互竞争种群的相互依存食饵-捕食者模型
这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。
其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：
从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点对应的意义作出解释。
第7章差分方程模型
关键词：
差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌
将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。
这章与第8章讨论的是确定性离散模型。
实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。
离散的一个优势在于，便于计算机求解。
差分方程简介：
介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。
本章要用到的知识。
市场经济中的蛛网模型
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。
本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。
本节最后对结果的解释也非常值得学习：
启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。
减肥计划——节食与运动
这是一个很生活的问题，主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内（均以WTO颁布的体重指数BMI衡量）。
我认为这个模型的两点仍然在建模本身：
及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达，写出差分方程。
其中p208的“基本方程”式
（1）是整个模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。
注意到，式
（1）其实是一个“建而不解”的方程。
但正如节末评注中所述，实际参数的设置会更复杂，代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。
但我们先要学习的还是建模这一步。
差分形式的阻滞增长模型
此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。
有时，用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。
（按：
本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实”些，因为我们也只是想要每个时段的数量）
要注意的是：
若用离散描述，需要说明各“时段”指代意义。
推出p211的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：
此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。
我们最关心的往往是k趋向无穷时，y/x收敛情况，即平衡点稳定性的问题。
这里微分、差分方程判别上有区别。
P212中，通过深入讨论和213页的数据表发现，不同的参数b下收敛情况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多个收敛的子序列。
然后发现当n区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，出现混沌现象（Chaos）。
混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。
按年龄分组的种群增长
这个模型的主要区别在于：
将种群分成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。
这一节的数学推导稍繁。
第8章离散模型
关键词：
层次分析排名次冲量过程“分赃”群体决策
（本章是确定性离散模型的应用、方法）
层次分析模型
社会经济系统分析工具。
排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也很好。
关键在于1）“成对比较矩阵”的确定及修正，2）特征根法求权向量的原理（重要），3）1-9比较尺度（Satty等人提出），4）一致性检验。
循环比赛的名次
这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：
邻接矩阵+得分向量。
转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。
按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量，若比不出则停滞了；但若将i级乘回邻接矩阵，可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键，而且简单易用易理解。
对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义，是此思想的关键，我觉得可以接受，看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。
（p246）
社会经济系统的冲量过程
区别于机理分析、统计分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。
主要工具有：
带符号加权的有向图，冲量过程（类比物理“冲量“概念）。
其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调整”到稳定。
这是实际问题关注的。
效益的合理分配
几方（大于3方）合作，已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合作后，谁的功劳最大也就是说，干完活后，如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
本节介绍了3类方法：
Shapley值，协商解等，Raiffa解。
最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。
3种方法特点在p262。
是客观求各因素权重的有力途径。
存在公正的选举规则吗
这一节类似第2章的“公平席位”。
主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
首先是简单的选举规则。
接着介绍ArrowK的工作：
提出一组公理，却证明不存在满足这组公理的选举规则，但很具有启发性。
然后是联合尺度选举规则，它是一个简单易行的规则（但是对投票情况限制了，才可能满足Arrow公理）。
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离，这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
第9章概率模型
关键词：
随机模型基础概率生灭过程数值解分析
相对“确定性”模型来说，当随机因素的影响不可忽略时，就要建立随机模型。
概率模型就是比较简单的随机模型，这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
关键点有：
1.如何定义随机因素相关的量。
针对一个实际问题，做好定义是开始工作的根本。
2.随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手，但求解中为了需要可能会转化为连续（如p274的求和转化为积分）。
3.要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值，而均值是可以调整的）。
4.一般的“生灭过程”参考的随机人口模型——相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。
5.有些模型无法解析求解，然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要（预订票策略）。
第10章统计回归模型
关键词：
数据拟合MATLAB统计残差分析自相关逐步回归
对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据，用统计方法建立模型——统计回归模型。
关键点有：
1.做散点图，大致判断函数趋势（比如有明显的线性增长），确定方程形式，待定系数。
2.用MATLAB统计工具箱regress拟合，得出结果；重点：
如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点，R^2、F）。
3.（考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如中引入价格差（p297最后一段说明）。
4.利用好回归变量的预测（置信）区间。
5.改进回归模型：
逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。
若MATLAB拟合输出信息表明有改进，则说明模型更符合实际。
还可加上作图对比前后模型（p300）。
6.残差分析（p305，但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应该怎样改进模型。
7.p307评注内容：
0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
8.线性化（p309），及非线性MATLAB求解（p310）；p315最后两段。
9.自相关的考虑（节）：
若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），普通回归模型将失去意义。
我们必须先检测是否存在自相关（D-W检验、广义差分法），同时注意若高阶自相关，则必须改进直至不存在自相关为止。
10.逐步回归：
因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显着的变量。
第11章马氏链模型
关键词：
离散随机过程无后效性转移概率状态选取
基本概念
这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型，及若干个应用。
总体从浅到深，阐述了马氏链的主要思想。
1.无后效性/Markov性：
系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于1）这个时期状态2）转移概率，与以前各时期状态无关。
2.马氏链（MarkovChain）模型通常描述：
已知现在，将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。
3.一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
一、健康与疾病
主要介绍马氏链基本概念、要素：
系统的状态，状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。
本章讨论时齐的（转移概率与时段n无关）马氏链。
同时介绍2种主要类型——
1）正则链：
从任意状态出发，经过有限次转移都能达到另外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；
2）吸收链：
首先引入吸收状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1，即进了这个状态就出不来了，被“吸收”掉。
吸收链是（至少）存在一个吸收状态，使马氏链从每个费吸收状态出发，能有限次到某个吸收状态。
二、钢琴销售的存贮策略
动态随机存贮。
一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。
判断转移矩阵P为正则链后，用公式求出稳态概率分布w，就是达到稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。
这个模型虽然简单，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子，其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
三、基因遗传
用马氏链模型研究遗传过程，关键是建模的过程——即选取系统的状态，这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。
随机交配过程推导的结果是（p^2,2pq,q^2）分布将保持下去，即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律；然而，近亲繁殖中，得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话，若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种，并保持下去。
这两个结论（虽然在理想化假设下）与我们之前的认识是很一致的，从中加深了马氏链的理解。
四、等级结构
这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况，目标是研究等级分布变化规律，假设总人数不变。
然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。
重点在于变量的设置，以及还是状态设置、模型建立过程。
建模过后，先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制，其中有“稳定域”的构造、分析。
然后是具体如何用调入比例，进行动态调节，实则转化为了一步步优化问题，动态调节的过程是一步接一步的，有重复循环的操作规律。
这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性，以及给编程创造了机会。
五、资金流通
基本与等级结构一样，一系列推导最后总结出步骤，先判断稳定能否达到，若能达到，则由公式算出每年应如何投放资金。
与等级模型不同在于：
各地区资金进出可正可负；所有地区资金总和可以变化。
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