九年级中考二轮专题二次函数图象的应用.docx
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九年级中考二轮专题二次函数图象的应用
意林数学思维方法讲义之八年级:
九年级
2019-2020年九年级中考二轮专题:
二次函数图象的应用
【今日目标】
1、二次函数图象与系数的关系(二次函数中a,b,c的作用):
⑴决定__________。
①当__时,图象开口向上,当x=_________时,函数有最___值________;当x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x的增大而________。
②当_________时,图象开口向下,当x=_________时,函数有最___值________;x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x的增大而________。
③当||越大,图象开口越_____。
(2)和b共同决定________。
①b=0时,对称轴为______;②和b同号时对称轴在y轴___侧;③和b异号时对称轴在y轴___侧。
简记为。
(3)c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___时,图象与y轴正半轴相交;当___时,图象与y轴负半轴相交;当___时,图象过原点。
(4)当___时,图象与x轴有两个交点;当_时,图象与x轴仅有一个交点;当___时,图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体,通过对四大要素的理解,结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似,利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】
题型一二次函数的图象与系数的关系
【例1】已知:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是(填番号)
●变式练习:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
题型二二次函数的图象和性质的基本应用
【例2】已知,二次函数的解析式y1=-x2+2x+3.
(1)求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
(5)若直线y2=ax+b(a≠0)的图象与该二次图象交于A(,m),B(2,n)两点,结合图象直接写出当x取何值时y1>y2?
●变式练习:
对于二次函数,有下列说法:
①它的图象与轴有两个公共点;②如果当≤1时随的增大而减小,则;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;
④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.
其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)
【例3】二次函数的图象如图,若一元二次方程
有实数根,则m的最大值为()
A.-3B.3C.-5D.9
●变式练习:
如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:
当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是或.
其中正确的是(填番号)
题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等
【例4】如图,若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n),已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m,n且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若
(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?
(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.
●变式练习:
如图,已知二次函数的图象经过A(,),B(0,7)两点.
⑴求该抛物线的解析式及对称轴;
⑵当为何值时,?
⑶在轴上方作平行于轴的直线,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
【例5】如图,在平面直角坐标系中,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断的形状,并说明理由;
(3)在线段上是否存在点,使∽?
若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经
过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在,
求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【例7】如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=。
将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?
求出这时点P的坐标;
(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
●变式练习:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C
(0,4),顶点为(1,
).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请
直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)若点E是线段AB上的一个动点(点E与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作
EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?
若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
【课后测控】
1、抛物线的开口_____,对称轴为_________,顶点坐标为__________;当x=时,函数有最值,其最值为。
2、已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图像的一部分如图所示,对于下列说法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-10.其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上).
4、已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:
①;②;③;④;⑤(的实数),其中正确的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
5、如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线
的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点
C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为()
A.-3 B.1C.5D.8
6、抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法中正确的是.(填写序号)①③④
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;
③抛物线的对称轴是直线x=; ④在对称轴左侧,y随x增大而增大.
7、如图11,已知抛物线与x轴交于两点A、B,其顶点为C.
(1)对于任意实数m,点M(m,-2)是否在该抛物线上?
请说明理由;
(2)求证:
△ABC是等腰直角三角形;
(3)已知点D在x轴上,那么在抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8、如图,抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l:
y=x-5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。
部分答案:
【例1】解答:
解:
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=>0,∴a、b异号,即b<0,又∵c<0,∴abc>0,故本选项正确;
②∵对称轴为x=>0,a>0,∴﹣b>2a,∴2a+b>0;故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定;故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2=0;∴(a+c)2=b2故本选项错误;
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;当x=1时,a+b+c=0,∴a+c=1,∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤.
例3变式【答案】③④。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1。
∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2,
若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x<0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大。
∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,与y轴交点坐标为:
(0,2),
当x=0时,M=2,抛物线y1=﹣2x2+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在;∴此判断正确。
④∵使得M=1时,
若y1=﹣2x2+2=1,解得:
x1=,x2=﹣;
若y2=2x+2=1,解得:
x=﹣。
由图象可得出:
当x=>0,此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为:
(1,0),(﹣1,0),
∴当﹣1<x<0,此时对应y2=M,
∴M=1时,x=或x=﹣。
∴此判断正确。
因此正确的有:
③④。
【例4】
(1)∵x2-4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3
∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3)
又∵抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(1,0)、B(0,3)两点
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3
1.作直线BC
由
(1)得,y=-x2-2x+3
∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴的另一个交点为C令-x2-2x+3=0
解得:
x1=1,x2=-3
∴C点的坐标为(-3,0)
由图可知:
当-3<x<0时,抛物线的图像在直线BC的上方.
(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,-a2-2a+3)
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.
∴F是线段PE的中点.
即F点的坐标是(a,)
∵直线BC过点B(0.3)和C(-3,0)
易得直线BC的解析式为y=x+3
∵点F在直线BC上,所以点F的坐标满足直线BC的解析式
即=a+3
解得a1=-1,a2=-3(此时P点与点C重合,舍去)
∴P点的坐标是(-1,0)
【例6】解:
(1)的顶点坐标为D(-1,-4),
∴.………………………………2分
∴
(2)由
(1)得.
当时,.解之,得 .
∴.又当时,
,
∴C点坐标为.………………………4分
又抛物线顶点坐标,作抛物线的对称轴交轴于点E,轴于点.易知
在中,;在中,;
在中,;∴.
∴△ACD是直角三角形.…………………………6分
(3)存在.作OM∥BC交AC于M,M点即为所求点.
由
(2)知,为等腰直角三角形,,.
由,得.即
.……………8分
过点作于点,则
,
.
又点M在第三象限,所以.…………………………10分
【例7】解:
(1)由OB=2,可知B(2,0)
将A(-2,-4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得
解得:
∴抛物线的函数表达式为。
(2)由
,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。
∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB
作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=
∴MO+MA的最小值为。
(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线对称,
由A(-2,-4),得P(4,-4),则得梯形OAPB。
②若OA∥BP,设直线OA的表达式为,由A(-2,-4)得,。
设直线BP的表达式为,由B(2,0)得,,即,
∴直线BP的表达式为
由
,解得,(不合题意,舍去)
当时,,∴点P(),则得梯形OAPB。
③若AB∥OP,设直线AB的表达式为,则
,解得,∴AB的表达式为。
∴直线OP的表达式为。
由
,得,解得,(不合题意,舍去),此时点P不存在。
综上所述,存在两点P(4,-4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。
【例8】思路导引:
确定二次函数解析式,寻找经过三点的坐标十分关键,运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定,计算动点构造的三角形的面积并且确定最值,因此运用面积构造面积的函数式,结合得出的函数形式,运用其性质解答;判断符合某种条件的点的存在性问题,注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息,确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程,通过解方程并且检验得出符合题意的解;
解析:
(1)∵AB⊥x轴,AB=3,tan∠AOB=,∴OB=4,
∴点B坐标是(-4,0),B1(0,-4),A2(3,0),
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2,
∴
,解得:
a=,b=,c=—4,
∴抛物线的解析式是y=x2+x—4,
(2)点P是第三象限内抛物线y=x2+x—4上一点,过点P作PC⊥x轴,垂足是点C,设点P的坐标是(m,n),则m<0,n<0,n=m2+m—4,则有
PC=︱n︱=—n=—m2—m+4,OC=︱m︱=-m,BC=OB—OC=︱—4︱—︱m︱=4+m,
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC—S△OBB1=BC×PC+(PC+OB1)×OC-×OB×OB1
=×(4+m)×(—m2—m+4)+×[(—m2—m+4)+4]×(—m)
—×4×4=—m2—=—(m+2)2+.
(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x,y),使得点Q到BB1的距离是
,过点Q作QD⊥BB1于点D,由
(2)可知,这时△PBB1的面积可以表示为
—(x+2)2+.
在Rt△OBB1中,BB1==,
∵S△PBB1=×BB1×QD=××=2,
∴—(x+2)2+=2,解得:
x的值是-1或者是-3,当x=-1时,y=-4,当x=-3时,y=-2,因此在第三象限内,抛物线上存在点Q,使得Q点到线段BB1的距离是,这样的点Q的坐标是(—1,—4)(—3,—2);
【例8】变式
(1)∵抛物线的顶点为(1,
)
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x-1)2+
………………2分
∵抛物线与y轴交于点C(0,4),
∴a(0-1)2+
=4
解得a=-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
(x-1)2+
………………4分
(2)解:
P1(1,
),P2(1,-
),P3(1,8),P4(1,
),………………8分
(3)解:
令-
(x-1)2+
=0,解得x1=-2,x1=4
∴抛物线y=-
(x-1)2+
与x轴的交点为A(-2,0)C(4,0)………………9分
过点F作FM⊥OB于点M,
∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴
=
又∵OC=4,AB=6,∴MF=
×OC=
EB
设E点坐标为(x,0),则EB=4-x,MF=
(4-x)…………10分
∴S=S△BCE-S△BEF=
EB·OC-
EB·MF
=
EB(OC-MF)=
(4-x)[4-
(4-x)]
=-
x2+
x+
=-
(x-1)2+3
∵a=-
<0,∴S有最大值
当x=1时,S最大值=3…………11分
此时点E的坐标为(1,0)…………12分