高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档.docx
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高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
1、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上
⇔f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:
若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点⇔{
有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
f1(x0,y0)=0
f2(x0,y0)=0
方程组
二、圆:
1、定义:
点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:
(1)标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
2222
D,-E)半径是
(2)一般方程:
①当D+E-4F>0时,一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(-
22
DE22
2222D+E-4F
。
配方,将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为(x+)+(y+)=
2224
DE
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-,-);
22
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r⇔点M在圆C内,|MC|=r⇔点M
在圆C上,|MC|>r⇔点M在圆C内,其中|MC|=。
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交⇔有两个公共点;直线与圆相切
⇔有一个公共点;直线与圆相离⇔没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
与半径r的大
小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为
1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
定值e的点的轨迹.(0e的点的轨迹.(e>1)
轨迹条件
点集:
({M||MF1+|MF2|=2a,|F
1F2|<2a=
点集:
{M||MF1|-|MF2|.
=±2a,|F2F2|>2a}.
点集{M||MF|=点M到直线l
的距离}.
图形
方
程
标准方程
x2+y2=
a2b21(a>b>0)
x2-y2=1
(a>0,b>0)
a2b2
y2=2px
参数方程
⎨x=acos
⎩y=bsin
(参数为离心角)
⎨x=asec
⎩y=btan
(参数为离心角)
⎧⎨x=2pt2
⎩y=2pt(t为参数)
范围
─a≤x≤a,─b≤y≤b
|x|≥a,y∈R
x≥0
中心
原点O(0,0)
原点O(0,0)
顶点
(a,0),(─a,0),(0,b),
(0,─b)
(a,0),(─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
x轴,y轴;
实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0),F2(─c,0)
F1(c,0),F2(─c,0)
F(p,0)2
准线
a2
x=±
c
准线垂直于长轴,且在椭圆外.
a2
x=±
c
准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.
p
x=-
2
准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.
焦距
2c(c=a2-b2)
2c(c=a2+b2)
离心率
e=c(0a
e=c(e>1)
a
e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:
双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率e=.
x2-y2
⑷共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
a2
b2=与
x2-y2
x2y2
=-互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
0.
a2b2a2b2
x2-y2
=(≠0)的渐近线方程为x2-y2=
x±y
⑸共渐近线的双曲线系方程:
2
a2
x2-y2
b20如果双曲线的渐近线为
a2
=0时,它的双曲
ab
线方程可设为
a2
b2=(≠0).
【备注2】抛物线:
2pp2p
(1)抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),
222
p2pp
准线方程x=,开口向左;抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=-,开口向上;
222
2pp
抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.
22
2p2
(2)
抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF=x0+2;抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的
p
距离MF=-x0
2
2pp
(3)设抛物线的标准方程为y=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离
22
为p.
(4)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长
AB=x+x+p或AB=2p(α为直线AB的倾斜角),yy
=-p2,xx=p2,AF=x+p(AF叫做焦半径).
12sin2
12121
42
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:
在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:
坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3)
坐标轴的平移公式:
设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′中的坐标是
(x',y').设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则
x=x'+h
或
y=y'+k
x'=x-hy'=y-k
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方程
焦点
焦线
对称轴
椭圆
(x-h)2(y-k)2
+=1
a2b2
(±c+h,k)
a2
x=±+h
c
x=hy=k
(x-h)2(y-k)2
+=1
b2a2
(h,±c+k)
a2
y=±+k
c
x=hy=k
双曲线
(x-h)2(y-k)2
-=1
a2b2
(±c+h,k)
a2
x=±+k
c
x=hy=k
(y-k)2(x-h)2
-=1
a2b2
(h,±c+h)
a2
y=±+k
c
x=hy=k
p
p
(y-k)2=2p(x-h)
(+h,k)
2
x=-+h
2
y=k
p
p
(y-k)2=-2p(x-h)
(-+h,k)
2
x=+h
2
y=k
抛物线
p
p
(x-h)2=2p(y-k)
(h,+k)
2
y=-+k
2
x=h
p
p
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,-+k)
2
y=+k
2
x=h
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若P(x,y)在椭圆x2+y2=1上,则过P的椭圆的切线方程是x0x0
yy
=1.
000a2b20
x2y2
a2b2
6.若P0(x0,y0)在椭圆a2+b2
x0x+y0y=1.
a2b2
x2y2
=1外,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
7.椭圆+
a2b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=,则椭圆的焦点角形的面积
2
为S∆FPF=btan.
122
x2y2
8.椭圆a2b2=1(a>b>0)的焦半径公式|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于
M、N两点,则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则
MF⊥NF.
x2y2
b2b2x
11.AB是椭圆+=1的不平行于对称轴的弦,M(x
y0)为AB的中点,则k⋅k
=-,即KAB=-20。
a2b2
0OMAB2ay
0
P(x,y)
x2+y2=1
x0x0
y0y
0x2y2
000
【推论】:
a2b2a2b2a2b2
1、若P(x,y)在椭圆x2+y2
=1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
x2+y2
0xx0yy
000a2b2a2b2a2b2
=-
2
xy2
+1(a>b>o)的两个顶点为A(
a2b2
xy
22
程是-=1.
a2b2
x2y2
2、过椭圆
a2b2
b2x
1a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方
=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向
且kBC
=0(常数).
a2y0
22
3、若P为椭圆a2+b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=,∠PF2F1=,则
a-c=tan
a+c
2cot2.
x2y2
4、设椭圆
2+=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记
a
∠FPF=
b2
∠PFF
=∠FFP=
sin
=c=e.
12,12
x2+y2=1
12
,则有
sin+sina
5、若椭圆
a2b2
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤
-1时,可在椭圆上求一点P,使
得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2
6、P为椭圆
2+=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
ab2
2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
(x-x)2(y-y)2
7、椭圆0+0=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥(Ax+By+C)2.
a2b200
x2y2
8、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP⊥
OQ.
(1)
11114a2b222
+=+
22ab
|OP|2|OQ|2a2b2;
(2)|OP|+|OQ|的最大值为a2+b2;(3)S∆OPQ的最小值是a2+b2.
x2y2
9、过椭圆
2+=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则
a
|PF|=e.
|MN|2
b2
x2y2
10、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则
-a2-b2<
ax0
.
a
x2y2
11、设P点是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=,则
(1)
|PF
||PF
2b2
|=.
(2)S∆PFF=b2
tan.
121+cos122
x2+y2=
∠=
12、设A、B是椭圆
a2
1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
b2
PAB,
∠PBA=,∠BPA=,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
(1)|PA|=
2a2b2
2ab2|cos|
a2-c2cos2
.
(2)
tantan=1-e2.(3)S=
cot.
x2y2
∆PABb2-a2
13、已知椭圆
2+=1(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点
ab2
C在右准线l上,且BC⊥x轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:
P在右支;外切:
P在左支)
5、若P(x,y)在双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)上,则过P的双曲线的切线方程是x0x0yy
=1.
000a2b20a2b2
x2y2
6、若P0(x0,y0)在双曲线a2-b2
x0xy0y
=1(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线
方程是
-=1.
a2b2
x2y2
7、双曲线a2-b2=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=,则双曲线的焦点角
2
形的面积为S∆FPF=bcot.
122
x2y2
8、双曲线a2-b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式:
(F1(-c,0),F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,
|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|=-ex0+a,|MF2|=-ex0-a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点
N,则MF⊥NF.
x2y2
b2x
11、AB是双曲线-=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x
y0)为AB的中点,则KOM⋅KAB=
20,即
a2b2
b2x
0ay
0
KAB
=a2y0。
0
P(x,y)
x2-y2=1
x0x0
y0y0
x2y2
000a2b2
13、若P(x,y)在双曲线x2-y2
=1(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
a2
x2-y2
b2a2b2
xxyy
=0-0.
000
【推论】:
x2y2
a2b2a2b2a2b2
1、双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2
x2y2
交点的轨迹方程是
a2+b2=1.
x2y2
2、过双曲线
a2b2
b2x
=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有
定向且kBC
=-0(常数).
a2y0
x2y2
3、若P为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=,
(或
∠PFF=,则c-a=tan
c-a=tan
cotcot).
21c+a
22c+a22
x2y2
4、设双曲线
2-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记
a
∠FPF=
b2
∠PFF
=∠FFP=
sin
=c=e.
12,
12,12
,则有
±(sin-sin)a
x2y2=1
5、若双曲线
a2-b2
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤
+1时,可在双曲线上求一
点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2
6、P为双曲线a2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,
当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.
x2y222222
7、双曲线
a2
-ÿ1
Bb≤C.
-
(a>0,b>
C=0
0A)x与+直B线y+
有公共点的充要条件是Aab2
x2
8、已知双曲线
y2=1(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP⊥
a2-b2OQ.
a2b2
11114a2b2