高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档.docx

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高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

1、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：

若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点P0（x0,y0）在曲线C上⇔f（x0,y0）=0；点P0（x0,y0）不在曲线C上

⇔f（x0,y0）≠0。

两条曲线的交点：

若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0,则点P0（x0,y0）是C1，C2的交点⇔{

有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

f1（x0,y0）=0

f2（x0,y0）=0

方程组

二、圆：

1、定义：

点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：

（1）标准方程：

圆心在c（a,b），半径为r的圆方程是（x-a）2+（y-b）2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

2222

D,-E）半径是

（2）一般方程：

①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为（-

22

DE22

2222D+E-4F

。

配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为（x+）+（y+）=

2224

DE

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-,-）;

22

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则｜MC｜＜r⇔点M在圆C内，｜MC｜=r⇔点M

在圆C上，｜MC｜＞r⇔点M在圆C内，其中｜MC｜=。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切

⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离d=

与半径r的大

小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比为

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

定值e的点的轨迹.（0

e的点的轨迹.（e>1）

轨迹条件

点集：

（{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

1F2｜＜2a＝

点集：

{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.

=±2a,｜F2F2｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到直线l

的距离}.

图形

方

程

标准方程

x2+y2=

a2b21（a>b>0）

x2-y2=1

（a>0,b>0）

a2b2

y2=2px

参数方程

⎨x=acos

⎩y=bsin

（参数为离心角）

⎨x=asec

⎩y=btan

（参数为离心角）

⎧⎨x=2pt2

⎩y=2pt（t为参数）

范围

─a≤x≤a，─b≤y≤b

|x|≥a，y∈R

x≥0

中心

原点O（0，0）

原点O（0，0）

顶点

（a,0）,（─a,0）,（0,b）,

（0,─b）

（a,0）,（─a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F1（c,0）,F2（─c,0）

F1（c,0）,F2（─c,0）

F（p,0）2

准线

a2

x=±

c

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

a2

x=±

c

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

p

x=-

2

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=a2-b2）

2c（c=a2+b2）

离心率

e=c（0

a

e=c（e>1）

a

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：

双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e=.

x2-y2

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

a2

b2=与

x2-y2

x2y2

=-互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

0.

a2b2a2b2

x2-y2

=（≠0）的渐近线方程为x2-y2=

x±y

⑸共渐近线的双曲线系方程：

2

a2

x2-y2

b20如果双曲线的渐近线为

a2

=0时，它的双曲

ab

线方程可设为

a2

b2=（≠0）.

【备注2】抛物线：

2pp2p

（1）抛物线y=2px（p>0）的焦点坐标是（,0），准线方程x=-，开口向右；抛物线y=-2px（p>0）的焦点坐标是（-,0），

222

p2pp

准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py（p>0）的焦点坐标是（0,），准线方程y=-，开口向上；

222

2pp

抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.

22

2p2

（2）

抛物线y=2px（p>0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离MF=x0+2；抛物线y=-2px（p>0）上的点M（x0,y0）与焦点F的

p

距离MF=-x0

2

2pp

（3）设抛物线的标准方程为y=2px（p>0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离

22

为p.

（4）已知过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则弦长

AB=x+x+p或AB=2p（α为直线AB的倾斜角），yy

=-p2，xx=p2,AF=x+p（AF叫做焦半径）.

12sin2

12121

42

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）

坐标轴的平移公式：

设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是

（x',y'）.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则

x=x'+h

或

y=y'+k

x'=x-hy'=y-k

叫做平移（或移轴）公式.

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表：

方程

焦点

焦线

对称轴

椭圆

（x-h）2（y-k）2

+=1

a2b2

（±c+h,k）

a2

x=±+h

c

x=hy=k

（x-h）2（y-k）2

+=1

b2a2

（h,±c+k）

a2

y=±+k

c

x=hy=k

双曲线

（x-h）2（y-k）2

-=1

a2b2

（±c+h,k）

a2

x=±+k

c

x=hy=k

（y-k）2（x-h）2

-=1

a2b2

（h,±c+h）

a2

y=±+k

c

x=hy=k

p

p

（y-k）2=2p（x-h）

（+h,k）

2

x=-+h

2

y=k

p

p

（y-k）2=-2p（x-h）

（-+h,k）

2

x=+h

2

y=k

抛物线

p

p

（x-h）2=2p（y-k）

（h,+k）

2

y=-+k

2

x=h

p

p

（x-h）2=-2p（y-k）

（h,-+k）

2

y=+k

2

x=h

六、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.

若P（x,y）在椭圆x2+y2=1上，则过P的椭圆的切线方程是x0x0

yy

=1.

000a2b20

x2y2

a2b2

6.若P0（x0,y0）在椭圆a2+b2

x0x+y0y=1.

a2b2

x2y2

=1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

7.椭圆+

a2b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=，则椭圆的焦点角形的面积

2

为S∆FPF=btan.

122

x2y2

8.椭圆a2b2=1（a＞b＞0）的焦半径公式|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0（F1（-c,0）,F2（c,0）M（x0,y0））.

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于

M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则

MF⊥NF.

x2y2

b2b2x

11.AB是椭圆+=1的不平行于对称轴的弦，M（x

y0）为AB的中点，则k⋅k

=-，即KAB=-20。

a2b2

0OMAB2ay

0

P（x,y）

x2+y2=1

x0x0

y0y

0x2y2

000

【推论】：

a2b2a2b2a2b2

1、若P（x,y）在椭圆x2+y2

=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

x2+y2

0xx0yy

000a2b2a2b2a2b2

=-

2

xy2

+1（a＞b＞o）的两个顶点为A（

a2b2

xy

22

程是-=1.

a2b2

x2y2

2、过椭圆

a2b2

b2x

1a,0）,A2（a,0），与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方

=1（a＞0,b＞0）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向

且kBC

=0（常数）.

a2y0

22

3、若P为椭圆a2+b2=1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=,∠PF2F1=，则

a-c=tan

a+c

2cot2.

x2y2

4、设椭圆

2+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记

a

∠FPF=

b2

∠PFF

=∠FFP=

sin

=c=e.

12,12

x2+y2=1

12

，则有

sin+sina

5、若椭圆

a2b2

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤

-1时，可在椭圆上求一点P，使

得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6、P为椭圆

2+=1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2

2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

（x-x）2（y-y）2

7、椭圆0+0=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥（Ax+By+C）2.

a2b200

x2y2

8、已知椭圆a2+b2=1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP⊥

OQ.

（1）

11114a2b222

+=+

22ab

|OP|2|OQ|2a2b2;

（2）|OP|+|OQ|的最大值为a2+b2;（3）S∆OPQ的最小值是a2+b2.

x2y2

9、过椭圆

2+=1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

a

|PF|=e.

|MN|2

b2

x2y2

10、已知椭圆a2+b2=1（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）,则

-a2-b2<

ax0

.

a

x2y2

11、设P点是椭圆a2+b2=1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=，则

（1）

|PF

||PF

2b2

|=.

（2）S∆PFF=b2

tan.

121+cos122

x2+y2=



∠=

12、设A、B是椭圆

a2

1（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

b2

PAB,

∠PBA=,∠BPA=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

（1）|PA|=

2a2b2

2ab2|cos|

a2-c2cos2

.

（2）

tantan=1-e2.（3）S=

cot.

x2y2

∆PABb2-a2

13、已知椭圆

2+=1（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点

ab2

C在右准线l上，且BC⊥x轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注:

在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

P在右支；外切：

P在左支）

5、若P（x,y）在双曲线x2-y2=1（a＞0,b＞0）上，则过P的双曲线的切线方程是x0x0yy

=1.

000a2b20a2b2

x2y2

6、若P0（x0,y0）在双曲线a2-b2

x0xy0y

=1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线

方程是

-=1.

a2b2

x2y2

7、双曲线a2-b2=1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=，则双曲线的焦点角

2

形的面积为S∆FPF=bcot.

122

x2y2

8、双曲线a2-b2=1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：

（F1（-c,0）,F2（c,0））当M（x0,y0）在右支上时，

|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a；当M（x0,y0）在左支上时，|MF1|=-ex0+a,|MF2|=-ex0-a。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点

N，则MF⊥NF.

x2y2

b2x

11、AB是双曲线-=1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x

y0）为AB的中点，则KOM⋅KAB=

20，即

a2b2

b2x

0ay

0

KAB

=a2y0。

0

P（x,y）

x2-y2=1

x0x0

y0y0

x2y2

000a2b2

13、若P（x,y）在双曲线x2-y2

=1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

a2

x2-y2

b2a2b2

xxyy

=0-0.

000

【推论】：

x2y2

a2b2a2b2a2b2

1、双曲线a2-b2=1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1（-a,0）,A2（a,0），与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2

x2y2

交点的轨迹方程是

a2+b2=1.

x2y2

2、过双曲线

a2b2

b2x

=1（a＞0,b＞o）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有

定向且kBC

=-0（常数）.

a2y0

x2y2

3、若P为双曲线a2-b2=1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=,

（或

∠PFF=，则c-a=tan

c-a=tan

cotcot）.

21c+a

22c+a22

x2y2

4、设双曲线

2-=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记

a

∠FPF=

b2

∠PFF

=∠FFP=

sin

=c=e.

12,

12,12

，则有

±（sin-sin）a

x2y2=1

5、若双曲线

a2-b2

（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤

+1时，可在双曲线上求一

点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6、P为双曲线a2b2=1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,

当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y222222

7、双曲线

a2

-ÿ1

Bb≤C.

-

（a＞0,b＞

C=0

0A）x与+直B线y+

有公共点的充要条件是Aab2

x2

8、已知双曲线

y2=1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥

a2-b2OQ.

a2b2

11114a2b2