高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档.docx

1、高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理推荐文档高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 1、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程； 这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程

2、分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。f1 (x0 , y0 ) = 0f2 (x0 , y0 ) = 0方程组二、圆： 1、定义：点集MOM=r，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r22 2 2 2D ,- E ) 半径是 (2)一般方程：当 D +E -4F0 时，一元二次方程 x +y +D

3、x+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2 2D E 2 22 2 2 2 D + E - 4F。配方，将方程 x +y +Dx+Ey+F=0 化为(x+ ) +(y+ ) =2 2 2 4D E当D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(- ,- );2 2当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则MCr 点 M 在圆 C 内，MC=r 点 M在圆 C 上，MCr 点 M 在圆 C 内，其中MC= 。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公

4、共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d =与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时， 轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆双曲线抛物线定义1

5、.到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(02a|F1F2|)的点的轨 迹2与定点和直线的距离之比为定值与定点和直线的距离相等的点的轨迹.定值 e 的点的轨迹.（0e1）轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F1F22a点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l的距离.图形方程标准方程x 2 + y 2 =a 2 b 2 1( a b 0)x 2 - y 2 = 1(a0,b0)a 2 b 2y2 = 2 px参数方程x = a cos y

6、 = bsin (参数 为离心角）x = a sec y = b tan (参数 为离心角）x = 2 pt 2y = 2 pt (t 为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) ,(0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)F ( p ,0) 2准 线a 2x=c准线垂直于长轴，且在椭圆外.a 2x= c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.px

7、=- 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c= a 2 - b 2 ）2c （c= a 2 + b 2 ）离心率e = c (0 e 1)ae=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 x 2 - y 2 = a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y = x ，离心率 e = .x 2 - y 2共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.a 2b 2 = 与x 2 - y 2x 2 y 2= - 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 0 . a 2 b 2 a 2 b 2x 2 - y 2= ( 0) 的渐近线方程为 x 2

8、 - y 2 =x y共渐近线的双曲线系方程： 2a 2x 2 - y 2b 2 0 如果双曲线的渐近线为a 2= 0 时，它的双曲a b线方程可设为a 2b 2 = ( 0) .【备注 2】抛物线：2 p p 2 p（1） 抛物线 y =2px(p0)的焦点坐标是( ,0)，准线方程 x=- ，开口向右；抛物线 y =-2px(p0)的焦点坐标是(- ,0)，2 2 2p 2 p p准线方程 x= ，开口向左；抛物线 x =2py(p0)的焦点坐标是(0, )，准线方程 y=- ，开口向上；2 2 22 p p抛物线 x =-2py（p0）的焦点坐标是（0,- ），准线方程 y= ，开口向下

9、.2 22 p 2（2）抛物线 y =2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF = x0 + 2 ；抛物线 y =-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的p距离 MF = - x022 p p（3）设抛物线的标准方程为 y =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的距离 ，焦点到准线的距离2 2为 p.（4）已知过抛物线 y2 =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB = x + x +p 或 AB = 2 p ( 为直线 AB 的倾斜角)， y y

10、= - p 2 ， x x = p2 , AF = x + p ( AF 叫做焦半径). 1 2 sin 2 1 2 1 2 14 2五、坐标的变换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y)，在新坐标系 x Oy中的坐标是(x, y ) .设新坐标

11、系的原点 O在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k)，则x = x+h或y = y+kx = x - h y= y - k叫做平移(或移轴)公式.（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方 程焦 点焦 线对称轴椭圆(x - h)2 (y - k)2+ =1a 2 b 2(c+h,k)a 2x= +hcx=h y=k(x - h)2 (y - k)2+ =1b 2 a 2(h,c+k)a 2y= +kcx=h y=k双曲线(x - h)2 (y - k)2- =1a 2 b 2(c+h,k)a 2x= +kcx=h y=k(y - k)2 (x - h)2- =1a 2 b 2(h,c

12、+h)a 2y= +kcx=h y=kpp(y-k)2=2p(x-h) ( +h,k)2x=- +h2y=kpp(y-k)2=-2p(x-h) (- +h,k)2x= +h2y=k抛物线pp(x-h)2=2p(y-k) (h, +k)2y=- +k2x=hpp(x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k)2y= +k2x=h六、椭圆的常用结论：1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半

13、径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若 P (x , y ) 在椭圆 x2 + y2 = 1上，则过 P 的椭圆的切线方程是 x0 x 0 y y= 1.0 0 0 a2 b2 0x2 y2a2 b26.若 P0(x0 , y0 ) 在椭圆 a2 + b2x0 x + y0 y = 1.a2 b2x2 y2= 1外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是7.椭圆 +a2 b2= 1 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2 = ，则椭圆的焦点角形的面积2 为 SF PF = b tan .1 2 2x

14、2 y28. 椭圆 a2 b2 = 1（ab0）的焦半径公式| MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a - ex0 ( F1(-c, 0) , F2 (c, 0) M (x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.x2 y2b2 b 2 x11.AB 是椭圆 + = 1的不

15、平行于对称轴的弦，M (x, y0 ) 为 AB 的中点，则 k k= - ，即 KAB = - 2 0 。a2 b20 OM AB 2 a y0P (x , y )x2 + y2 = 1x0 x 0y 0y0 x 2 y 20 0 0【推论】：a2 b2 a2 b2 a2 b21、若 P (x , y ) 在椭圆 x2 + y2= 1内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2 + y20x x0 y y 0 0 0 a2 b2 a2 b2 a2 b2= -2x y2+1（abo）的两个顶点为 A ( a2 b2x y2 2程是 - = 1.a2 b2x2 y22、过椭圆a2 b2b2 x1 a

16、, 0) , A2(a, 0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时A1P1 与A2P2 交点的轨迹方= 1 (a0, b0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC= 0 （常数）.a2 y02 23、若 P 为椭圆 a2 + b2 = 1（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, PF1F2 = , PF2F1 = ，则a - c = tan a + c2 co t 2 .x2 y24、设椭圆2 + = 1（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2

17、中，记aF PF = b2PF F= F F P = sin = c = e .1 2 , 1 2x2 + y2 = 1 , 1 2，则有sin + sin a5、若椭圆a2 b2（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e-1时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.x2 y26、P 为椭圆2 + = 1（ab0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则a b22a- | AF2 | PA | + | PF1 | 2a+ | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.(x - x )

18、2 ( y - y )27、椭圆 0 + 0 = 1与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条件是 A2a2 + B2b2 ( Ax + By + C)2 .a2 b2 0 0x2 y28、已知椭圆 a2 + b2 = 1（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）1 1 1 1 4a2b2 2 2 + = + 2 2 a b| OP|2 | OQ|2 a2 b2 ;（2）|OP| +|OQ| 的最大值为 a2 + b2 ;（3） SOPQ 的最小值是 a2 + b2 .x2 y29、过椭圆2 + = 1（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于

19、M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则a| PF | = e .| MN | 2b2x2 y210、已知椭圆 a2 + b2 = 1（ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0 , 0) , 则- a2 - b2 a2 - b2a x0.ax2 y211、设 P 点是椭圆 a2 + b2 = 1（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记F1PF2 = ，则(1)| PF| PF2b2|= .(2) SPF F = b2tan .1 2 1+ cos 1 2 2x2 + y2 = = 12、设 A、B 是椭圆a21

20、（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，b2PAB ,PBA = , BPA = ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) | PA |=2a2b22ab2 | cos |a2 - c2co s2 .(2)tan tan =1- e2 .(3) S =cot .x2 y2PAB b2 - a213、已知椭圆2 + = 1（ ab0）的右准线l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点a b2C 在右准线l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

21、焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论： 1、点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角.2、PT 平分PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的

22、圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5、若 P (x , y ) 在双曲线 x2 - y2 = 1（a0,b0）上，则过 P 的双曲线的切线方程是 x0 x 0 y y= 1. 0 0 0 a2 b2 0 a2 b2x2 y26、若 P0(x0 , y0 ) 在双曲线 a2 - b2x0 x y0 y= 1（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是- = 1.a2 b2x2 y27、双曲线 a2 - b

23、2 = 1（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2 = ，则双曲线的焦点角2 形的面积为 SF PF = b co t .1 2 2x2 y28、双曲线 a2 - b2 = 1（a0,bo）的焦半径公式：( F1(-c, 0) , F2 (c, 0) ）当 M (x0 , y0 ) 在右支上时，| MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 - a ；当 M (x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |= -ex0 + a , | MF2 |= -ex0 - a 。9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双

24、曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点N，则 MFNF.x2 y2b 2 x11、AB 是双曲线 - = 1（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M (x, y0 ) 为 AB 的中点，则 KOM KAB =2 0 ， 即a2 b2b 2 x0 a y0KAB= a 2 y0 。0P (x , y )x2 - y2 = 1x0 x0y0 y 0x 2 y 20 0 0 a2

25、b213、若 P (x , y ) 在双曲线 x2 - y2= 1（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是a2x2 - y2b2 a2 b2x x y y= 0 - 0 . 0 0 0【推论】：x2 y2 a2 b2 a2 b2 a2 b21、双曲线 a2 - b2 = 1（a0,b0）的两个顶点为 A1(-a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时A1P1 与A2P2x2 y2交点的轨迹方程是a2 + b2 = 1.x2 y22、过双曲线a2 b2b2 x= 1（a0,bo）上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲

26、线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBC= - 0 （常数）.a2 y0x2 y23、若 P 为双曲线 a2 - b2 = 1（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, PF1F2 = ,（或PF F = ，则 c - a = tan c - a = tan co t co t ）.2 1 c + a2 2 c + a 2 2x2 y24、设双曲线2 - = 1（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2 中，记aF PF = b2PF F= F F P = sin = c = e .1 2 ,1 2 , 1

27、2，则有(sin - sin ) ax2 y2 = 15、若双曲线a2 - b2（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e+1时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.x2 y26、P 为双曲线 a2 b2 = 1（a0,b0）上任一点,F1,F2 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则| AF2 | -2a | PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立.x2 y2 2 2 2 2 27、双曲线a2- 1B b C .-（a0,bC = 00A）x与+直B线y +有公共点的充要条件是 A a b2x28、已知双曲线y2 = 1（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OP a2 - b2 OQ .a2b21 1 1 1 4a2b2