完整word版线性代数知识点归纳.docx
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完整word版线性代数知识点归纳
线性代数复习要点
第一部分行列式
1.排列的逆序数
2-行列式按行（列）展开法则
3.行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
1.行列式的计算:
%
①（定义法）Dn=刎
=S（一1）"5%咳…％
。
22
思考题：
用定义计算行列式
012-1
-1012
D=
003-2
031-1
-1r（2134）=1
-2t（2143）=2
-2r（2413）=3
-1r（2431）=4
故3+2—12+9=—4
2（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
0,
3（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积•
④若A与〃都是方阵（不必同阶），则
⑤关于副对角线:
⑥范德蒙德行列式:
b22
0
=bnb22--bm
AO
A*
OB
OB
OA
*A
BO
BO
O
=|州
=（-in州切
a2n-L
X；
a
b
b
…b
b
Cl
b
...b
b
b
a
...b
b
b
b
•…a
b型公式:
Xn
•Xn
=（一1厂仏如・・禺
=n（兀-®）
圧j=[a+（/?
-l）b]（d-b）1
8（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
9（递推公式法）对〃阶行列式Q找出$与0-或D“之间的一种关系一一称为递推公式，其中
D-等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.
（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.
10（数学归纳法）
2.对于"阶行列式|州，恒有：
|处-舛=才+£（-1）竹丛"“，其中S*为&阶主子式;
3.证明|州=0的方法：
1、|州=-|州；
2、反证法；
3、构造齐次方程组加=0,证明其有非零解;
4、利用秩，证明r（A）5、证明0是其特征值.
4.代数余子式和余子式的关系：
严血
第二部分矩阵
1.矩阵的运算性质
2.矩阵求逆
3.矩阵的秩的性质
4.矩阵方程的求解
…©”
1.矩阵的定义由〃7"个数排成的〃7行川列的表4=勺知…""称为mxn矩阵.
•••
•••
如an,2…％丿
记作：
4（知）”网或仏
1同型矩阵：
两个矩阵的行数相等、列数也相等.
2矩阵相等：
两个矩阵同型，且对应元素相等.
3矩阵运算
a.矩阵加（减）法：
两个同型矩阵，对应元素相加（减）•
b.数与矩阵相乘：
数兄与矩阵4的乘积记作或山，规定为AA=（Aa.）.
C.矩阵与矩阵相乘：
设A=（气）”沁，Bfg则C=AB=（q.）,”x”，
其中
注：
矩阵乘法不满島交换律、消去律，即公式靈豊“如。
不成立・
fA.）
/
114
*=
11
=>=
1111
1绻丿
<兀丿
<5丿
X
a.分块对角阵相乘：
A=
b.用对角矩阵*©乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的©向量;
AZ?
=
0•…
°1
b12
0
a2•…
0
b22
…®"
0
0•…
J
k
bn,2
…b叫
«Ai
a血
c.用对角矩阵A®乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的®向量.
b门
…bj
4
0
…0'
°九
…aAn"
BA=
b22
…b2n
0
a2
…0
=
■
a2b22
■
…amb2n
••
b“n
b,心
…bmn
0
0
•…%
d九
…ab
〃rnm
d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
4方阵的扇的性质：
"4〃=4〃卄，（仃=（A）mn
5矩阵的转置：
把矩阵4的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作
a.对称矩阵和反对称矩阵：
A是对称矩阵<=>A=A7.
力是反对称矩阵=
b.分块矩阵的转置矩阵:
（AB
⑥伴随矩阵：
A"=（4j）=
CD丿0
Dj
码…
Az
•
•
A2...
•
•
•
•
•
•
4/r…
•
A】”>
（AT
血为|4|中各个元素的代数余子式.
AA"=^A=\A\Ef|^|=|4'\附|=|4「・
♦
'加、
分块对角阵的伴随矩阵：
=
k巧
l仙）
（（-1严|4|〃八
冷丿
、（-1）”"冋川丿
矩阵转置的性质：
（AT）T=A^^
（AB）t=btat
叶|A|
（AT）『=（"）T
（屮jW
矩阵可逆的性质：
（A-1）-1=A
（AB）-1=
（小=（屮尸=八
伴随矩阵的性质：
（小诃S
（AB）*=
ki=ir
（A-T=（A*尸=命
（4丁=（4丁
心*）=<
n若r（4）=n
1若r（A）=«-l
0若厂（4）<7?
-1
1^1=14
AX=XA=\^E（无条件恒成立）
①伴随矩阵法A"1,d
lAl
d-b\
ad一be\-c
主…换位副…变号
2.逆矩阵的求法方阵4可逆|4卜0.
⑤配方法或者待定系数法
②初等变换法（加E）初和变换》（£犷）
（A
、
-1
、
4]
-1
、以>
（X
Cy
-1
'A'1
V
O
-1
0、
、0
B,
<0
B>
C
\
B
B,
/
③分块矩阵的逆矩阵:
/.
\-i
（1、
z\"1
（1A
6
丄
丄
t<2
a2
a2
1
CL
1
3丿
1石丿
\37
k丿
（逆矩阵的定义AB=BA=E^A^=B）
3.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖
线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,
称为行最简形矩阵
4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换.倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
E（iJ）
E（ijyl=E（ij）
网J）|=T
町xk（c：
xk）
E（i（k））
E[i（k）r=
|W）]|=^
匚xk（c,.+5xk）
E（i,j（k»
E[iJ（k）r=E[iJ（~k）]
切J伙）]1=1
e矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
1对4施行一次初等©变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵◎乘4；
2对4施行一次初等®变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵葩乘4•
注意：
初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
5.拒阵的秩|关于A矩阵秩的描述：
1、r{A）=r,A中有/•阶子式不为0,/»+1阶子式（存在的话）全部为0；
2、r（A）3、r（A）>r,A中存在/■阶子式不为0；
❷矩阵的秩的性质：
14工OOr（A）>1；A=OOr（A）=0；0Wr（AwXn）Wmin（加,n）
2f\A）=r（AT）=r（ATA）
3r（kA）=r（A）其中RhO
④若人”如仇“,若/•（ABgOn
r（A）+r（B）3的列向量全部是Ar=0的解
5r（AB）Wmm{r（A）,r（5）}
6若P、Q可逆，则r（A）=r（PA）=r（A0=r（PA0：
即：
可逆矩阵不影响矩阵的秩.
u>Av=o只有零解
r（AB）=r（B）
⑦若厂（A”x”）=
n<
AB=O^>B=O
AB=AC^>B=C
=><
A在矩阵乘法中有左消去律Q
若讥Q=n=>
fi\AB）=r（B）
[B在矩阵乘法中有右消去律.
（EO\（EO\
8若,-（A）=r=>A与唯一的；等价，称；为矩阵？
啲等价标准型.
9±3）W厂（4）+r（B）,max{r（A）,r（B）}Wr（A,B）Wr（A）+r（B）
=r（A）+r（B）,
（A
H心）+r（B）
❷求矩阵的秩：
定义法和行阶梯形阵方法
6矩阵方程的解法（|4|工0）：
设法化成（I）AX=B或（WXA=B
（D的解法：
构造（仙塑逊八E：
.X）
E\
（II）的解法：
构造
•••
初等列变换y
•••
9
X
\/
（II）的解法：
将等式两边转置化^JA7XT=Bt,
用（I）的方法求出X，，再转置得X
第三部分线性方程组
1.向量组的线性表示
2.向量组的线性相关性
3.向量组的秩
4.向量空间
5.线性方程组的解的判定
6.线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）
1.线性表示：
对于给定向量组队ag,…心,若存在一组数&,钩,…,人使得0=切+也+…+也,则称0是匕心,…,％的线性组合，或称称0可由as，…,％的线性表示.
线性表示的判别定理：
0可由的线性表示
由"个未知数加个方程的方程组构成"元线性方程：
z6Tllx1+・・+。
加"尺=久
1
、红・・・+"加兀歼=*有解
、
‘5
•
■■
•
…％、
…am
•■
■
•
=
b.
■
■
“E1
%
・・・（1
mn
■
aJ
oAx=0
、（①5…心）
（全部按列分块，其中
bz
④、alxl+a2x2+-+anxn=fl（线性表出）
<=>
⑤、有解的充要条件：
厂⑷=r{A,p）＜n（“为未知数的个数或维数）
则AB=C咖o（qs,…s）
%
b"
…bj
…h
=（c宀…,c）
2・设Awdw显的列向量为冷勺，B的列向量为0\4・、卩“
u>=ci>（j=1，2,…,s）
oQ为Ax=q的解
OA（0],02,…卫）=（AQ,A0：
…,A0、）=（q,c“...£）
OC],Cp・・・£可由a^az.-,an线性表示.
即：
C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.
同理：
C的行向量能由B的行向量线性表示，4为系数矩阵.
4an…4”、
即：
仙a22…a2n
•••
•••
•••
A
■
•
■
=
c2
•
■
•
<=><
也+如鬼+…+冬虫勺
•••••••••
k^nlan2…amn）
、0“）
s丿
40+4心0+・・・+。
如02=5
向量0能由
向量组A线性表示
㈡
线性方程组
Ax=b冇解
㈡
&力）=刀（4）
向量组〃能由向量组Y
线性表示
<=>
矩阵方程组
AX=B
有解
&4
恥）
=丘（乙方）
向量组力与
向量组0
琅命二
24
等价
3.线性相关性
定义：
给定向量组/：
如果存在不全为零的实
数鬲,%・•・,心，使得
届"1+k迟1+…+朋=0〔石向吊）
则称向量组2是线性相关的，否则称它是线性无关的.
向量组肿元齐次线性方程组
A\aua29...9aMXr=0H（A）＜m
线性相关有非零解
判别方法:
对于向量组內,如,k0]+也+…+kmam=0的线性相关性等价于齐次线性方程组
4苗+如心+・・・+%怎=°
a21K+a22^2+…+a2m^m~。
a/i+%2^+・・+a”^=0
是否有非零解.
（1）齐次线性去程组有非零解o向就组线性相关;
（2）齐次线性方程纽只有零解O向暈组线性无关.
关于向量组es,・・・,％,设矩阵
A=a2・・・as）
⑴厂（4）o向量纟I[a】,a?
am线性无关.
3
定理3向虽组q,勺,…・％（nil2）线性柑关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量町由其余向量线性表小.
推论
设有n个〃维|nJ量a｝二匕1‘a》…，ajn）（i二1,2,…，力）,
由同,径，…'色构成的〃阶行-列式
（1）D^Ou>向量组少,卷…，a线性无关;
（2）D=0o向量组ana2,..,5冬线性相聶
姜线性相关性判别法（归纳）
向量组线性无关性的判定（重点、难点）
向量组4%%…宀线性无关
匸^如果居屁血+…4•禹厶=0（零向量），则必有
民=屁=…二為=0・
㈡〃元齐次线性方程组矗=0只有零解.
㈡矩阵&=5,阳・・•，孙）的秩等于向量的个数加.
㈡向量组4中任何一个向量都不能由其余m-\个向量线性表示.
姜线性相关性的性质
1零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.
2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向童个数变动）
4原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.（向量维数变动）
5两个向量线性相关o对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
6向量组^，冬，…，％中任一向量（1WiW”）都是此向量组的线性组合.
7若线性无关，而G]S昇•e八0线性相关，则0可由qS线性表示，且表示法唯一
4.最大无关组相关知识
最大无关组
若在向吊组/中找到/■个向吊q.a2・・・・a厂満足
（1）吗：
勺.a?
•…，匕线性无关，
（2）A中任一向虽都可山如衣示，
則向吊组・切足向吊组A的一个最大无关组.
向鼠空间的基
设厂为向量空间，若有厂个向曲5色,….KR满足
1S吆…，ar线性无关；
2卩中任•向址都可由0],如…，碍线性衣示则称向呈组%如…,碍就称为向臺空间？
的一个基.
基础解系
若齐次线件方槿组4丫=0的细解向锻吕点,…•衿满足
（1）笳的…点线性无关：
（2）Ax=0的任一解都可由空,务,…©线性表示.则称耳皿…M称为加二0的一个基础解系.
I向量组的秩I向量组aa，…“的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作"4,4,）矩阵等创A经过有限次初等变换化为B.
向量组等价|GS，…，匕和久凤，…,Q”可以相互线性表示.记作：
（q,如…，务）仝（A，ZV：
0“）
1矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.
行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
2矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行（列）向量间的线性关系
3向量组01,02,…，仇可由向量组a】,a?
…,a”线性表示，且$>“，则卩、、队，…，伏线性相关.
向量组久仏,…”,线性无关，且可由匕心,…“线性表示，则sW几
4向量组卩屆…他可由向量组4S，线性表示,且MA”,，…=则两向量组等价;
5任一向量组和它的极大无关组等价•向量组的任意两个极大无关组等价.
6向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
7若两个线性无关的向童组等价，则它们包含的向量个数相等.
8设4是mxn矩阵，若r（A）=mt4的行向量线性无关；
5.线性方程组理论
线性方程组的矩阵式|A.v=p|向量式+x2a2+・…+an=p
4=
'anai2
a2[a22
••
••
••
…
…a2>,
•
■
•
=
X2
•
•
0=
b2
•
■
•
其中勺=
5
•
•
•
j=l,2,
am2
••・Cl
nut丿
s丿
b
\m7
（1）解得判别定理
定理：
〃元线性方程组AX=b
1无解的充分必要条件是心）V典4,力）；
2有唯一解的充分必要条件是孔心=心曲=“、
3有无限多解的充分必要条件是恥4\=硏
（1）〃］,〃2是加=0的解，〃1+〃2也是它的解
⑵〃是Ay=o的解,对任意〃也是它的解吝、肝方禾口组
（3）〃］,弘,…,〃提Ax=o的解,对任意R个常数人
召，兄2,…人,切+兄2〃2+人久也是它的解
（2）线性方程组解的性质:
<⑷了是Ay=0的解，〃是其导出组4x=o的解,了+〃是Ay=0的解
（5）〃］,〃2是山=0的两个解-仏是其导出组Ax=o的解
⑹仏是山=0的解,则〃1也是它的解O-是其导出组Ax=o的解
（7）提Ax=0的解,则
石〃1+人弘+…+人久也是Ax=0的解O人+▲+•••+舜=1人〃1+久刃2+…+人久•是Ay=0的解O人+心+…+久&=0
⑶判断和仏,…血是加=。
的基础解系的条件：
1线性无关；
2〃］,弘,•••,〃,都是Av=o的解；
35=/?
-r（A）=每个解向量中自由未知量的个数.
（4）求非齐次线性方程组Ax=b的通解的步骤
（1）将增广矩阵（Ab）通过初等行变换化为阶梯形矩阵；
（2）当厂（Ab）=r（A）=r应的〃-厂个变量作为自由元；
（3）令所有自由元为零，求得Ax=b的一个特解％;
（4）不计最后一列，分别令一个自由元为1,其余自由元为零，得到Ar=0的基础解系{al,a2,...,ar_r};
（5）写出非齐次线性方程组山=b的通解
兀=內+k{aA+k2a2+...+kn_ran_r
其中你咫,…必-为任意常数.
（5）其他性质
一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
J若才是Ax=p的一个解，©詁,…也，是山=。
的一个解：
•••,£,〃*线性无关
J加=。
与禺=。
同解（AB列向量个数相同）O广d=r（A）=r（^）,且有结果：
丿
1它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
2它们对应的部分组有一样的线性相关性；
3它们有相同的内在线性关系.
V矩阵九“与乞”的行向量组等价O齐次方程组加=。
与&=。
同解OPA=B（左乘可逆矩阵P）:
矩阵心“与乞”的列向最组等价=B（右乘可逆矩阵Q）•
第四部分方阵的特征值及特征向量
1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量的性质及计算
3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化
1.①标准正交禹〃个〃维线性无关的向址，两两正交，每个向盘长度为1.
2向量Q=与0=（»b"…也）7的内积（Z0）=工qb,=禹斤+a2b2+…+anbn
j=i
3Q与0正交a0）=O・记为：
a丄0
4向量a=…“）7的长度|创=Jaa）=工a；=Ja；+a；+…+a：
Z=1
5k是单位向刹||创=辰而=1.即长度为1的向星.
2.内积的性质：
①正定性：
（a,a）>0,且a&）=0oa=o
②对称性：
（％0）=（0,a）
③线性性：
（4+如0）=（4,0）+（q,0）
（ka,0）=k（a,0）
3.①设A是一个〃阶方阵，若存在数久和"维非零列向量X,使得
Av=Ax,
则称久是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征值久的一个特征向量.
2|A的特征矩闻\AE-A\=OC^\A-aE\=0）.
3|A的特征多冠||2E-A|=^
（2）（或\A-AE\=（p{A）}.
40（刃是矩阵4的特征多项式二>处4）=0
5同=人入…血XA=trA,称为矩阵A的陲.
1
6上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的〃各元素.
7若|A|=0,则2=0为4的特征值，且仏=。
的基础解系即为属于兄=0的线性无关的特征向量.
8r（A）=1<=>A—定可分解为A二°;（b“b2,…，b”）、A2=+a2b2+•••+altb„）A,AWA的特征值
4丿
为：
\=trA=+a2b2+•••+aitbH,厶=兄=•••=&=0.
題（珂,冬,...,。
”）7为4各行的公比，仇厶,…,b“）为A各列的公比.
9若4的全部特征值人,人，…,&，/（人）是多项式，则：
1若A满足f（A）=O^A的任何一个特征值必满足/（A）=0
2几人）的全部特征值为几人）,几人）,…,/a）；|/（a）|=/（人）
10A与以有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
4.特征值与特征向量的求法
（1）写出矩阵A的特征方程|4—几习=0,求出特征值&・
（2）根据（4_&E）x=0得到4对应于特征值人的特征向量.
设（4—人E）x=0的基础解系为其中r=r（A-2zE）.
则A对应于特征值A-的全部特征向量为k占+/$+•••+X£,
其中纵J…北戸为任意不全为零的数.
5.①|4与〃相似|P~lAP=B（P为可逆矩阵）
2鼻与B正交相似|P~lAP=B（P为正交矩阵）
3|4可以相似対飙4与对角阵八相似•（称A是A的|相似标准形|）
6.相似矩阵的性质：
®\aE-A\=\AE-B\，从而AB有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
钞&是A关于心的特征向量，P-匕是〃关于儿的特征向量.
2trA=trB
3|4|二网从而A.B同时可逆或不可逆
4r（A）=r（B）
5若4与B相似，则4的多项式/（△）与巧的多项式f（A）相似.
7.矩阵对角化的判定方法
1〃阶矩阵A可对角化（即相似于对角阵）的充分必要条件是A有〃个线性无
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