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1、完整word版线性代数知识点归纳线性代数复习要点第一部分行列式1.排列的逆序数2-行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算:%（定义法）Dn =刎=S（一1）5%咳。22思考题：用定义计算行列式0 12-1-10 12D =0 0 3 -20 3 1-1-1 r(2134)= 1-2 t(2143 ) = 2-2 r(2413 ) = 3-1 r(2431 ) = 4故 3 + 2 12 + 9 = 42（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对

2、应元素的代数余子式乘积之和等于零.0,3（化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积若A与都是方阵（不必同阶），则关于副对角线:范德蒙德行列式:b220= bnb22-bmA OA *O BO BO A* AB OB OO=|州=（-in州切a2n-LX；abbbbClb.bbba.bbbb ab型公式:Xn Xn=（一1厂仏如禺=n（兀-）圧 ji= a + (/? - l)b(d -b) 18（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.9（递推公式法）对阶行列式Q找出$与0-或D“ 之间的一种关系一一称为递推公式，其中D-等结构相同，再由递推公式

3、求出的方法称为递推公式法.（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算.10（数学归纳法）2.对于阶行列式|州，恒有：|处-舛=才+（-1）竹丛“，其中S*为&阶主子式;3.证明|州=0的方法：1、|州=-|州；2、反证法；3、构造齐次方程组加=0,证明其有非零解;4、利用秩，证明r（A） =11111绻丿 兀丿 5丿Xa.分块对角阵相乘：A =b.用对角矩阵* 乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;AZ? =0 1b120a2 0b2200 Jkbn,2b叫Aia血c.用对角矩阵A 乘一个矩阵，相当

4、于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.b门bj40 0九aAnBA =b22b2n0a2 0=a2b22amb2n b“nb,心bmn00%d九 a br nmd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.4方阵的扇的性质：4 = 4卄，(仃 =(A)mn5矩阵的转置：把矩阵4的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作a.对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵A = A7.力是反对称矩阵=b.分块矩阵的转置矩阵:(A B伴随矩阵：A =(4j)=C D丿0Dj码AzA2 .4/rA】” (AT,血为|4|中各个元素的代数余子式.AA = A = AEf | = |4 附|

5、 = |4加 、分块对角阵的伴随矩阵：=k巧l仙)( (-1严|4|八冷丿、(-1)”冋川 丿矩阵转置的性质：(AT)T=A(AB)t = btat叶|A|(AT)=()T(屮j W矩阵可逆的性质：(A-1)-1 = A(AB)-1 =（小=（屮尸=八伴随矩阵的性质：（小诃S(AB)* =ki=ir(A-T=(A* 尸=命(4丁=(4丁心 *)= n 若 r(4) = n1 若 r(A) = -l0 若厂(4) (XCy-1A1VO-10、0B,CBB,/分块矩阵的逆矩阵:/.-i(1 、z 1( 1 A6丄丄t2a2a21CL13丿1 石丿 3 7k 丿（逆矩阵的定义AB = BA = EA

6、 = B）3.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时,称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换.倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式E(iJ)E(ijyl = E(ij)网 J)| = T町 xk (c： xk )E(i(k)Ei(k)r =|W)| = 匚 xk (c,. +5 xk )E(i,j(kEiJ(k)r = EiJ(k)切J伙)1=1e矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:1对4施行一次初等变换得

7、到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘4 ；2对4施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵葩乘4 注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.拒阵的秩|关于A矩阵秩的描述：1、rA) = r , A中有/阶子式不为0, / + 1阶子式(存在的话)全部为0；2、r(A) r , A中存在/阶子式不为0；矩阵的秩的性质：14 工 O O r(A)1； A = O O r(A) = 0 ； 0 W r(AwXn) W min(加,n)2fA) = r(AT) = r(ATA)3r(kA) = r(A) 其中RhO若人”如仇“,若/(ABgOnr(A)

8、+ r(B) Av = o只有零解r(AB) = r(B)若厂(A”x”) =nB = OAB = ACB = C= f iAB) = r(B)B在矩阵乘法中有右消去律.(E O (E O8若,-(A) = r=A与唯一的； 等价，称； 为矩阵？啲等价标准型.9 3) W 厂(4) + r(B), max r(A), r(B) W r(A, B) W r(A) + r(B)= r(A) + r(B),(AH 心)+ r(B)求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法（|4|工0）：设法化成（I）AX = B 或 （WXA = B（D的解法：构造（仙塑逊八E：.X）E（II）的解法：构造

9、 初等列变换y 9X /（II）的解法：将等式两边转置化JA7 XT = Bt,用（I）的方法求出X，再转置得X第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6.线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组队ag,心,若存在一组数&,钩,人使得0 =切+也+也, 则称0是匕心,的线性组合，或称称0可由as，,的线性表示.线性表示的判别定理：0可由的线性表示由个未知数加个方程的方程组构成元线性方程：z6Tllx1 + +。加尺

10、=久1、红+ 加兀歼=* 有解、5 、am =b.“E1% (1mnaJo Ax = 0、（5心）（全部按列分块，其中bz、alxl+a2x2+ -+anxn =fl (线性表出)、有解的充要条件：厂= rA,p）n （“为未知数的个数或维数）则 AB = C咖 o (qs,s)%bbjh=(c宀,c)2设Awdw显的列向量为冷勺，B的列向量为04、卩“u = ci (j = 1，2,s)o Q为Ax = q的解O A(0,02,卫) = (AQ,A0：,A0、) = (q,c“.)O C,Cp可由aaz. -,an线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量

11、能由B的行向量线性表示，4为系数矩阵.4 an 4”、即：仙a22a2n A=c2 也+如鬼+冬虫勺 knl an2 amn)、0“)s丿40+4心0+。如02=5向量0能由向量组A 线性表示线性方程组Ax= b 冇解&力)=刀(4)向量组能 由向量组Y线性表示矩阵方程组AX=B有解&4恥)=丘（乙方）向量组力与向量组0琅命二24等价3.线性相关性定义：给定向量组/： 如果存在不全为零的实数鬲,%,心，使得届1 + k迟 1 + 朋=0石向吊）则称向量组2是线性相关的，否则称它是线性无关的.向量组 肿元齐次线性方程组A au a29 .9 aM Xr=0 H（A）m线性相关 有非零解判别方法:

12、对于向量组內,如, k0 +也+ kmam = 0 的线性相关性等价于齐次线性方程组4苗+如心+ %怎=a21K + a222 + + a2mm 。a/i+%2+ + a”=0是否有非零解.(1)齐次线性去程组有非零解o向就组线性相关;(2)齐次线性方程纽只有零解O向暈组线性无关.关于向量组es,设矩阵A = a2as)厂(4) 向量组少,卷，a线性无关;(2)D = 0 o向量组ana2,.,5冬线性相聶姜 线性相关性判别法（归纳）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组4 % %宀线性无关匸如果居屁血+4禹厶=0 （零向量），则必有民=屁=二為=0元齐次线性方程组矗=0只有零解. 矩阵&

13、=5,阳，孙）的秩等于向量的个数加. 向量组4中任何一个向量都不能由其余m-个向量线 性表示.姜线性相关性的性质1零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向童个数变动）4原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关. （向量维数变动）5两个向量线性相关o对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.6向量组，冬，中任一向量（1 Wi W”）都是此向量组的线性组合.7若线性无关，而GS昇 e八0线性相关，则0可由qS线性表示，且表示法唯一4.最大无关组相关知识最大无关组若在

14、向吊组/中找到/个向吊q.a2 a厂満足（1） 吗：勺.a?，匕 线性无关，（2） A中任一向虽都可山如衣示，則向吊组切足向吊组A的一个最大无关组.向鼠空间的基设厂为向量空间，若有厂个向曲5色,.K R满足1S吆，ar线性无关；2卩中任向址都可由0,如，碍线性衣示 则称向呈组%如,碍就称为向臺空间？的一个基.基础解系若齐次线件方槿组4丫 = 0的细解向锻吕点,衿满足（1） 笳的点线性无关：（2） Ax = 0的任一解都可由空,务,线性表示. 则称耳皿M称为加二0的一个基础解系.I向量组的秩I向量组aa，“的极大无关组所含向量 的个数，称为这个向量组的秩.记作4,4,） 矩阵等创A经过有限次初等

15、变换化为B.向量组等价| GS，匕和久凤，,Q”可以相互线性 表示.记作：（q,如，务）仝（A，ZV：0“）1矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.2矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行(列)向量间的线性关系3向量组01,02,，仇可由向量组a】,a?,a”线性表示，且$ “，则卩、队，伏线性相关.向量组久仏,”,线性无关，且可由匕心,“线性表示，则sW几4向量组卩屆他可由向量组4S，线性表示,且MA”,，= 则两向量组等价;5任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价.6向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确

16、定.7若两个线性无关的向童组等价，则它们包含的向量个数相等.8设4是mxn矩阵，若r(A) = mt 4的行向量线性无关；5.线性方程组理论线性方程组的矩阵式| A.v = p |向量式 + x2a2 + + an = p4 =an ai2a2 a22 a2,=X2,0=b2其中勺=5,j = l,2,am2 Clnut丿s丿b m 7(1)解得判别定理定理：元线性方程组AX=b1无解的充分必要条件是心)V典4,力)；2有唯一解的充分必要条件是孔心=心曲=“、3有无限多解的充分必要条件是恥4 = 硏 n、(1) ,2是加=0的解，1+2也是它的解是Ay = o的解,对任意也是它的解 吝、肝方禾

17、口组(3) ,弘,提Ax = o的解,对任意R个常数 人召，兄2,人,切+兄22 +人久也是它的解(2)线性方程组解的性质:了是Ay = 0的解，是其导出组4x = o的解,了 +是Ay = 0的解(5) ,2是山=0的两个解-仏是其导出组Ax = o的解 仏是山=0的解,则1也是它的解O - 是其导出组Ax = o的解(7) 提Ax = 0的解,则石 1 +人弘+人久也是Ax = 0的解O人+ + +舜=1 人1 +久刃2 +人久是Ay = 0的解O人+心+久& = 0判断和仏,血是加=。的基础解系的条件：1线性无关；2,弘,都是Av = o的解；35 = /?-r(A)=每个解向量中自由未

18、知量的个数.(4)求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤(1)将增广矩阵(A b)通过初等行变换化为阶梯形矩阵；(2)当厂(A b) = r(A) = r0,且a&) = 0oa = o对称性：( 0) = (0, a)线性性：(4 + 如0) =(4,0)+(q,0)(ka,0) = k(a,0)3.设A是一个阶方阵，若存在数久和维非零列向量X,使得Av = Ax,则称久是方阵A的一个特征值，x为方阵A的对应于特征值久的一个特征向量.2|A 的特征矩闻 AE-A = O CA-aE = 0).3|A 的特征多冠| |2E-A| = (2)(或A-AE =(pA).40(刃是矩阵4的特征多

19、项式二处4) = 05同=人入血 XA = trA, 称为矩阵A的陲.16上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.7若|A| = 0,则2 = 0为4的特征值，且仏=。的基础解系即为属于兄=0的线性无关的特征向量.8r(A) = 1 A 定可分解为 A 二 ; (b“ b2,，b”)、A2 = + a2b2 + + altb)A, AW A 的特征值4丿为： = trA = + a2b2 + +aitbH, 厶=兄= = &= 0.題(珂,冬,.,。”)7为4各行的公比，仇厶,b“)为A各列的公比.9若4的全部特征值人,人，,&，/(人)是多项式，则：1若A满足f(A) =

20、OA的任何一个特征值必满足/(A) = 02几人)的全部特征值为几人),几人),/a)； |/(a)|=/(人)10A与以有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4.特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程|4 几习=0,求出特征值&(2)根据(4_&E)x = 0得到4对应于特征值人的特征向量.设(4人E)x = 0的基础解系为其中r = r(A-2zE).则A对应于特征值A-的全部特征向量为k占+ /$+ + X,其中纵J北戸为任意不全为零的数.5.|4与相似| PlAP = B (P为可逆矩阵)2鼻与B正交相似| PlAP = B ( P为正交矩阵)3|4可以相似対飙 4与对角阵八相似(称A是A的|相似标准形|)6.相似矩阵的性质：aE-A = AE-B，从而A B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.钞&是A关于心的特征向量，P-匕是关于儿的特征向量.2trA = trB3|4|二网 从而A.B同时可逆或不可逆4r(A) = r(B)5若4与B相似，则4的多项式/()与巧的多项式f(A)相似.7.矩阵对角化的判定方法1阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有个线性无