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离散数学复习题

、单项选择题

（A）若A

（C）若A

B,BC,则AC（B）若A

B,BC,贝UAC（D）若A

B,B

C,则A

2.设Aa,

a,则下列选项错误的是

【B】

（A）a

P（A）（B）aP（A）（C）

P（A）

（D）AP（A）

3.设Aa,

b,c上的关系如下，有传递关系的有

【D】

（A）R1

a,c,c,a,a,b,b,a

（B）R2

a,c,c,a

（C）R3

a,b,c,c,b,a,b,c

（D）R4

a,a,

1.对任意集合

C,下述论断正确的是

4.R是A上的自反关系，则

K4中含3条边的不同构生成子图有

7.欧拉回路是

8.5阶无向完全图的边数是

（A）a,b

（B）b,c（Qa,d,e（D）a,b,c

10.设A,BP（P（A））则下列选项错误的是

个数为

14.设G（V,E）为无向图，u,vV,若u,v连通，则

（A）d（u,v）0（B）d（u,v）0（C）d（u,v）0（D）d（u,v）0

15.欧拉回路是【B】

（A）路径（B）简单回路

（C）既是基本回路也是简单回路（D）既非基本回路也非简单回路

16.n个结点的无向完全图的边数是【D】：

（A）n（n1）（B）n（C）2n（D）n（n1）/2

17.设P:

我将去镇上，Q:

我有时间。

命题“我将去镇上，仅当我有时间时”符号化为【A】

（A）PQ,（B）QP,（C）QP,（D）QVP

18.下面哪个命题是命题“2是偶数或一3是负数”的否定？

【C】

（A）2是偶数或一3不是负数，（B）2是奇数或一3不是负数，

（C）2不是偶数且一3不是负数，（D）2是奇数且一3是不负数，

19.下面哪个联结词运算不可交换：

【B】

（A）A,（B）,（C）V,（D）

20.命题公式（PA（PQ））Q是；【C】

（A）矛盾式，（B）蕴含式，（C）重言式，（D）等值式

21.下列命题联结词集合中，哪个是最小联结词组；【C】

（A），,（B）,,（C）（D）,

22.下面那一个命题是假命题；【A】

（A）如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一，

（B）如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一，

（C）如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一，

（D）如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一

23.谓词公式x（P（x）yF（y））Q（x）中变元x是；

（D）既是自由变元也是约束变元

24.设A（x）:

x是人，B（x）:

x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为；【D】

（B）

（A）000,001,110

（C）全体赋值

001,011,101,110,111

（D）无

26.下面语句中哪个是真命题;

（A）我在说谎，（B）严禁吸烟，

（C）如果1+2=3，那么雪是黑的，（D）如果1+2=5,那么雪是黑的

27.设P:

我们划船，Q:

我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为【

（A）PAQ,（B）PVQ,（C）（PQ）,（D）PQ

28.下面哪个命题是命题“2是偶数或一3是负数”的否定？

【C】。

（B）2是偶数或一3不是负数，（B）2是奇数或一3不是负数，

（C）2不是偶数且一3不是负数，（D）2是奇数且一3是不负数，

29.下面哪个联结词运算不可交换【C】。

（A）A,（B）V,（C）,（D）

30.下面哪个命题公式是重言式【B】。

（A）（PQ）A（QP）,（B）（PAQ）P,

（C）（PVQ）A（PAQ）,（D）（PVQ）

31.下列命题联结词集合中，哪个不是最小联结词组【C】。

（A）,,（B）,（C）,,（D）

32.命题公式PQAR的对偶式是【D】。

（C）P（QVR）,（B）PA（QVR）,（C）PV（QAR）,（D）PA（QVR）

33.谓词公式x（P（x）yF（y））Q（x）中变元乂是【D】。

（B）

（A）自由变元

约束变元，

（C）既不是自由变元也不是约束变元，（D）既是自由变元也是约束变元

“没有一个运动员不是强壮的”符号化为

34.设C（x）:

x是运动员,G（x）:

x是强壮的，命题

【C】。

（C）xyA（x,y）

yxB（x,y）,（D）xyA（x,y）xyA（x,y）

、填空题

1.若集合A的基数A10,则其藉集的基数p（A）1024。

2.设Ax|100x200,x7n3,nZ,xZ，则|A|15。

3.设N表示非负整数集，，R:

NHN,xRy定义为x+2y=10,则Dom（R）={0,2,4,6,8,10}

Ran（R）={5,4,3,2,1,0}

4.A=2,3,4,5,6,8,10,12,24,R是A上的整除关系，那么A的极大元是10,24，极小元是2,

3,5,。

5.设A=1,2,3上的关系R1,1,1,2,1,3,3,3，则R具备反对称性、传递世，R不具备自反性、反自反性和对称性。

6.设G=（n,m）是简单图，v是G中度数为k的结点，e是G中的一条边，贝UG—e中有旦个结点，m^1条边。

7.3个结点可构成4—个不同构的简单无向图。

8.具有p个顶点的完全图Kp有pp2个生成树，p>2。

9.设G是一个有k个支的图，如果S是G的割集，则G-S恰有k+1个支。

10.设A=1,2，则AA=,A2。

11.集合A,a的藉集P（A）,,a,,a。

12.设R是集合1,2,,10上的模7同余关系，则.2r_2,9_。

13.A=2,3,4,5,6,8,10,12,24,R是A上的整除关系，那么A的极大元是10,24，极小元是2,3,5,。

14.整数集上的小于关系“V”具有反自反、反对称和传递性。

15.设G=（n,m）是简单图，v是G中度数为k的结点，e是G中的一条边，则G—v中有n—1个结点，叶k条边。

16.3个结点可构成4个不同构的简单无向图。

17.具有p个顶点的完全图Kp有pP2个生成树，p>2。

18.设S是连通图G=（V,E）的割集，贝UG-S恰有2个支。

19.设P:

我生病,Q:

我去学校看电影

（1）命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为PAQ。

（2）命题"只有在生病的时候，我才不去学校”符号化为P_Q_o

20.设P、Q为两个命题，德摩根律可表示为（PQ）PQ，（或

（PQ）PQ）,吸收律可表示为p（PQ）P（或p（PQ）P）。

21.公式（PQ）的主析取范式为PQ,主合取范式的编码表示为M0M1M3。

22.xy（F（xy）G（y,z））xF（x,y）中，x的作用域为y（F（x,y）G（y,z））,y的作用域为（F（x,y）G（y,z））,x的作用域为P（x,y）。

23.谓词公式xF（x）xG（x）的前束范式为xy（F（x）G（y）。

24.设P:

我有钱，Q:

我去看电影

（1）命题"如果我有钱，那么我就去看电影”符号化为PQ。

（2）命题"虽然我有钱，但我不去看电影”符号化为PQ。

25.命题公式P（QS）的成真赋值为010,100,101,110,111,成假赋值为000,001,011。

26.

26.公式（PQ）的主析取范式为PQ,主合取范式的编码表示为MoMiM3。

27.xy（P（x,y）Q（y,z））xRxy）中，x的作用域为y（P（x,y）Q（y,z））,y的作用域为

（Rxy）Q（y,z））,x的作用域为P（x,y）。

28.谓词公式xRx）xC（x）yF（y）的前束范式为xzy（P（x）Q（z）R（y））。

三、计算题

（PVQ）AR））V（（QVP）AR）

（PVQ）V（QVP））AR）

（PVQ）V（PVQ））AR）

TAR

故原式为可满足式

解：

合取范式:

pVq

析取范式:

3、给定集合A=0.1,2,3,且A中有关系：

R=（i,j）|i,jA,ji1或ji/2

S=〈i,j）|i,jA,ij2,计算R。

4、在120名学生参加考试，这次考试有A,B,C共3道题，考试结果如下：

有12人3道题都做对了，20人做对了A题和B题，16人做对了A题和C题，28人做对了B题和C题，做对了A题的有48人，做对了B题的有56人，还有16人一道题也没做对，求做对了C题的有多少人？

解：

设A,B,C分别为做对A题、B题、C题的人构成的集合，

故由题意有：

A48,B56AB20,AC16,BC28,

AB―C16ABC12016104

根据包含排斥原理可知：

abc||a|\b\|c||ab\|ac||bc\|abc,

C=20+16+28+104—12—48—56=52

故做对C题的有52人。

5、在1000名大学毕业生的调查中，有804人掌握了英语，205人掌握了日语，190人掌握了俄语，125人既掌握了英语又掌握了日语，57人既掌握了日语又掌握了俄语，85人既掌握了英语又掌握了俄语，求这1000名大学生中，英语、日语、俄语全掌握的有多少人。

解：

设A,B,C分别为掌握了英语、日语、俄语的人的集合，

则AUBUC1000,

AIB为既掌握英语又掌握日语的集；AIC为掌握英语和俄语，BIC为掌握日语和

俄语的人的集合，AIBIC为三种都掌握的人的集合，

故由题意得：

804,

250,C

|190,

AB125,

85,

C57,

AUBUC

1000

ABC

a|b

AB|A

C|,

于是

英语、

=1000—804-250—190

=23

日语、俄语全掌握的只有

+125+85+57

23人。

6、设集合A=a,b,c,d,e上的二元关系为

R=a,a,a,b,a,ca,d,a,e,b,b,b,c,b,e,c,c,c,e,d,d,d,e,e,e

（1）写出R的关系矩阵。

（2）验证（A,R）是偏续集。

（3）画出Hasse图。

7、

（1）设集合A=a,b,c,P（A）是集合A的藉集，画出（P（A）,）的Hasse图。

（2）设X=1,2,3,4,R=1,1,3,1,1,33,3,3,2,4,3,4,1,4,2,1,2，写出R的

关系矩阵，画出关系图。

8、已知有向图D=,如图所示

求：

（1）D的邻接矩阵;

（2）D中*到V4长度为4的通路数为多少？

V2匕匚一…*…一-——MV3

（3）D中长度小于等于4的通路有多少？

其中有多少条是回路？

9、已知图8,V={a,b,c,d,e},E={,,,,}

求G的可达性矩阵P。

10、用真值表法求命题公式（（p（pVq））（qAr））（pVr）的主析取范式和主合取范

式。

四、证明题

1、设A,B,C为任意三个集合，证明An（B\C）=（AnB）（An。

证：

xAI（BC）,则xA且xBC

即而xA且xB但x~C,

于是xAIB但x~AIC，即x（AIB）（AIC）。

从而AI（BC）（AIB）（AIC）

反之，x（AIB）（AIC）,有xAIB但x~AIC,即xA且xB但

由集合相等的定义得：

AI（BC）（AIB）（AIC）

2、设A,B,C为任意三个集合，证明：

A-（BUC）=（A—B）口（A—C）

s：

前提：

p（qr）,

结论：

证明：

①ps

4p（qr）

5qr

6sq

⑧r

x（A—B）n（AC）

所以A—（BUC）=（A—B）□（A—C）

3、写出下面推理的形式证明：

如果数a是实数，则它不是有理数就是无理数。

如果a不能

表示成分数，则它不是有理数。

a是实数且它不能表示成分数，所以a是无理数。

解设命题，p：

a是实数，q：

a是有理数，r：

a是无理数,a能表示成分数。

sq,ps

前提引入

1化简

2化简

前提引入

②④假言推理

前提引入

③⑥假言推理

⑤⑦析取三段论

4、写出下面推理的形式证明：

如果今天是星期一，则要进行英语或离散数学考试。

如果今

天英语老师有会，则不考英语。

今天是星期一，英语老师有会。

所以今天进行离散数学考试。

解符号化题目中的命题，设

p：

今天是星期一，q：

进行英语考试，r:

进行离散数学

考试，s：

英语老师有会。

前提：

p（qr）,sq,p,s

证明：

①p（qr）

3qr

4sq

⑦r

结论：

前提引入

①②假言推理

前提引入

④⑤假言推理

③⑥析取三段论

5、在自然推理系统P中，用附加前提引入法构造下面的推理证明:

前提：

结论：

fUS）,

FHS

RVP,Q

证明：

（1）

RVP

前提引人

（2）R

（1）

置换

⑶R

附加前提引人

⑷P

⑵（3）

分离

（5）P

"（QrS）

前提引入

（6）Q

S（4）（5）

|分离

⑺Q

前提引人

（8）S

⑹⑺

分离

⑼R

条件证明规则

6、在自然推理系统

P中，构造卜面的推理证明：

前提：

PVQ,fR,

CHS,

结论：

SVR

证明：

⑴P

前提引入

⑵

（1）

置换

⑶Q

前提引入

（4）

⑵（3）

三段论

（5）

SrP

（4）

置换

⑹P

前提引入

⑺

（5）（6）

三段论

（8）S

（7）

置换

7、书上114页定理7.9及证明过程。

8、设无向图G中只有两个奇度顶点u与v,试证明u与v必连通。

证明：

用反证法。

假设u与v不连通，即u与v之间无通路，则u与v处于G的不同连通分支中。

不妨设u在G1,v在G2中。

于是，G1与G2作为G的子图，他们中均只含有一个奇度顶点，这与握手定理的推论矛盾。

9、设n阶无向简单图G有m条边，已知伦1（n-1）（n-2）+1，证明G必连通。

证明：

（1）任何n阶简单图的边数m均小于等于完全图Kn的边数1n（n-1）。

（2）若G中无孤立点，则a（G）>1。

用归纳法。

①n=1时，G为平凡图，显然G连通。

②

n=2时，m>l（n-1）（n-2）+1=1，此时G为K2,当然连通。

③设n=k（k>2）,

伦1（k-1）（k-2）+1时结论成立，要证明当n=k+1,m>1k（k-1）+1时结论也成立。

（i）若G为K+1,G当然连通。

（ii）若G中含孤立点，一定推出矛盾。

删去G中的孤立点，记作G1。

贝UG1的边数

1k（k-1）+1，这与G1为阶数小于等于k的简单图矛盾，故G中不可能含孤立点。

（iii）由（i）、（ii）可知，只需对G不为完全图、又不含孤立点的情况加以证明。

G中存在

v0,使11k（k-1）+1-（k-1）=（1k（k-1）-（k-1））+1=1（k-1）（k-2）+1

222

由归纳假设可知，G'是连通图，而G'为G的子图，故G也连通。

10、设G为n阶无向简单图，证明以下题目:

（1）当a（G）>兰时，证明G连通。

证明

（1）用反证法。

假设G至少有两个连通分支，设G1,G2为其中的两个，并设G1,G2的

阶数分别为n1和n2,则n1+n2vn,且min{n1,n2}<£。

于是，对任意的v€V（G1）,

dG1（V）=dG（V）<£-1n矛盾，所以G连通。

222

（2）当a（G）>l（n+k-1）时，证明G是k-连通图。

证明：

设V'为V（G）的任意子集，且|V'|=k-1。

令G'=G-V'，贝UG'为n-（k-1）=n-k+1=n'阶无

向简单图，而a（G'）>a（G）-（k-1）

>1（n+k-1）-（k-1）

1（n+k-1-2k+2）

21（n-k+1）

In'2

由当a（G）>n时，G连通可知，G'连通，故G'为k-连通图。

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