离散数学复习题.docx

1、离散数学复习题、单项选择题(A)若 A(C)若 AB, B C,则 A C (B)若 AB, B C,贝U A C (D)若 AB, BB, BC,则AC,则ACC2 .设 A a,a ,则下列选项错误的是【B】(A) aP(A) (B) a P(A) (C)AP(A)(D) A P(A)3.设 A a,b,c上的关系如下，有传递关系的有【D】(A) R1a, c , c, a , a,b , b, a(B) R2a,c , c,a(C) R3a, b , c, c , b, a , b, c(D) R4a,a ,1.对任意集合C,下述论断正确的是A4. R是A上的自反关系，则B5.K4中含3

2、条边的不同构生成子图有7.欧拉回路是8. 5阶无向完全图的边数是(A) a,b(B) b,c (Q a,d,e (D) a,b,c10.设A , B P(P(A)则下列选项错误的是个数为14.设G (V,E)为无向图，u,v V ,若u,v连通，则(A) d(u,v) 0 (B) d(u,v) 0 (C) d(u,v) 0 (D) d(u,v) 015. 欧拉回路是 【B 】(A)路径 (B)简单回路(C)既是基本回路也是简单回路 (D)既非基本回路也非简单回路16.n个结点的无向完全图的边数是 【D 】：2(A) n(n 1) (B) n (C) 2n (D) n(n 1)/217. 设P:

3、我将去镇上，Q:我有时间。命题“我将去镇上 ，仅当我有时间时”符号化为【 A】(A)P Q, (B) Q P , (C) Q P , (D) QV P18. 下面哪个命题是命题“ 2是偶数或一3是负数”的否定？ 【C】(A)2是偶数或一3不是负数， (B) 2是奇数或一3不是负数，(C) 2不是偶数且一3不是负数，(D) 2是奇数且一3是不负数，19. 下面哪个联结词运算不可交换 ： 【B】(A) A , (B) , (C) V , (D)20.命题公式(PA (P Q) Q是； 【C】(A)矛盾式，(B)蕴含式，(C)重言式，(D)等值式21. 下列命题联结词集合中，哪个是最小联结词组； 【

4、C】(A) ， , (B) , , (C) (D),22 .下面那一个命题是假命题； 【A】(A)如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一 ，(B)如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一 ，(C)如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一，(D)如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一23 .谓词公式 x(P(x) yF(y) Q(x)中变元x是；(D)既是自由变元也是约束变元24 .设A(x):x是人，B(x):x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为 ；【D】(B)(A)000, 001,110(C)全体赋值001,011, 101,110,111(D)无26.下面语句中哪个是真命题

5、;(A)我在说谎， (B)严禁吸烟，(C)如果1+2=3，那么雪是黑的， (D)如果1+2=5,那么雪是黑的27.设P:我们划船，Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为【(A)PA Q, (B) PV Q , (C) (P Q) , (D) P Q28. 下面哪个命题是命题“2是偶数或一 3是负数”的否定？【 C】。(B)2是偶数或一3不是负数， (B) 2是奇数或一3不是负数，(C)2不是偶数且一3不是负数，(D) 2是奇数且一3是不负数，29. 下面哪个联结词运算不可交换【 C】。(A) A , (B) V , (C) , (D)30.下面哪个命题公式是重言式 【B】。(A)

6、(P Q) A (Q P), (B) (P A Q) P,(C) ( PV Q) A ( PA Q) , (D) (PV Q)31. 下列命题联结词集合中，哪个不是最小联结词组【 C】。(A) , , (B) , (C) , , (D)32.命题公式P QA R的对偶式是【D】。(C) P (QV R) , (B) PA (QV R), (C) PV ( QA R), ( D) PA ( QV R)33.谓词公式 x(P(x) yF(y) Q(x)中变元乂是【D】。(B)(A)自由变元约束变元，(C)既不是自由变元也不是约束变元 ，(D)既是自由变元也是约束变元“没有一个运动员不是强壮的”符号

7、化为34 .设C(x):x是运动员,G(x):x是强壮的，命题【C】。(C) x yA(x, y)y xB(x, y), (D) x yA(x, y) x yA(x, y)、填空题1.若集合A的基数 A 10,则其藉集的基数 p(A) 1024 。2.设 A x |100 x 200, x 7n 3,n Z,x Z，则 |A| 15 。3.设 N表示非负整数集，R: NH N, xRy 定义为 x+2y = 10,则 Dom(R)= 0,2,4,6,8,10Ran(R) = 5,4,3,2,1,04.A= 2,3,4,5,6,8,10,12,24 ,R是A上的整除关系，那么 A的极大元是10

8、, 24，极小元是2 ,3, 5 ,。5.设A= 1,2,3上的关系R 1,1 , 1,2 , 1,3 , 3,3 ，则R具备 反对称性、传递 世，R不具备 自反性、反自反性和对称性。6.设G=(n,m)是简单图，v是G中度数为k的结点，e是G中的一条边，贝U G e中有旦个 结点，m 1条边。7.3个结点可构成 4个不同构的简单无向图。8.具有p个顶点的完全图Kp有pp 2个生成树，p 2。9.设G是一个有k个支的图，如果 S是G的割集，则G-S恰有k+1个支。10.设 A= 1,2 ，则 A A= , A 2。11. 集合 A , a 的藉集 P(A) , , a , , a 。12.设R

9、是集合1,2, ,10上的模7同余关系，则.2r _ 2,9 _。13.A= 2,3,4,5,6,8,10,12,24 ,R是A上的整除关系，那么A的极大元是10 ,24，极小元是2 , 3, 5 ,。14.整数集上的小于关系“V”具有 反自反、反对称 和 传递 性。15.设G=(n,m)是简单图，v是G中度数为k的结点，e是G中的一条边，则G v中有n 1 个结点，叶k条边。16.3个结点可构成 4 个不同构的简单无向图。17.具有p个顶点的完全图 Kp有pP 2个生成树，p2。18.设S是连通图G=(V, E)的割集，贝U G-S恰有 2 个支。19.设P:我生病,Q:我去学校看电影(1)

10、命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为 PA Q 。(2)命题只有在生病的时候，我才不去学校”符号化为 P_Q_o20.设P、Q为两个命题，德摩根律可表示为 (P Q) P Q，(或(P Q) P Q ),吸收律可表示为 p (P Q) P (或p (P Q) P )。21.公式(P Q)的主析取范式为P Q,主合取范式的编码表示为 M 0 M1 M3。22.x y(F(xy) G(y,z) xF(x,y)中，x的作用域为 y(F(x, y) G(y, z), y 的作用域为 (F(x, y) G(y,z), x的作用域为 P(x,y)。23.谓词公式 xF(x) xG(x)的前束范式为 x

11、y(F(x) G(y)。24.设P:我有钱，Q:我去看电影(1)命题如果我有钱，那么我就去看电影”符号化为 P Q。(2)命题虽然我有钱，但我不去看电影”符号化为 P Q。25.命题公式 P (Q S)的成真赋值为 010, 100, 101, 110, 111 ,成假赋值为 000, 001 , 011。26.26.公式(P Q)的主析取范式为 P Q,主合取范式的编码表示为 Mo Mi M3。27. x y(P(x,y) Q(y,z) xRxy)中，x 的作用域为 y(P(x, y) Q(y,z), y 的作用域为(Rxy) Q(y,z), x的作用域为 P(x,y)。28.谓词公式 xR

12、x) xC(x) yF(y)的前束范式为 x z y(P(x) Q(z) R(y)。三、计算题(P V Q)A R) V (Q V P) A R)(P V Q)V (QV P) A R)(P V Q)V (P V Q) A R)TA R故原式为可满足式解：合取范式:pV q析取范式:3、给定集合 A= 0.1,2,3 ,且 A中有关系：R=(i,j)|i,j A,j i 1或j i/2S= i,j)|i,j A,i j 2 ,计算 R。S4、在120名学生参加考试，这次考试有 A , B, C共3道题，考试结果如下：有 12人3道 题都做对了，20人做对了 A题和B题，16人做对了 A题和C题

13、，28人做对了 B题和C题， 做对了 A题的有48人，做对了 B题的有56人，还有16人一道题也没做对，求做对了 C 题的有多少人？解：设A,B,C分别为做对 A题、B题、C题的人构成的集合，故由题意有：A 48, B 56 A B 20, AC 16, B C 28,A BC 16 ABC 120 16 104根据包含排斥原理可知：a b c| |a| b |c| |a b |a c| |b c |a b c ,C = 20+16+ 28+104 1248 56 = 52故做对C题的有52人。5、在1000名大学毕业生的调查中，有 804人掌握了英语，205人掌握了日语，190人掌 握了俄语

14、，125人既掌握了英语又掌握了日语， 57人既掌握了日语又掌握了俄语， 85人既 掌握了英语又掌握了俄语，求这 1000名大学生中，英语、日语、俄语全掌握的有多少人。解：设A,B,C分别为掌握了英语、日语、俄语的人的集合，则 AU BUC 1000,AI B为既掌握英语又掌握日语的集； AI C为掌握英语和俄语，BI C为掌握日语和俄语的人的集合， AI BI C为三种都掌握的人的集合，故由题意得：A804,B250, C| 190,A B 125 ,AC85,BC 57,AUBUC1000AB CABCa |bCA B |ACBC|,于是=英语、= 1000 804 - 250 190=23

15、日语、俄语全掌握的只有+ 125+ 85 + 5723人。6、设集合A= a,b,c,d,e上的二元关系为R= a, a , a,b , a,c a,d , a,e , b, b , b, c , b,e , c,c , c,e , d ,d , d, e , e, e(1) 写出R的关系矩阵。(2)验证(A, R)是偏续集。(3)画出Hasse图。7、(1)设集合A= a,b,c ,P(A)是集合A的藉集，画出(P(A),)的Hasse图。(2)设 X= 1,2,3,4 , R= 1,1 , 3,1 , 1,3 3,3 , 3,2 , 4,3 , 4,1 , 4,2 , 1,2 ，写出 R

16、的关系矩阵，画出关系图。8、已知有向图D= ,如图所示求：(1) D的邻接矩阵;(2) D中*到V4长度为4的通路数为多少？ JV2匕匚一*一-M V3 e5(3) D中长度小于等于4的通路有多少？其中有多少条是回路？9、 已知图 8 , V= a,b,c,d,e ,E = , , , 求G的可达性矩阵P。10、 用真值表法求命题公式 (p (p V q) (q A r) ( pV r)的主析取范式和主合取范式。四、证明题1、设A, B, C为任意三个集合，证明 An (BC) = (An B) (An。证： x AI (B C),则 x A且 x B C即而x A且x B但x C ,于是 x

17、 AI B但 xAI C，即 x (AI B) (AI C)。从而 AI (B C) (AI B) (AI C)反之， x (AI B) (AI C),有 x AI B 但 x AI C ,即 x A且 x B 但由集合相等的定义得： AI (B C) (AI B) (AI C)2、设A, B, C为任意三个集合，证明： A - (BU C) = (A B) 口(A C)s：前提：p (q r),结论：r证明： p s2p3s4p (q r)5q r6s q7qrx (AB) n (A C)所以 A ( BU C) = (A B) (A C)3、写出下面推理的形式证明：如果数 a是实数，则它不

18、是有理数就是无理数。如果 a不能表示成分数，则它不是有理数。 a是实数且它不能表示成分数，所以 a是无理数。解 设命题，p： a是实数， q： a是有理数， r： a是无理数, a能表示成分数。s q, p s前提引入1化简2化简前提引入假言推理前提引入假言推理析取三段论4、写出下面推理的形式证明：如果今天是星期一，则要进行英语或离散数学考试。如果今天英语老师有会，则不考英语。今天是星期一，英语老师有会。所以今天进行离散数学考试。解 符号化题目中的命题，设p：今天是星期一，q：进行英语考试，r:进行离散数学考试，s：英语老师有会。前提：p (q r), s q, p, s证明：p (q r)2

19、p3q r4s q5s6qr结论：r前提引入前提引入假言推理前提引入前提引入假言推理析取三段论5、在自然推理系统 P中，用附加前提引入法构造下面的推理证明:前提：结论：f U S),FH SRV P , Q证明：（1）RV P前提引人(2) RP (1)置换R附加前提引人P(3)分离(5)P(Qr S)前提引入(6)QS (4)(5)| 分离Q前提引人(8)S分离Rr S条件证明规则6、在自然推理系统P中，构造卜面的推理证明：前提：PV Q , f R,CH S,结论：SV R证明：PV Q前提引入f Q(1)置换Qr S前提引入(4)r S(3)三段论(5)Sr P(4)置换Pr R前提引入

20、SR(5)(6)三段论(8)SV R(7)置换7、 书上114页定理7.9及证明过程。8、 设无向图G中只有两个奇度顶点 u与v,试证明u与v必连通。证明：用反证法。假设u与v不连通，即u与v之间无通路，则u与v处于G的不同连通分 支中。不妨设u在G1, v在G2中。于是，G1与G2作为G的子图，他们中均只含有一个奇 度顶点，这与握手定理的推论矛盾。9、 设n阶无向简单图 G有m条边，已知 伦 1 (n-1)(n-2)+1 ，证明G必连通。2证明：(1)任何n阶简单图的 边数m均小于等于完全图 Kn的边数1 n(n-1)。2(2)若G中无孤立点，则a (G) 1。用归纳法。 n=1时，G为平凡

21、图，显然G连通。 n=2 时，m l(n-1)(n-2)+1=1 ，此时 G为 K2,当然连通。 设 n=k(k 2),2伦 1 (k-1)(k-2)+1 时结论成立，要证明当 n=k+1,m 1 k(k-1)+1 时结 论也成立。2 2(i)若G为K+1, G当然连通。(ii)若G中含孤立点，一定推出矛盾。删去 G中的孤立点，记作 G1。贝U G1的边数1k(k-1)+1 ，这与G1为阶数小于等于 k的简单图矛盾，故 G中不可能含孤立点。2(iii)由(i)、(ii)可知，只需对 G不为完全图、又不含孤立点的情况加以证明。 G中存在v0,使1 d(v0) 1 k(k-1)+1-(k-1) =

22、( 1 k(k-1)-(k-1)+1 = 1 (k-1)(k-2)+12 2 2由归纳假设可知，G是连通图，而 G为G的子图，故G也连通。10、设G为n阶无向简单图，证明以下题目:(1)当a (G) 兰时，证明G连通。2证明(1)用反证法。假设 G至少有两个连通分支，设 G1,G2为其中的两个，并设 G1,G2的阶数分别为n1和n2,则n1+n2v n,且minn1,n2 。于是，对任意的 v V(G1),2dG1(V)= dG(V) -1 n 矛盾，所以 G连通。2 2 2(2)当a (G) l(n+k-1)时，证明G是k-连通图。 2证明：设V为V(G)的任意子集， 且|V|=k-1 。令G=G-V，贝U G为n-(k-1)=n-k+1=n 阶无向简单图，而 a (G) a (G)-(k-1) 1 (n+k-1)-(k-1)21 (n+k-1-2k+2)2 1 (n-k+1)2In 2由当a (G) n时，G连通可知，G连通，故G为k-连通图。2