北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案.docx

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北师大版初中数学九年级下册《二次函数最值问题》学案

初三数学二次函数的最值问题解析

例1.已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值是2，

（1）求：

二次函数图象的解析式

（2）设此二次函数图象的顶点为P，求：

△ABP的面积

分析：

与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。

解：

（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（－2，0），B（3，0）

∴设解析式为

即

∴所求解析式为

另解：

∵图象过（－2，0），（3，0）

∴对称轴为

∴顶点为（）

设，把代入即可

（2）∵，

AB边上的高即P到x轴的距离，为函数最大值2

∴

例2.如图，在矩形ABCD中，BD＝20，AD＞AB，设∠ABD＝α，已知sinα是方程的一个实数根，点E、F分别是BC、DC上的点，EC＋CF＝8，设BE＝x，△AEF的面积等于y

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当E、F两点在什么位置时，y有最小值？

并求出最小值

解：

（1）解方程可得

∵

在Rt△ABD中，AD＝BD·sinα

∴

设BE为x，则有，

∵

∴

（2）

∴当时，y有最小值是46

故当BE＝10，CF＝2时，y有最小值是46

例3.如图，△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，设MN为x，△MNC的面积为S。

（1）求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）是否存在平行线段MN，使△MNC的面积等于2，若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由。

解：

（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

则有

设△MNC的MN上的高为h

∵MN∥BC

∴

∴

（2）若存在这样的平行线段MN，使则方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式

，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN，使

例4.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。

（1）试求y与x之间的关系式

（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？

每月的最大利润是多少元？

解：

（1）设，依题意，得

解得：

∴

（2）设月利润为w，则

∵，∴w有最大值。

当时，w最大，最大利润为1920元。

例5.心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式：

（1）讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？

能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

解：

（1）当时，，当时，

∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中

（2）当时，，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当时，y有最大值240，当时，，y随t的增大而减小，所以，当时，y有最大值240

所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟

（3）当时，令

∴

当时，令，∴

所以，学生注意力在180以上的持续时间为（分钟）

所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。

例6.已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，

，求：

此抛物线的解析式。

解：

（1）当A、B两点在原点同侧时，如图1

图1

∵，

∵C（0，4），∴OC＝4，∴OB＝1

∴B（－1，0）

∵

∴A（－5，0）

设二次函数解析式，由于抛物线过点C

∴

∴，

即二次函数解析式

（2）当A、B两点在原点异侧时，如图2

图2

∵

又∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝1，∴B（1，0）

由

即AB＝4，∴A（－3，0）

设二次函数解析式为，由于抛物线过点C

∴

∴

即二次函数解析式为

例7已知一次函数

（1）根据表中给出的x值，计算对应的函数值，并填在表格中：

（2）观察第

（1）问表中有关数据，证明如下结论：

在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立。

（3）试问：

是否存在二次函数，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。

解：

（1）

（2）证明：

∵

∴当自变量x取任意实数时，均成立。

（3）由经过（－5，2），得①

∵

依题意，有②

由①、②可得

∴

恒大于0，

则满足：

令恒大于0，则：

满足

综上，可得

∴解析式为

例8已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P

（1）求这个二次函数的解析式

（2）设D为线段OC上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求：

点D的坐标

（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？

如果存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

解：

（1）将A（－3，6），B（－1，0）代入

得

（2）过A作AE⊥x轴，垂足为E，

设抛物线的对称轴交x轴于F，

则△AEC、△CFP均为等腰直角三角形

则∠EAC＝∠FPC

∵∠DPC＝∠BAC，∴∠EAB＝∠FPD

∴△AEB∽△PFD

∴，易求

∴

∴

（3）存在：

①过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心

∴MG＝MH＝ON，∵，且OM＋MC＝OC

∴，得，∴

②在x轴的负半轴上，存在一点M'，

同理：

得

∴，即在x轴上存在满足条件的两个点。

【模拟试题】

一、填空题：

（1）抛物线的顶点坐标是_____________

（2）抛物线的对称轴是_____________，有最________值是__________

（3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图1所示），则此抛物线的解析式为__________________________

图1

（4）二次函数的图象如图2所示，则函数值时，对应x的取值范围是_____________

图2

（5）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为_____________________

（6）已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标是－2和6，图象与y轴交点到原点的距离是3，则这个二次函数是__________________________

（7）把配方成的形式是__________________

（8）抛物线与x轴只有一个交点，则m为___________

二、选择题：

（1）二次函数的图象如图3所示，则下列结论正确的是（）

图3

A.

B.

C.

D.

（2）二次函数的图象与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）

图4

（3）把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）

A.B.

C.D.

三、解答题：

（1）已知二次函数的图象过点（0，5）

①求m的值，并写出二次函数的解析式

②求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值

（2）抛物线经过点P（4，5），与x轴交于A（，0），B（，0）两点，

①求抛物线的解析式

②在抛物线上是否存在点Q，使得△PAQ和△PBQ的面积相等？

若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由