北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案.docx
《北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案.docx（52页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案
绝密★启用前
北京市海淀区普通高中
2020届高三毕业班下学期第一次综合练习（高考一模）数学试题
2020年5月
本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内,复数对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）已知集合,,则集合B可以是
（A）{1,2}（B）{1,3}（C）{0,1,2}（D）{1,2,3}
（3）已知双曲线的离心率为,则b的值为
（A）1（B）2（C）3（D）4
（4）已知实数在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是
（A）（B）（C）（D）
（5）在的展开式中,常数项为
（A）-120（B）120（C）-160（D）160
（6）如图,半径为1的圆M与直线相切于点,圆M沿着直线滚动．当圆M滚动到圆时,圆与直线相切于点B．点运动到点,线段的长度为,则点到直线的距离为
（A）1（B）（C）（D）
（7）已知函数与函数的图象关于y轴对称．若在区间（1,2）内单调递减,则m的取值范围为
（A）[-1,+∞）（B）（-∞,-1]（C）[-2,+∞）（D）（-∞,-2]
（8）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为
（A）（B）
（C）（D）
（9）若数列满足,则“”是“为等比数列”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（10）形如（n是非负整数）的数称为费马数,记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：
费马数都是质数．多年之后,数学家欧拉计算出,不是质数,那么的位数是
（参考数据；）
（A）9（B）10（C）11（D）12
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
（11）已知点P（1,2）在抛物线C：
y2=2px上,则抛物线C的准线方程为．
（12）在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为．
（13）已知非零向量a,b满足|a|=|a-b|,则（a-b）·b=．
（14）在△ABC中,AB=,∠B=,点D在边BC上,∠ADC=,CD=2,则AD=；
△ACD的面积为．
（15）如图,在等边三角形ABC中,AB=6．动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为,给出下列三个结论：
①函数的最大值为12；
②函数的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程=kx+3最多有5个实数根．
其中,所有正确结论的序号是．
注：
本题给出的结论中,有多个符合题目要求。
全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2,BC1=,点E为A1C1的中点．
（I）求证：
C1B⊥平面ABC：
（II）求二面角A—BC—E的大小．
（17）（本小题共14分）
已知函数．
（I）求的值；
（II）从①,；②,这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期．
注：
如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。
（18）（本小题共14分）
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值（单位：
十亿元）．
（I）从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望；
（III）根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由．
（19）（本小题共15分）
已知函数．
（I）当a=-1时,
①求曲线在点（0,）处的切线方程；
②求函数的最小值：
（II）求证：
当a∈（-2,0）时,曲线与y=1-lnx有且只有一个交点．
（20）（本小题共14分）
已知椭圆C：
的离心率为,,,,的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点P,直线与直线交于点Q．求证：
为等腰三角形．
（21）（本小题共14分）
已知数列是由正整数组成的无穷数列,若存在常数,使得,对任意的成立,则称数列具有性质．
（Ⅰ）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）
①；②．
（Ⅱ）若数列满足,求证：
“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；
（Ⅲ）已知数列中,且．若数列具有性质,求数列的通项公式.
绝密★启用前
北京市海淀区普通高中
2020届高三毕业班下学期第一次综合练习（高考一模）数学试题参考答案
2020年5月
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
C
C
D
C
A
B
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
题号
11
12
13
14
15
答案
0
①②
注：
第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分,不选或有错选得分,其他得3分。
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：
（Ⅰ）因为平面,平面
所以.
在△中,,,,
所以.
所以.
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,,
如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则,,.
.
设平面的法向量为,
则
即
令则,,
所以.
又因为平面的法向量为,
所以.
由题知二面角为锐角,所以其大小为.
（17）解：
（Ⅰ）.
（Ⅱ）选择条件①.
的一个周期为.
.
因为,所以.
所以.
所以.
当时，即时，
在取得最小值.
选择条件②.
的一个周期为.
.
因为,所以.
所以当时，即时，
在取得最小值.
（18）解：
（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，
所以.
（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以的所有可能取值为,,.
且；；.
所以的分布列为：
0
1
2
故的期望．
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一.要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.
（19）解：
（Ⅰ）①当时，，则．
所以
又，
所以曲线在点处的切线方程为
②令，得.
0
↘
极小值
↗
此时，随的变化如下：
可知，函数的最小值为1.
（Ⅱ）由题意可知，.
令，则．
由（Ⅰ）中可知，故．
因为，
则
．
所以函数在区间上单调递增．
因为,
又因为，
所以有唯一的一个零点.
即函数与有且只有一个交点.
（20）解：
（Ⅰ）由题
解得
所以椭圆方程为.
（）解法1
证明：
设直线方程为，直线方程为
由解得点.
由得，
则.
所以，.
即.
.
于是直线的方程为，直线的方程为.
由解得点.
于是，所以轴.
设中点为，则点的纵坐标为.
故中点在定直线上.
从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，
所以△为等腰三角形.
解法2
证明：
设则.
直线方程为，直线方程为.
由
解得点.
直线方程为，直线方程为.
由
解得点.
.
于是，所以轴.
.
故中点在定直线上.
从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，
所以△为等腰三角形.
（21）解：
（Ⅰ）①数列具有“性质”；
②数列不具有“性质”.
（Ⅱ）先证“充分性”：
当数列具有“性质”时，有
又因为，
所以，
进而有
结合有,
即“数列为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列为常数列”，
则有，
即“数列具有“性质”.
（Ⅲ）首先证明：
.
因为具有“性质”，
所以.
当时有.
又因为且，
所以有,
进而有，
所以,
结合可得：
.
然后利用反证法证明：
.
假设数列中存在相邻的两项之差大于，
即存在满足：
或，
进而有
.
又因为，
所以
依次类推可得：
，矛盾，
所以有.
综上有：
，
结合可得，
经验证，该通项公式满足，
所以：
.
升级会员 