北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案.docx

1、北京市海淀区普通高中届高三下学期高考一模考试数学试题及答案绝密启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第一次综合练习(高考一模)数学试题2020年5月本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内,复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知集合,则集合B可以是（A）1,2 （B）1,3 （C）0,1,2 （D）1,2,3

2、（3）已知双曲线的离心率为 ,则b的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）已知实数在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是（A） （B） （C） （D） （5）在的展开式中,常数项为（A）-120 （B）120 （C）-160 （D）160（6）如图,半径为1的圆M与直线相切于点,圆M沿着直线滚动当圆M滚动到圆时,圆与直线相切于点B点运动到点,线段的长度为,则点到直线的距离为（A）1 （B） （C） （D）（7）已知函数与函数的图象关于y轴对称若在区间（1,2）内单调递减,则m的取值范围为（A）-1,+) （B）（-,-1 （C）-2,+) （D）（-,-2（8）某四棱锥的三视

3、图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为（A) （B） （C） （D)（9）若数列满足,则“”是“为等比数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）形如（n是非负整数）的数称为费马数,记为数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数多年之后,数学家欧拉计算出,不是质数,那么的位数是（参考数据； )（A）9 （B）10 （C）11 （D）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。（11）已知点P（1,2）在抛物线C：y2 =2px上,则抛物线C的准线方程为 （12）在等差数列an中,a1=3,a2+

4、a5=16,则数列an的前4项的和为 （13）已知非零向量a,b满足|a|=|a-b|,则（a-b）b= （14）在ABC中,AB=,B=,点D在边BC上,ADC=,CD=2,则AD= ；ACD的面积为 （15）如图,在等边三角形ABC中,AB=6动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为,给出下列三个结论：函数的最大值为12 ；函数的图象的对称轴方程为x=9；关于x的方程=kx+3最多有5个实数根其中,所有正确结论的序号是 注：本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。三、解答题共6小

5、题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2, BC1=,点E为A1C1的中点（I）求证：C1B平面ABC：（II）求二面角ABCE的大小（17）（本小题共14分）已知函数（I）求的值；（II）从 ,；,这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期注：如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障

6、下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）（I）从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望；（III）根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由（19）（本小题共15分）已知函数（I）当a=-1时,求曲线在点（0,）处的切线方程；求函数的最小值：（II）求证：当a（-2,

7、0）时,曲线与y=1-lnx有且只有一个交点（20）（本小题共14分）已知椭圆C：的离心率为,的面积为2.（）求椭圆C的方程；（）设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点P ,直线与直线交于点Q求证：为等腰三角形（21）（本小题共14分）已知数列是由正整数组成的无穷数列,若存在常数,使得,对任意的成立,则称数列具有性质（）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）； （）若数列满足,求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；（）已知数列中,且若数列具有性质,求数列的通项公式.绝密启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第一次综合练习(高考一模)数学试

8、题参考答案2020年5月阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题共10小题,每小题4分,共40分. 题号12345678910答案ABBDCCDCAB二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.题号1112131415答案0,注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分,不选或有错选得分,其他得3分。三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）解：（）因为平面,平面所以. 在中,所以.所以. 因为, 平面,所以平面. （）由（）知,如图,以为原点建立空间

9、直角坐标系. 则,.,. 设平面的法向量为,则 即令则,所以. 又因为平面的法向量为, 所以. 由题知二面角为锐角,所以其大小为. （17）解：（）. （）选择条件.的一个周期为. . 因为,所以.所以 .所以 .当时，即时， 在取得最小值. 选择条件.的一个周期为. . 因为,所以.所以 当时，即时， 在取得最小值. （18）解：（）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年， 所以. （）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500

10、亿元，所以的所有可能取值为,. 且；. 所以的分布列为：012故的期望 （）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分. （19）解：（）当时，则 所以 又， 所以曲线在点处的切线方程为 令，得. 0极小值此时，随的变化如下：可知，函数的最小值为1. （）由题意可知，. 令，则 由（）中可知，故 因为， 则 所以函数在区间上单调递增 因为, 又因为， 所以有唯一的一个零点.即函数与有且只有一个交点. （20）解：（）由题 解得 所以椭圆方程为. （）解法1证明：设直线方程为，直线方程为 由解得点. 由得，则.所以，.即. .于是直线的方

11、程为，直线的方程为.由解得点 . 于是，所以轴. 设中点为，则点的纵坐标为.故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形. 解法2证明：设则. 直线方程为，直线方程为.由 解得点. 直线方程为，直线方程为.由解得点. . 于是，所以轴. .故中点在定直线上. 从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以为等腰三角形. （21）解：（）数列具有“性质”；数列不具有“性质”. （）先证“充分性”：当数列 具有“性质”时，有又因为，所以， 进而有 结合有, 即“数列为常数列”； 再证“必要性”：若“数列为常数列”， 则有，即“数列 具有“性质”. （）首先证明：.因为具有“性质”，所以.当时有. 又因为且，所以有,进而有，所以,结合可得：. 然后利用反证法证明：. 假设数列中存在相邻的两项之差大于， 即存在满足：或，进而有.又因为，所以依次类推可得：，矛盾，所以有. 综上有：，结合可得，经验证，该通项公式满足，所以：.