高三数学 统计与统计案例 教学教案 新人教版.docx
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高三数学统计与统计案例教学教案新人教版
2019-2020年高三数学统计与统计案例教学教案新人教版
一、有的放矢、复习轻松
1.理解用样本估计总体的思想，并会用样本的数字特征对总体进行估计；理解样本平均数和标准差的意义和作用，并会计算数据平均数和标准差。
2.理解独立性检验的基本思想、方法和初步应用。
3.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本和了解分层抽样方法和系统抽样方法，并了解随机抽样的等可能性。
4.会作“一表三图”，并能利用“一表三图”分析样本的数字特征。
5.了解最小二乘法的思想和利用已知系数公式建立线性回归方程；了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
二、知识结构，了然于胸
三、复习定位，对症下药
1.重点
（1）简单随机抽样的基本方法以及操作步骤。
（2）用茎叶图和频率分布直方图分析样本的基本数字特征。
（3）会根据茎叶图计算样本的基本数字特征；会用频率分布直方图估算样本的基本数字特征.
2.难点
（1）会用茎叶图和频率分布直方图分析样本的基本数字特征。
（2）体会用样本估计总体的思想；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
四、例题解析，理解深入
【例题1】某省打算对本省现行的高考方案做出优化改革，使之更好的考查考生的能力和素质,为增强改革的有效性，计划向5000名高三学生、3000名高校学生和4000名高中教师发放相关问卷，拟收回1200份做数据分析，请选择恰当的抽样方法收取这1200份问卷。
【解析】本题适合采用分层抽样方法：
第一步：
确定抽样比：
第二步：
确定每一层的子样本容量：
第三步：
在每一层按简单随机抽样的方法或系统抽样方法抽取相应样本。
【例题2】为了综合分析我市高三理科数学的教学质量，某研究机构从参加“皖西五校联考（理）”的学生中利用电脑随机选择了20名学生成绩作分析，成绩茎叶图如下：
8
6
9
6
8
10
7
9
9
11
0
2
6
7
8
8
8
12
2
4
8
8
13
3
7
14
5
（Ⅰ）请由图中给出的数据，求样本的众数、中位数、平均值和方差。
平均值为116.55方差为149.4标准差为12.2
1.由平均分116.55知，所选样本成绩较好；中位数比平均数大
可以知道绝对的高分拉升了中位数的值
（Ⅱ）试简要分析总体的特征。
外的数据只有2个，成绩分布集中.
3.从所选样本的基本数字特征来看，我市的数学教学质量高，对本年度的高考数学成绩可以给一个好的预期.
【百炼成钢】请用频率分布直方图对上述数据进行分析，并对总体进行估计。
分组
频数
频率
[85,95）
1
0.05
[95,105）
2
0.1
[105,115）
5
0.25
[115,125）
7
0.35
[125,135）
3
0.15
[135,145]
2
0.1
合计
20
1
【在对照中思考，在思考中提升】
1.对同一个样本在两种数据处理方法下所产生的平均值误差，怎样做出解释？
2.两种处理数据的方式的优缺点比较
3.在频率分布直方图的组距大小调节中，对样本总体特征的刻画有何差异？
（以下频率分布直方图由Excel软件制得）
【例题3】某市为响应国家节能减排，建设资源节约型社会的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：
（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放。
……
（二）人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气。
……
活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机对10~60岁的人群抽样了n人，统计结果如下图表：
广告一
广告二
回答正
确人数
占本组
人频率
回答正
确人数
占本组
人频率
[10,20）
90
0.5
45
a
[20,30）
225
0.75
k
0.8
[30,40）
b
0.9
252
0.6
[40,50）
160
c
120
d
[50,60]
10
e
f
g
（I）分别写出n，x,a，c，d的值；
（II）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得20元，广告二的内容得30元。
组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁）回答两广告内容，求该家庭获得奖金的期望（各人之间，两广告之间，对能否正确回答，均无影响。
）
【牛刀小试，巩固提升】
1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生
产能耗（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
（参考数值：
）
2.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如下图。
（1）求直方图中的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率（结果用分数表示）.
（已知，，
，）
【课后准备，胸有成竹】
1.俗话说“数理不分家”，请以上述选出的样本为研究对象，通过统计分析给出你的结论.
我们将上述选中的20名参加五校联考的同学数学和物理成绩数据统计如下表：
数学（X）
86
96
98
107
109
109
110
112
116
117
物理（Y）
52
57
63
72
70
74
78
88
80
82
数学（X）
118
118
119
122
124
128
128
133
137
145
物理（Y）
85
91
89
98
87
100
93
95
100
100
2.数学殿堂，人人平等
我们在参考的学生中随机选择200名女生和500名男生，其中女生及格人数为138人，男生及格人数为353人。
通过上述数据分析性别差异对学好数学是否影响。
2019-2020年高三数学统计教案同步教案新人教A版
一、教学进度
§1.1—§1.4.统计
二、学习指导
统计就是通过对样本的研究来估计总体的相关情况。
这种估计的可靠性，取决于两个方面：
一是对样本恰当的采集，二是对样本进行适当的分析.
1．在可能的情况下，样本容量越大越好．在确定样本容量后，对样本的采集的原则只有一条：
公平性．即使每个个体被采入的概率相等（即若总体容量为N，样本容量为n，应使每个个体被采入的概率均为）．
为此，我们常用以下三种样本采集法：
（1）简单随机抽样法．传统常用抽签法和随机数表法，一般适用于样本容量较小者.
其中随机数表法初学者易产生一些误解，故应指出：
①第二步中“任选一数”才能保证公平性，不必也不能每次都仿课本中例题那样选“5”,
②课本例题中“向右”他是照顾阅读习惯而已，从理论上说，也可向左、向上、向下、
向左下、向右上等方向，甚至可以有规律地“跳读”．但这不意味着“随意读”，如之类的读法，就人为地破坏了“公平性”．（前一句话中“有规律”的说法也是为了避免无意间破坏了这种“公平性”）
③不需以为随机数表中两数一节，只适用于二位数，这只是便于你阅读的一种印刷方式而已，一位数，三位数等也适用；
④统计工作者现在常用计算机来产生随机数，我们这两年耳熟能详“计算机派位”就是一例，又快又方便。
（2）分层抽样．当总体由差异明显的几部分构成时，为了充分利用已有信息，同时也是为了更好地用样本估计总体，应采用分层抽样。
但要注意：
①每层中抽取的样本数应为n1·（n1为该层总个数，n为样本容量，N为总体个数）；②在每层中应采用简单随机抽样。
（3）系统抽样．当总体个数较多，且分成均衡的几个部分时，可采用系统抽样，这样省时省力，但应注意，在每个部分中的抽取规则必须对每一个体“公平”.
2．用样本估计总体，一般应做如下几件事：
（1）频率分布．先求样本数据中最大值与最小值的差，（称为极差），再确定合适的组数和组距，决定分点（每个分点只能属于一组，故一般采用半开半闭区间），然后列出频率分布表（准确，查数据容易），画频率分布直方图（直观）．
（2）总体期望值的估计，计算样本平均值=.
（3）总体方差（标准差）的估计：
方差=标准差S=
方差（标准差）较小者较稳定。
本章内容实践性很强，建议在弄清原理和频率的基础上从实习作业为龙头带动学习.
三、典型例题讲评
例1．某学院有四个饲养房、分别养有18、54、24、48只白鼠供实验用．某项实验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为（）
（A）在每个饲养房各抽取6只；
（B）把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机取样法确定24只；
（C）在四个饲养房分别随手提出3、9、4、8只；
（D）先确定这四个饲养房应分别抽取3、9、4、8只样品，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机取样法确定各自己捕出的对象.
依据公平性原则，根据实际情况确定适当的取样方法，是本题的灵魂.
（A）中对四个饲养房平均摊派，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个体入选概率的不均衡，是错误的方法；
（B）中保证了各个体入选概率的相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采有分层抽养可靠性高，且统一偏号统一选择加大了工作量；
（C）中总体用采了分层抽样，但在每个层次中没有考虑到个体的差异（如健壮程度，灵活程度）貌似随机，实则各个体概率不等。
各饲养房必然会造成不同的差异，及同一饲养房中各个体的差异是初学者忽视的.
例2．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验.
情况如下：
寿命（h）
100—200
200—300
300—400
400—500
500—600
个数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图.
（2）估计合格品（寿命100—400h者）的概率和优质品（寿命40h以上者）的概率.
（3）估计总体的数学期望值.
通过此题初步体会统计在现实生产，生活中的作用，并了解相关步骤.
例3．设、分别表示样本（x1，x2，…，xn）的平均值和方差，、分别表示样本（x1，x2，…，xn+1）的平均值和方差，求证：
（n－1）=n+
本题是探求样本容量由n增大到n+1时，平均值及方差的变化情况．
寻求与关系中遇到的第一个问题是，如何把－转换为－？
所以我们应选探求与间的关系。
且不难由==+知－=－+=－+.或（－）+．
用哪一个形式好？
看要证结论的形式便知应用前一种形式.
于是，（－）2=（－）2++（－）（－），
（n+1）=n+（－）2+（n+1）·+[（n+1）－（x1+…+xn+xn+1）]
=n++（－）2+（－）
=n+．
前n项和与平均值，前n+1项和与平均值的关系虽然不复杂，但对初学者是生疏的，尝试着推出结论，对思维的发展不无益处．
例4．某市农科所为寻找适合本市的优良油菜品种，在本市5个乡各选了条件相近的3块地，试种A、B、C三种油菜.每块试验田面积均为0.7公顷，试根据下表所列产量情况作一评选：
（表中产量单位为kg）
1
2
3
4
5
A
21.5
20.4
22.0
21.2
19.9
B
21.3
23.69
18.9
21.4
19.8
C
17.8
23.3
21.4
19.7
20.8
为评定优劣，我们只须每块地（0.7公顷）的平均产量以估计产量的期望值及计算相应的标准差，以估计产量的稳定性即可.
例5．为考察某地区12个行政村3000名适龄青年的踽齿发病情况，欲从中抽取300人为样本进行分析，应采用哪种抽样较为合理？
并简述抽样过程.
一般来说，各行政村人数差异是不能忽略的，为保证每个适龄青年等可能入选，应采用分层抽样法，对每个村抽取其适龄人数的．具体地可用简单随机抽样法产生，先把每个个青年编号制签，抽取即可.
例6．在例5中，如果我们决定先从12个村中选抽3个村再从这三个村中抽取300个样本，为使12个村的每个适龄青年被抽取的概率相同，又应怎样取样？
在三个村选定后，从这三个村选样本的情况应与例5类似（不过12改成了3而已）关键在于三个村怎样确定.
做12个签，随意抽取3个显然是不公平的，设第m个村适龄人数为mi，该村每个适龄青年入选概率为（）·=（mj、mk为另两种签的村的适龄个数）而不再是（mi·）·=.
所以，为了保证每个适龄青年入选概率相等，选行政村时就不能等概率，而应让其中签的概率为=，这样每个适龄青年入围的概率仍是·300·=.
当然，具体操作时，不可能那样精细，比方说，如果这12个村的适龄人数大约是1：
1：
1：
1：
2：
2：
2：
2：
2：
3：
3：
3，则可制1×4+2×5+3×3=23个签，其中有3个是“中”，其余20个是“不中”，让村长抽签，比例是1的抽1个.比例是2的抽2个，比例是3的抽3个.
例7．某次考试，某班的成绩写累积频率分布图如下，据此图，你能得到哪些结论？
巩固练习
1．A①教育局督学组到学校检查工作，临时需在每个班各抽调二人参加座谈；②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60～84分，1人不及格，现欲从中抽出八人研讨进一步改进教和学；③某班元旦聚会，要产生两者“幸运者”对这三件事，合适的抽样方法为（）
（A）分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
（B）系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
（C）分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
（D）系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
2.A已知一个样本：
25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、25、26、28、试以2为组矩，列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，并由此估计总体在22～28间的概率.
3.A实习作业，题目：
我校毕业班的周作业量调查.
要求：
写出样本采集过程及全部样本数据，写出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，算出数学期望.
参考答案：
1．D
2．极差=30－21=9。
组矩2，故分为5组。
频率分布表
频数
频率
累积频率
20.5～22.5
2
0.1
0.1
22.5～24.5
3
0.15
0.25
24.5～26.5
8
0.4
0.65
26.5～28.5
4
0.2
0.85
28.5～30.5
3
0.15
1
频率分布直与图累积频率分布图
22～28间的概率约为0.85－0.1=0.75
附录
例1．总体个数为18+54+24+48=144
=18×=354×=448×=8
故各饲养房各采集容量为3、9、4、8的样本，由于各个体易捕捉程度不一，故不能随手抓捕.选（D）
例2．频率分布表
寿命（h）
频数
频率
累积频率
100—200
20
0.10
0.10
200—300
30
0.15
0.25
300—400
80
0.40
0.65
400—500
40
0.20
0.85
500—600
30
0.15
1
合计
200
1
寿命100～400h的频率为0.65，400～600h的频率为0.35
估计总体均值×0.01+×0.15+×0.40+×0.20+×0.15=365（h）
例3．===+
∴－=－－
∴（－）2=（－）2－+
∴（n+1）=（－）2+…+（－）2+（－）2
－（（－）+…+（－）+（+））+
=+（－）2－（－）
=+（－）2
例4．=21=20.8=20.6
=2.86=13.63=16.62
A品种平均产量期期望最值高，且稳定，应入选．
例5．（略）
例6．（略）
例7．没有50分以下，没有90分以上。
50～60占，
60～70占，
70～80占一半，
80～90占．
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