最新小学奥数六年级举一反三1620优秀名师资料.docx
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最新小学奥数六年级举一反三1620优秀名师资料
小学奥数六年级举一反三16-20
第十六周用“组合法”解工程问题
专题简析:
在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
7例题1。
一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单30
独完成全部工程需要几天,
1【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是15这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了
7113天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量30153,30的工作效率。
所以
1530153）?
（5,3）】,20（天）1711?
【
答:
乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1
1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。
师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成
3任务的20。
如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成,
工程，甲、乙合做1天完成全部工程的24。
如果这项工程由甲队独做2天，再52、某项
由乙队独做3天，
13能完成全部工程的。
甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天,24
83、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。
先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的15甲、乙两队独做各需几天完成,
例题2。
1一项工程，甲队独做12天可以完成。
甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的2甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。
做完后发现两段所用时间相等。
求两段一共用了几天,
111【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是:
（2,12×3）?
2,8间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的
111（2,12×3）?
2,8
（2）两段时间一共是
111?
（8×2+12）×2,6（天）
答:
两段时间一共是6天。
练习2
81、一项工程，甲队独做15天完成。
若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的15队合做若干天后，再由乙队单独做。
做完后发现，两段时间相等。
这两段时间一共是几天,
2、一项工程，甲、乙合做8天完成。
如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发
现乙比甲多了3天。
乙独做这项工程要几天完成,
3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。
这件工作先由甲做了若干天，再由
乙接着做;乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。
终于完成了这一工作。
问总共用了多少天,
例题3。
移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，
11还剩总棵数的167棵。
共要移栽西红柿苗多少棵,
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了
2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
1113（1,1681）?
（3,1）,32一共要移栽的西红柿苗多少棵
3137?
【32832】,112（棵）
答:
共要移栽西红柿苗112棵。
练习3
1、加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。
先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，
3共加工了这批零件的5。
已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。
这批零件共有多少个,
32、修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。
先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的10有修。
已知甲队每天比乙队多修20米。
这条公路全长多少米,
3、修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。
两队同时从两端开工，结果在距中点750米处
相遇。
这段公路全长多少米,
例题4。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。
如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这
22项工作的;如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的33
小时完成,
2【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的34小
2时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的3”，则求出甲的工作效率。
同理，运用“组合
法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几
211（362）?
（6,2）,12丙每小时完成这项工程的几分之几
211（363）?
（6,3）,18甲、丙合做需完成的时间为:
1111?
（12+18）,75（小时）
1答:
甲、丙合做完成需要75
练习4
1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。
如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成
1311这项工作的18;如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的18甲、丙合做需几小时完成,
2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。
现在先由甲、乙、丙合做3天后，
余下的乙再做6天则可以完成。
乙独做这项工程要几天就可以完成,
3、一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。
现在甲、乙、丙三队合做4天后，
1余下的工程由乙队独做52
4、一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。
现在由甲、丙合做2小时后，余下的由
乙6小时完成。
乙独做这件工作需几小时才能完成,
例题5。
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。
先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。
如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成,
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两
队各修（4+7）,11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。
”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
111【1,（2430】×（4+7）,40
三队合修完成时间为
1111?
（243040）,10（天）
答:
10天可以完成。
练习5
1、一件工作，甲单独做12小时完成。
现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。
这件工作始终由
甲、乙合做几小时可以完成,
2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。
现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，
又用12天挖完。
这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成,
3、一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。
如果甲、丙合做3天后，由乙单独
做，还要9天才能完成。
如果全部工作由3人合做，需几天可以完成,
4、一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。
这时甲
队调走，乙队又继续做了15天才完成。
甲队独做这项工程需要多少天,
第十七周浓度问题
专题简析:
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。
我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液,糖+水）二者质量的比值决定的。
这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。
类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。
因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，
溶质质量溶质质量浓度,×100,,100,溶液质量溶质质量+溶剂质量
解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。
在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。
要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。
例题1。
有含糖量为7,的糖水600克，要使其含糖量加大到10,，需要再加入多少克糖,
【思路导航】根据题意，在7,的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的
质量并没有改变。
因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖
水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量:
600×（1,7,）,558（克）
现在糖水的质量:
558?
（1,10,）,620（克）
加入糖的质量:
620,600,20（克）
答:
需要加入20克糖。
练习1
1、现在有浓度为20,的糖水300克，要把它变成浓度为40,的糖水，需要加糖多少克,
2、有含盐15,的盐水20千克，要使盐水的浓度为20,，需加盐多少千克,
3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。
第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，
第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多,
例题2。
一种35,的新农药，如稀释到1.75,时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35,的农药加多少千克水，才能配成1.75,的农药800千克,
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。
在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。
这是解这类问题的关键。
800千克1.75,的农药含纯农药的质量为
800×1.75,,14（千克）
含14千克纯农药的35,的农药质量为
14?
35,,40（千克）
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为
800,40,760（千克）
答:
用40千克的浓度为35,的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75,的农药800千克。
练习2
1、用含氨0.15,的氨水进行油菜追肥。
现有含氨16,的氨水30千克，配置时需加水多少千克,
2、仓库运来含水量为90,的一种水果100千克。
一星期后再测，发现含水量降低到80,。
现在这批水果的质量是多少千
克,
3、一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满;再倒出5升，再用水加满。
这时容器内溶液的浓度是多少,
例题3。
现有浓度为10,的盐水20千克。
再加入多少千克浓度为30,的盐水，可以得到浓度为22,的盐水,
【思路导航】这是一个溶液混合问题。
混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。
所以，混
合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。
20千克10,的盐水中含盐的质量
20×10,,2（千克）
混合成22,时，20千克溶液中含盐的质量
20×22,,404（千克）
需加30,盐水溶液的质量
（4.4,2）?
（30,,22,）,30（千克）
答:
需加入30千克浓度为30,的盐水，可以得到浓度为22,的盐水。
练习3
1、在100千克浓度为50,的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5,的硫酸溶液就可以配制成25,的硫酸溶液,
2、浓度为70,的酒精溶液500克与浓度为50,的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少,
3、在20,的盐水中加入10千克水，浓度为15,。
再加入多少千克盐，浓度为25,,
例题4。
将20,的盐水与5,的盐水混合，配成15,的盐水600克，需要20,的盐水和5,的盐水各多少克,
【思路导航】根据题意，将20,的盐水与5,的盐水混合配成15,的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐
水中盐的质量是相等的。
可根据这一数量间的相等关系列方程解答。
解:
设20,的盐水需x克，则5,的盐水为600,x克，那么
20,x+（600,x）×5,,600×15,
X,400
600,400,200（克）
答:
需要20,的盐水400克，5,的盐水200克。
练习4
1、两种钢分别含镍5,和40,，要得到140吨含镍30,的钢，需要含镍5,的钢和含镍
40,的钢各多少吨,
2、甲、乙两种酒各含酒精75,和55,，要配制含酒精65,的酒3000克，应当从这两种酒中各取多少克,
3、甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为40,;乙桶有糖水40千克，含糖率为20,。
要使两桶糖水
的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克,
例题5。
甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。
把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中。
现在丙管中的盐水的质量分数为0.5,。
最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少,
【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。
根据题意，可求出现在丙管中盐的质
量。
又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐是从10克盐水中的乙管里取出的。
由此可求出乙管里30克盐
水中盐的质量。
而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克盐水中盐的质量。
而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量:
（30+10）×0.5,,02（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量:
0.2×【（20+10）?
10】,0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量:
0.6×【（10+10）?
10】,1.2（克）
1.2?
10,12,
答:
最早倒入甲管中的盐水质量分数是12,。
练习5
1、从装满100克80,的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加
满。
如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少,
2、甲容器中又8,的盐水300克，乙容器中有12.5,的盐水120克。
往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器
中盐水的浓度一样。
每个容器应倒入多少克水,
3、甲种酒含纯酒精40,，乙种酒含纯酒精36,，丙种酒含纯酒精35,。
将三种酒混在一起得到含酒精38.5,的酒11
千克。
已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克,
第十八周面积计算
（一）
专题简析:
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。
这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
例题1。
2已知图18,1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE,ED，BD=BC，求阴影部分的面积。
3
18,D1
18,1C
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S?
AEF=S?
EDF（等
底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
2因为BC，所以S?
BDF,2S?
DCF。
又因为AE,ED，所以S?
ABF,S?
BDF,2S?
DCF。
3
因此，S?
ABC,5S?
DCF。
由于S?
ABC,8平方厘米，所以S?
DCF,8?
5,1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2,3.2（平方厘米）。
练习1
1、如图18,2所示，AE,ED，BC=3BD，S?
ABC,30平方厘米。
求阴影部分的面积。
12、如图18,3所示，AE=ED，DC,BD，S?
ABC,21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3
13、如图18,4所示，DEAE，BD,2DC，S?
EBD,5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
2
CBD
DC18,
4D
18,
2
例题2。
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18,5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少,
CB
18,
5
练习2
1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图18,6所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积
是多少,
12、已知AO,OC，求梯形ABCD的面积（如图18,7所示）。
3
3、已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
（如图18,8所示）。
CC18,7
18,6
例题3。
四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如
D
图18,9所示）。
B
C【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。
同理，三角18,9形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD
的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3,45（平方厘米）
答:
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3
1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面
积（如图18,10）。
2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如
图18,11所示）。
3、如图18,12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
E
CCB18,1218,1118,10
例题4。
如图18,13所示，BO,2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米,
B
【思路导航】因为BO,2DO，取BO中点E，连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S?
DBC,S?
CDA;S?
COB
S?
DOA,4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S?
CDO,4?
2,2（平方厘米）S?
DAB,4×3,12平方厘米
S梯形ABCD,12+4+2,18（平方厘米）
答:
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4
1、如图18,14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC,2AO。
求梯形面积。
2、已知OC,2AO，S?
BOC,14平方厘米。
求梯形的面积（如图18,15所示）。
3、已知S?
AOB,6平方厘米。
OC,3AO，求梯形的面积（如图18,16所示）。
BBB18,1518,14所示，长方形如图18,17ADEF的面积是16，三角形ADB的面积
是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的
面积。
FFA
CC
DB18,
17
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出:
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16?
2）,8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理，
用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，
而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5?
2,2.5，所以，三角
形ABC的面积为16,3,4,2.5,6.5。
练习5
1、如图18,18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7
平方厘米，求三角形AEF的面积。
2、如图18,19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S?
ABE,4平方厘米，S?
AFD,6平方厘米，求三角形AEF的
面积。
3、如图18,20所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF
的面积。
ADD
F
CE18,1918,20
18,18
第十九周面积计算
（二）
专题简析:
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
例题1。
求图中阴影部分的面积（单位:
厘米）。
66
19,1
1【思路导航】如图19,1所示的特点，阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
4
162×3.14×,28.26（平方厘米）4
答:
阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1
求下面各个图形中阴影部分的面积（单位:
厘米）。
19,2
19,
3
19,4
例题2。
求图19,5中阴影部分的面积（单位:
厘米）。
4
19,619,5
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图19,6所示），
从图中可以看出阴影部分的面积等
于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
13.14×42,4×4?
2?
2,8.56（平方厘米）4
答:
阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2
计算下面图形中阴影部分的面积（单位:
厘米）。
19,819,7
例题3。
19,
9
如图19,10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形
ABO1O的面积。
19,10
【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。
又因为图中两个阴
影部分的面积相等，所以扇形的
面积等于长方形面积的一半（如图19,10右图所示）。
所以
13.14×12×2,1.57（平方厘米）4
答:
长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3
1、如图19,11所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分
（1）的面积与阴影部分
（2）
的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
C
BCD
19,1219,1119,13
2、如图19,12所示，直径BC,8厘米，AB,AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。
3、如图19,13所示，AB,BC,8厘米，求阴影部分的面积。
例题4。
如图19,14所示，求阴影部分的面积（单位:
厘米）。
6
B419,14
【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面
积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。
6×4,24（平方厘米）
答:
阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4
1、如图19,15所示，求四边形ABCD的面积。
2、如图19,16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。
求CD的长度。
3、图19,17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位:
厘米）。
4030BAE512019
1619,1719,15例题5。
如图19,18所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，
?
ABC,30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
D
B
19,18
【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径:
4?
2,2（
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