数学建模课件最小二乘法拟合.docx
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数学建模课件最小二乘法拟合
数学建模课件--最小二乘法拟合
4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a和b误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。
显然，关键是如何求出最佳的a和b。
（1）求回归直线设直线方程的表达式为：
bxay（2-6-1）要根据测量数据求出最佳的a和b。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
ydyd111bxa222bxannnbxayd显然最好测量点都在直线上（即d1=d2==dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、、dn为最小，也就是考虑d1+d2++dn为最小，但因d1、d2、、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+|d2|++|dn|又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：
当d1对a和b为最小时，d1、d2、、dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。
令inidD12＝2112i][iininibaydD（2-6-2）D对a和b分别求一阶偏导数为：
][211iininixbnayaD数学建模27][21211iiinininiixbxayxbD再求二阶偏导数为：
naD222；inixbD21222显然：
0222naD；021222inixbD满足最小值条件，令一阶偏导数为零：
011iininixbnay（2-6-3）01211iiinininiixbxayx（2-6-4）引入平均值：
inixnx11；iniyny11；inixnx1221；iniiyxnxy11则：
0xbay02xbxaxy（2-6-5）解得：
xbya（2-6-6）22xxyxxyb（2-6-7）将a、b值带入线性方程bxay，即得到回归直线方程。
（2）y、a、b的标准差在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差（n6）如下：
2）（21212iiinabxyndniiny（2-6-8）（根式的分母为n-2,是因为有两个变量）yyniiniiniiaxxnxxxnx）2（）（22211212（2-6-9）yyniiniibxxnxxnn）2
（1）（22112（2-6-10）（3）相关系数相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：
））（（2222yyxxyxxyr（2-6-11）r值在0|r|1中。
|r|越接近于1，x、y之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。
|r|接近于0，则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|r0时，测量数据是非线性的．r0称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-６-2表2-6-2相关系数起码值r0nr0nr0nr031.00090.798150.64140.990100.765160.62350.959110.735170.60660.917120.708180.59070.874130.684190.57580.834140.661200.561在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|r0，则x和y具有数学建模29线性关系，可求回归直线；否则反之。
例9：
灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为gisRUdRKRR12测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达式。
解：
测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：
2RyUxdRKRbis1gRa数据处理如表2-6-3：
表2-6-3Rs＝0.100R1＝4350.0d＝40.0mmi12345678平均值R2（）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.561.6712522R（1042）16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2（V2）7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U（102V）11.38.726.454.553.021.770.840.284.615625中间过程可多取位：
x＝1.67125y＝225.02x＝3.346252y＝6.375104xy＝461.5625相关系数998.0））（（2222yyxxyxxyr查表得知，当n=8时，r0=0.834，两者比较rr0，说明x、y（即U、R2）之间线性相关，可以求回归直线。
求回归方程的系数22xxyxxyb＝154.6192304xbya＝-33.4代换aRg＝33.4bdRKRiis＝154.6192304Ki＝dbRRis＝3.717010-9A/mm计算标准差为：
y＝2.64561902；a＝2.300545589；b＝1.257626418计算不确定度：
Rg＝a＝2；KKi＝bb＝0.81％；K＝0.0310－9A/mm测量结果表达式电流计内阻：
Rg＝（332）ggRR＝6.1％电流常数：
K＝（3.720.03）10－9A/mmKKi＝0.81％回归方程：
R2＝155U－335.计算器在数据处理中的应用在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORASC180型计算器为例作以介绍。
（1）计算标准偏差S①标准偏差S的计算器运行公式：
12）（1112112i12iiiinxxxxxxnsnninni因为inixnx11数学建模31所以1）（2112iiinnxxsnin（只有为xi单变量）②操作步骤和方法（ⅰ）按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示STAT1指示符。
（ⅱ）清除内存数据：
按[INV][ON/C.CE]键。
（ⅲ）数据输入：
依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏幕均会显示数据的个数n值。
（ⅳ）数据修正：
按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。
（ⅴ）取分析结果：
[INV][x]：
平均值[INV][x]：
数据和[INV][x2]:
数据平方和[INV][S]：
测量列的标准偏差[INV][n]：
数据个数例10：
一组等精度测量值为：
83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，试求x、x、x2、S、n。
解：
按键显示[MODE][0]ST10[INV][ON/C.CE]083.1[DATA]n183.3[DATA]n283.3[DATA]n383.7[DATA]n483.9[DATA]n583.6[DATA]n683.4[DATA]n783.4[DATA]n883.1[DATA]n983.2[DATA]n10[INV][x][INV][x][INV][x[INV][S]83.48342]69556.220.262466929[INV][n]10注：
当n6时，认为＝S。
（2）最小二乘法求回归直线①求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式由（2-6-6）、（2-6-7）、（2-6-11）式得到以下只含xi、yi两个变量的公式：
nxbyaniinii11iiniiininiiininixnxyxnyxb1221111）（]）（][）（[1212i2112i111iiiiiiinnininnininiiyynxxnyxyxnr②操作步骤和方法：
（ⅰ）按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示STAT2指示符。
（ⅱ）清除内存数据：
按[INV][ON/C.CE]键（ⅲ）双变量数据输入：
先键入x的值、按[a]键，然后键入y的值、按[b]键，再按[DATA]键，完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数，即n值。
（ⅳ）数据修正：
同单变量数据输入。
（ⅴ）取分析结果[INV][a]：
回归直线的截距数学建模33[INV][b]：
回归直线的斜率[INV][r]：
相关系数还可以取以下值：
[INV][x]、[INV][y]、[INV][x]、[INV][x2]、[INV][y]、[INV][y（计算器没有该三项的计算程序）。
2]、[INV][xy]，以便计算y、a、b例11：
灵敏电流计实验所测数据如下：
RS＝0.100R1＝4350.0d＝40.0mmR2（）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数Ki和内阻Rg。
解：
测量公式gisRUdRKRR12与线性方程表达式y＝a+bx比较y＝R2x＝U，则：
按键显示[MODE][.]ST20[INV][ON/C.CE]02.82{a}400.0[b][DATA]n12.49[a]350.0[b][DATA]n22.15[a]300.0[b][DATA]n31.82[a]250.0[b][DATA]n41.51[a]200.0[b][DATA]n51.18[a]150.0[b][DATA]n60.84[a]100.0[b][DATA]n70.56[a]50.0[b][DATA]n8[INV][a]a-32.12335698[INV][b]b153.8509241[INV][r]r0.9998323336查表知道，当n＝8时，r0＝0.834，rr0，说明U、R2之间线性相关。
得到：
回归方程R2＝154U－32电流计内阻Rg＝32电流常数K＝3.7410－9A/mm习题1．指出下列测量结果的有效数字：
（1）I＝5010mA
（2）C＝2.99792458108m/s2．按四舍五入修约法，将下列数据只保留3位有效数字：
（1）1.005
（2）979.499（3）980.501（4）6.275（5）3.1343．单位变换：
（1）m＝3.1620.002kg＝g＝mg＝T
（2）＝（59.80.1）＝（）ˊ（3）L＝98.960.04cm＝m＝mm＝m4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：
（1）Y＝（1.9610
（2）L＝（160000100）m5．按有效数字运算规则计算下列各式：
（1）10003＋3.2＝（3）tg30115.78109）N/m2-5＝
（2）3.21005ˊ＝（4）125.100325.100125.100325.100＋＝（5）R1＝5.10k，R2＝5.1010R＝R1+R2+R3＝（6）L＝1.674m-8.00cm＝2，R3＝51。
求：
数学建模356．求下列公式的不确定度：
（1）hdm24
（2）N＝223yx（3）L＝h+3d（4）Z＝yxyx7．用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L，测得数据为：
98.98cm、98.96cm、98.97cm、98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，试求L、L，并写出测量结果表达式LL。
8．测量出一个铅圆柱体的直径为d＝（2.0400.001）cm，高度为h＝（4.1200.001）cm,质量为m＝（149.100.05）g，试计算、，并表示测量结果。
9．某同学测量弹簧倔强系数的数据如下：
F（g）2.004.006.008.0010.0012.0014.00y（cm）6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F为弹簧所受的作用力，y为弹簧的长度，已知y-y0＝（k1）F，试用作图法求弹簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y0。
10．用伏安法测电阻时，测出的数据如下，试求回归直线，并求出测量结果R值。
I（mA）2.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.0020.00U（V）1.002.013.054.005.015.996.988.009.009.9611.用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量，测得数据如下：
R（）：
12.0612.1012.1212.1512.1612.1712.1912.2112.2212.2512.2612.3512.4212.83试用3准则判断该测量列中是否有坏值，计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差，正确表达测量结果。
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