中考数学复习二次函数的应用专题导学案.docx

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中考数学复习二次函数的应用专题导学案

中考数学复习二次函数的应用专题导学案

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

探究型．

分析：

先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．

2．（2012滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

分析：

令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．

点评：

此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．

3．（2012济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．

分析：

10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．

点评：

本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．

4．（2012菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/件）…2030405060…

每天销售量（y件）…500400300200100…

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

最大利润是多少？

（利润=销售总价-成本总价）

（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

分析：

（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；

（2）根据利润=销售总价-成本总价，由

（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；

（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．

点评：

此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．

5．（2012青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

分析：

（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；

（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；

（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．

点评：

此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．

6．（2012聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

分析：

（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，

（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．

（3）结合

（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.

点评：

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．

【备考真题过关】

一、选择题

2．（2012湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

A．B．C．3D．4

分析：

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

点评：

本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．

3．（2012宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（　　）

A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

考点：

抛物线与x轴的交点．分析：

根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．

点评：

此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．

4．（2012资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

A．-1＜x＜5B．x＞5C．x＜-1且x＞5D．x＜-1或x＞5

5．（2012义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：

当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：

①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；

③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①④C．②③D．③④

分析：

利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．

点评：

此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．

6．（2012大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

分析：

抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．

点评：

考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．

1．（2012镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1

点：

抛物线与x轴的交点。

专题：

探究型。

分析：

先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x轴的交点是解答此题的关键．

2．（2012泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）

　A．﹣3B．3C．﹣6D．9

考点：

抛物线与x轴的交点。

专题：

探究型。

分析：

先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．

3．（2012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

考点：

抛物线与x轴的交点。

810360

专题：

推理填空题。

分析：

整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．

二、填空题

7．（2012深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是．

分析：

利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．

点评：

本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．

8．（2012无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为．

三、解答题

9．（2012杭州）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？

请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

考点：

二次函数的最值．专题：

分类讨论．

分析：

当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．

10．（2012徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．

考点：

待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．

分析：

（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；

（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；

（3）采用列表、描点法画出图象即可．

（3）列表如下：

x…01234…

y…30-103…

描点作图如下：

点评：

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握．

11．（2012佛山）

（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

①y随x变化的部分数值规律如下表：

x-10123

y03430

②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；

③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．

（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．

分析：

（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；

（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．

12．（2012兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：

x1+x2=，x1x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：

AB=|x1-x2|===；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．

考点：

抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

点评：

本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．

13．（2012武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：

米）随时间t（单位：

时）的变化满足函数关系h=（t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：

在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

分析：

（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．

点评：

考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合

（1）得到h的最大高度．

14．（2012无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

分析：

（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；

（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．．（2012黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？

（其它销售条件不变）

分析：

（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式；

（3）由

（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．

点评：

本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．

16．（2012河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：

cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：

元）与它的面积（单位：

cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：

元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长（cm）2030

出厂价（元/张）5070

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；

（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），

①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？

最大利润是多少？

参考公式：

抛物线：

y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）

分析：

（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；

（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：

p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；

②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

点评：

本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．

17．（2012资阳）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PAPB=，求点M的坐标．

分析：

（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；

（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由

（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PAPB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．

点评：

考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PAPB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．

18．（2012株洲）如图，一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？

最大值是多少？

（3）在

（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

分析：

（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；

（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．

点评：

本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．

19．（2012漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？

若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；

（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；

（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标.

点评：

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．