中考数学专项复习12《二次函数的应用》练习无答案 浙教版.docx

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中考数学专项复习12《二次函数的应用》练习无答案浙教版

二次函数的应用（12）

一、解答题

1．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（

，

），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．

（1）若点P（2，m）是反比例函数y=

（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？

若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+

，试求出t的取值范围．

2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣

x2+

x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣

x2+

x+2的图象相交于点D，E．

（1）写出点A，点B的坐标；

（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；

（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求a，b的值；

（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，

求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3

）在

（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点

Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（6，0），C（﹣4，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴，y轴正半轴向点A、点B方向移动，当点D运动到点A时，点D、E同时停止移动．过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，交AB于点G，作点E关于直线DF的对称点E′，连接FE′，射线DE′交AB于点H．设运动时间为t秒．

①t为何值时点E′恰好在抛物线上，并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积；

②点P是平面内任意一点，若点D在运动过程中的某一时刻，形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形，那么请直接写出点P的坐标．

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．

（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；

（3）在由

（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣

），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：

①求点F的坐标；

②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

6．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，

）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

7．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的

顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ=4．

（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；

（2）小丽发现：

将抛物线y

=﹣x2+2nx﹣n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？

请说明理由；

（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列），

=

．

①写出C点的坐标：

C（　　，　　）（坐标用含有t的代数式表示）；

②若点C在题

（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．

9．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由．

10．如图，已知抛物线y=﹣

+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

①求证：

四边形DECF是矩形；

②连接EF，线段EF的长是否存在最小值？

若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

11．已知：

函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．

（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2．

①求抛物线的解析式；

②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

12．对某一个函数给出如下定义：

若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数y=

（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？

若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足

≤t≤1？

13．如图1，P（m，n）是抛物线y=

﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

【探究】

（1）填空：

当m=0时，OP=　　，PH=　　；当m=4时，OP=　　，PH=　　；

【证明】

（2）对任意m，n，猜想OP与PH

的大小关系，并证明你的猜想．

【应用】

（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=

﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

14．在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x2+bx+c过点A（4，0），B（1，﹣3）．

（1）求b，c的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）设抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点，点

E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称，若四边形OAPF的面积为48，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，设M是直线l上任意一点，试判断MP+MA是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

16．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，﹣

），M是OA的中点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求P点的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的

上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？

若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

17．如图，平行四边形ABCO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．

（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，

），将直线OC

沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．

18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

19．已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）．

（1）求此二次函数关系式；

（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OG∥BE．

20．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，G、H，O九个格点．抛物线l的解析式为y=（﹣1）nx2+bx+c（n为整数）．

（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；

（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；

（3）若l经过

这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．