中考数学专项复习11《二次函数的应用》练习 浙.docx

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中考数学专项复习11《二次函数的应用》练习浙

二次函数的应用（11）

一、选择题

1．如图，已知抛物线y1=﹣x2+1，直线y2=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：

当x=2时，y1=﹣3，y2=﹣1，y1＜y2，此时M=﹣3．下列判断中：

①当x＜0时，M=y1；

②当x＞0时，M随x的增大而增大；

③使得M大

于1的x值不存在；

④使得M=

的值是﹣

或

，

其中正确的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题2．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=

（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则

=　　．

三、解答题

3．如图

（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．

（1）抛物线的解析式是　　；

（2）如图

（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（3）在

（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？

若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．

4．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？

若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

5．如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（﹣2，﹣4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x轴于点D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于

△ABC的面积？

若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说

明理由．[提示：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣

，顶点坐标为（﹣

，

）]．

6．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线l的解析式为y=

x2+bx+c．

（1）若l经过点O（0，0）和B

（1，0），则b=　　，c=　　；它还经过的另一格点的坐标为　　．

（2）若l经过点H（﹣1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．

（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．

7．如图，抛物线y=

x2﹣

x﹣4与x轴交于点A和点B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，⊙O′是△ABC的外接圆，AB是⊙O′的直径，过点C作⊙O′的切线与x轴交于点F，过点A作AD⊥CF于点D．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得S△ACP=S△ACO？

若存在，直接写出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0，

），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣

x2+bx+c经过点A和点C

（1）求b，c的值；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

（3）点P是

线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：

当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB=

S△ABC时，求点P的坐标；

（3）若点N由点B出发，以每秒

个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，

秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．

10．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．

（1）求抛物线及直线AC的解析式；

（2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；

（3）点M（m，﹣3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？

如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点

（1）求抛物线解析式；

（2）F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE=

，求点O到直线AF的距离；

（3）点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？

若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，已知直线y=

﹣x与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交于点A、O，O是坐标原点，OA=3

，点P为二次函数图象的顶点，点B是AP的中点．

（1）求点A的坐标和二次函数的解析式；

（2）求线段OB的长；

（3）射线OB上是否存在点M，使得△AOM与△AOP相似？

若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）

两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC

（1）直接写出该抛物线的解析式

（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．

①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值

②当﹣1≤m≤2时，试探求：

是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？

若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．

14．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．

（1）求tan∠DBC的值；

（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

15．如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．

（1）当a=﹣1时，①求图象F1的顶点坐标；②点H（2014，﹣3）　　（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn对应的解析式为　　，其自变量x的取值范围为　　．

（2）设图象Fn、Fn+1的顶点分别为Tn、Tn+1（n为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：

当a为何值时，以O、Tn、Tn+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？

并直接写出此时n的值．

16．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在

（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2

DQ，求点F的坐标．

17．如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？

若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

18．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：

BC=3：

1．

（1）求点A的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

19．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①试猜想PN与PM的数量关

系，并说明理由；

②在①的前提下，连结MN，设OM=m．△MPN的面积为S，求S的最大值．

20．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒

个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？

若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；

（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

22．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；

（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为

≤y≤

？

若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=

x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连

接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；

（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

25．如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣

x+3与抛物线y=ax2+

x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，

点B在y轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标；

（3）如图2，点E为线段

AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数

关系式，并写出自变量t的取值范围．

26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；

（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．

①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；

②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；

③过点M的一次函数y=﹣

x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？

④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：

顶点的横、纵坐标是变量吗？

纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣

x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C

（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？

若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？

若不存在，请说明理由．

28．如图，已知点D在双曲线y=

（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．

（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；

（2）证明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，

△PCQ为等边三角形

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点P的坐标；

（3）求证：

CE=EF；

（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？

若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：

3+2

=（

+1）2]．

30．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（

，

）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．