高考数学二轮复习 专题19 不等式选讲讲学案 理.docx

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高考数学二轮复习专题19不等式选讲讲学案理

专题19不等式选讲

预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.

一、含有绝对值不等式的解法

1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法

（1）若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.

（2）若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.

2.|x－a|＋|x－b|≥c（c>0），|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.

（1）零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.

（2）利用绝对值的几何意义

由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0）或|x－a|－|x－b|>c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.

3.|f（x）|>g（x），|f（x）|0）型不等式的解法

（1）|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<－g（x）.

（2）|f（x）|

二、不等式的证明

1.证明不等式的常用结论

（1）绝对值的三角不等式

定理1：

若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.

定理2：

设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立.

推论1：

||a|－|b||≤|a＋b|.

推论2：

||a|－|b||≤|a－b|.

（2）三个正数的算术—几何平均不等式：

如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立.

（3）基本不等式（基本不等式的推广）：

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥，并且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立.

（4）一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则（a＋a＋…＋a）·（b＋b＋…＋b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，并且仅当bi＝0（i＝1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1，2，…，n）时，等号成立.

2.证明不等式的常用方法

（1）比较法

一般步骤：

作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.

（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.

（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.

（4）反证法和放缩法

①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.

②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.

考点一　解绝对值不等式

例1．【2017课标3，文23】已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）

【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：

不等式选讲

已知函数.

（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）

（2015·重庆，16）若函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

【答案】4或－6

【解析】由绝对值的性质知f（x）的最小值在x＝－1或x＝a时取得，若f（－1）＝2|－1－a|＝5，a＝或a＝－，经检验均不合适；若f（a）＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.

【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．

【答案】{x|x≤－3或x≥2}

考点二　不等式的证明

例2．【2017课标II，文23】已知。

证明：

（1）；

（2）。

【答案】

（1）证明略；

（2）证明略。

【解析】

解：

（2）因为

所以，因此

【变式探究】【2016高考新课标2文数】选修4—5：

不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

当时，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

由

（1）得＋＞＋.

②若＋＞＋，则（＋）2＞（＋）2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.

因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是

（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＜（c＋d）2－4cd＝（c－d）2.

因此|a－b|＜|c－d|.

综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．

【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an

1.【2017课标1，文23】已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

2.【2017课标II，文23】已知。

证明：

（1）；

（2）。

【答案】

（1）证明略；

（2）证明略。

【解析】

3.【2017课标3，文23】已知函数=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式≥1的解集；

（2）若不等式≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）

1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：

不等式选讲

已知函数.

（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

【答案】（I）见解析（II）

2.【2016高考新课标2文数】选修4—5：

不等式选讲

已知函数，为不等式的解集．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：

当时，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

3.【2016高考新课标3文数】选修4-5：

不等式选讲

已知函数．

（I）当时，求不等式的解集；

（II）设函数．当时，，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）当时，.

解不等式得.

因此的解集为.

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，所以当时，等价于

.①

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

1．（2015·陕西，24）已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．

（1）求实数a，b的值；

（2）求＋的最大值．

2．（2015·新课标全国Ⅰ，24）已知函数f（x）＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，f（x）>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

1.【2014高考安徽卷文第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（）

A.5或8B.或5C.或D.或8

【答案】D

【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.

2.【2014陕西高考文第15题】设，且，则的最小值为

【答案】

【解析】由柯西不等式得：

，所以，得

所以，故答案为。

3.【2014高考广东卷文第9题】不等式的解集为.

【答案】.

4.【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则________.

【答案】-3

【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,

即,故填.

5.【2014江西高考文第11题】对任意,的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

6.【2014重庆高考文第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】令，其图象如下所示（图中的实线部分）

由图可知：

由题意得：

，解这得:

所以答案应填：

7.【2014高考福建文第21（3）题】已知定义在R上的函数的最小值为.

（I）求的值；

（II）若为正实数，且，求证：

.

【答案】（I）;（II）参考解析

（II）由（I）知,又因为是正数,所以

即.

9.【2014高考江苏第21题】已知，证明

【答案】证明见解析.

【解析】

∵，∴,,

∴.

10.【2014高考江苏第21B题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.

【答案】

【解析】

由题意得，解得.∴.

11.【2014高考辽宁文第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）当时，证明：

.

【答案】

（1）；

（2）详见解析.

【解析】

故.

当时，，于是

.

12.【2014高考全国1第24题】若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？

并说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．

【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．

（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．

13.【2014高考全国2第24题】设函数=

（Ⅰ）证明：

2；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

【答案】

（1）见解析

（2）

【解析】

（1）证明：

由绝对值不等式的几何意义可知：

，当且仅当时，取等号，所

（2013·新课标I理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）=x+3.

（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围.

【答案】

【解析】

（1）构造函数，作出函数图像，观察可知结论；

（2）利用分离参数法进行求解.

（2013·陕西理）A.（不等式选做题）已知a,b,m,n均为正数,且a＋b＝1,mn＝2,则（am＋bn）（bm＋an）的最小值