高考数学试题惠州市届高三第一次高考模拟考试理.docx
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高考数学试题惠州市届高三第一次高考模拟考试理
惠州市2018届高三第一次高考模拟考试
数学试题（理科）（2018年4月）
（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8题,每小题5分,共40分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．复数的虚部是
．．．．1
2．对于非零向量，“”是“”成立的
．充分不必要条件．必要不充分条件
．充分必要条件．既不充分也不必要条件
3．集合，，则下列结论正确的是
．．
．．
4．已知双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是
．．．．
5．已知是两条直线，是两个平面，给出下列命题：
若，则；若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；若为异面直线，则．其中正确命题的个数是
．个．个．个．个
6．在平面直角坐标系中，矩形，，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为
．．．．
7．已知等比数列中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比则等于
．．．．
8．某饮料厂搞促销，公开承诺，“凡购买本厂的某种饮料的顾客可用3只空罐换一罐饮料。
”如：
若购买10罐饮料，实际可饮用14罐饮料；若需饮用10罐，应购买7罐；（注：
不能借他人的空罐）；若购买100罐饮料，实际可饮用罐饮料；若需饮用100罐，应购买罐。
则（,）为
．．．．
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：
第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．函数的定义域为．
10．下表是某工厂10个车间2018年2月份产量的统计表，1到10车间的产量依次记为
（如：
表示2号车间的产量为900件）．
右图是统计下表中产量在一定范围内车间个数的一个
算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．
车间
1
2
3
4
5
产量
1100
900
950
850
1500
车间
6
7
8
9
10
产量
810
970
900
830
1300
11．已知的斜二测直观图是边长
为2的等边，那么原的面积为．
12．的展开式中的系数为，则实数的值为．
13．．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，的割线
交于两点，割线经过圆心，已知，
，，则的半径是 ．
三、解答题（本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系下，已知，，，．
（1）求的表达式和最小正周期；
（2）当时，求的值域。
17．（本小题满分12分）
袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数。
（1）求随机变量的概率分布列；
（2）求随机变量的数学期望与方差。
18．（本小题满分14分）
已知斜三棱柱的底面是直角三角形，
，侧棱与底面所成角为，点在底
面上的射影落在上．
（1）求证：
平面；
（2）若，且当时，
求二面角的大小。
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为，且焦点在轴上。
若右焦点到直线的距离
为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：
……．
21．（本小题满分14分）
已知数列中，，对于任意的，有
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：
……，
求数列的通项公式；
（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。
惠州市2018届高三第一次高考模拟考试
数学试题（理科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
B
D
A
C
1．【解析】，复数的虚部是。
故选A。
2．【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“”成立的必要不充分条件。
故选B。
3．【解析】。
故选。
4．【解析】焦点是，双曲线的半焦距，又虚半轴
又，双曲线渐近线的方程是。
故选。
5．【解析】显然正确；三点在平面的异侧，则相交；正确。
故选。
6．【解析】当落在时折痕所在直线的斜率为；当落在时折痕所在直线的斜率为。
故选。
7．【解析】设公差为，
解得，。
故选。
8．【解析】，。
故选。
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案
5
3
（或）
8
9．【解析】。
答案：
。
10．【解析】答案：
5。
11．【解析】如图：
在中，由正弦定理得：
.
答案：
.
12．【解析】因为，
。
答案：
.
13．【解析】画（）图象，求面积。
答案：
3.
14．【解析】化为直角坐标去做。
答案：
（或）。
15．【解析】设⊙O的半径是，。
16．解：
（1），…………1分
∴,
∴,…………6分
∴的最小正周期为,…………8分
（2）∵∴∴．
∴．所以函数的值域是.…………12分
17．解：
（1）随机变量可取的值为．
；
得随机变量的概率分布律为：
2
3
4
…………8分
（2）随机变量的数学期望为：
；…………10分
随机变量的方差为：
.……12分
18．解：
（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，
平面，∴又∵∴，，
∴平面．…………4分
（2）以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，
．显然，平面的法向量．…………7分
设平面的法向量为，
由，即，
…………12分
∴，
∴二面角的大小是．…………14分
（注：
其它解法可酌情给分）
19．解：
（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，
由题设，解得，……………………4分
故所求椭圆的方程为。
……………………5分
（1）设，P为弦MN的中点，
由得，直线与椭圆相交，
，①…………8分
，从而，
，又，则：
，即，②…………………………10分
把②代入①得，解得，…………………………12分
由②得，解得．……………………………………13分
综上求得的取值范围是．……………………………………14分
20．解：
（1）由得，，所以．
由得，∴的单调递增区间是；
由得，∴的单调递减区间是．…………4分
（2）由可知是偶函数．于是对任意恒成立，
等价于对任意恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，由得，设，则
由得．
当时，，是递减函数；
当时，，是递增函数；∴，∴．
综合上可得，实数的取值范围是．…………9分
（3），．显然，．
∴，
∴，，…………，．
由此得，……．
故…．…………14分
21．解：
（1）取，则 ∴（）
∴是公差为，首项为的等差数列∴ …………4分
（2）∵①
∴ ②
①-②得：
∴…………6分
当时， ∴，满足上式∴…………8分
（3） 假设存在，使
．
．．
当为正偶函数时，恒成立，
∴．∴…………11分
当为正奇数时，恒成立．∴
∴．∴．
综上可知，存在实数，使时，恒成立．…………14分
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