初中人教版数学勾股定理经典题型分析报告.docx

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初中人教版数学勾股定理经典题型分析报告

勾股定理经典题型分析

类型一：

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:

写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：

（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13,CD=12

∴AC2=AD2－CD2

=132－122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2

=52－32

=16

∴AB=4

∴AB的长是4.

类型二：

勾股定理的构造应用

2、如图，已知：

在中，，，.求：

BC的长.

思路点拨：

由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

解析：

作于D，则因，

∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

.

根据勾股定理，在中，

.

∴.

举一反三【变式1】如图，已知：

，，于P.求证：

.

解析：

连结BM，根据勾股定理，在中，

.

而在中，则根据勾股定理有

.

∴

又∵（已知），

∴.

在中，根据勾股定理有

，

∴.

【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：

延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°

方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达

目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：

（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：

BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

解：

OC＝1米（大门宽度一半），

OD＝0.8米（卡车宽度一半）

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：

解答本题的思路是：

最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

解析：

设正方形的边长为1，则图

（1）、图

（2）中的总线路长分别为

AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3

图（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴图（3）中的路线长为

图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此图中总线路的长为4EA+EF＝

3＞2.828>2.732

∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得

（提问：

勾股定理）

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：

最短路程约为１０．７７cm．

类型四：

利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

思路点拨：

由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：

如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；

（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。

斜边为；

（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是

、、、。

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：

可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：

如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：

猫有四只脚．（正确）

2．原命题：

对顶角相等（正确）

3．原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

思路点拨：

掌握原命题与逆命题的关系。

解析：

1.逆命题：

有四只脚的是猫（不正确）

2.逆命题：

相等的角是对顶角（不正确）

3.逆命题：

到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）

4.逆命题：

到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

总结升华：

本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

思路点拨：

要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解析：

由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。

∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】：

连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.

分析:

本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:

a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?

请说明。

【答案】答：

DE⊥EF。

证明：

设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,

∴FE⊥DE。

经典例题精析

类型一：

勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：

4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：

设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化简得x2＝16；

∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96

总结升华：

直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：

BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）

∴BD＝1

在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：

AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3

∴AD＝

S△ABC＝BC·AD＝

注：

等边三角形面积公式：

若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由

（1）得：

x+y＝7，

（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49（3）

（3）－

（2），得：

xy＝12

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：

首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：

此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2

化简得：

n2＝4

∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

总结升华：

注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）