数学建模大赛货物运输问题.docx
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数学建模大赛货物运输问题
货物配送问题
【摘要】
本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。
我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下,所需要的运输的最小运输次数,然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则,提出了较为合理的优化模型,求出较为优化的调配方案。
针对问题一,我们在两个大的方面进行分析与优化。
第一方面是对车次安排的优化分析,得出①~④公司顺时针送货,⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。
第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤,第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司,第二步采用分批次运输的方案,即在第一批次运输中,我们使A材料有优先运输权;在第二批次运输中,我们使B材料有优先运输权;在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时最少、费用最少的方案。
耗时为40.5007小时,费用为4685.6元。
针对问题二,加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同,只是空载路径不同。
我们采取与问题一相同的算法,得出耗时最少,费用最少的方案。
耗时为26.063小时,费用为4374.4元。
针对问题三的第一小问,我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。
我们经过简单的论证,排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向,所以认为车辆可以掉头。
然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货,⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
最后在满足公司需求量的条件下,采用不同吨位满载运输方案,此方案分为三个步骤:
第一,使8吨车次满载并运往同一公司;第二,6吨位车次满载并运往同一公司;第三,剩下的货物若在1~6吨内,则用6吨货车运输,若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时最少、费用最省的方案。
耗时为19.6844小时,费用为4403.2。
一、问题重述
某地区有8个公司(如图一编号①至⑧),某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图1)。
货运公司现有一种载重6吨的运输车,派车有固定成本20元/辆,从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车,到每个公司卸车时间平均为10分钟,运输车平均速度为60公里/小时(不考虑塞车现象),每日工作不超过8小时。
运输车载重运费1.8元/吨公里,运输车空载费用0.4元/公里。
一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨,原材料不能拆分,为了安全,大小件同车时必须小件在上,大件在下。
卸货时必须先卸小件,而且不允许卸下来的材料再装上车,另外必须要满足各公司当天的需求量(见表1)。
问题:
1、货运公司派出运输车6辆,每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头,应如何调度(每辆车的运载方案,运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头,若要使得成本最小,货运公司怎么安排车辆数?
应如何调度?
3、
(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车,载重运费都是1.8元/吨公里,空载费用分别为0.2,0.4,0.7元/公里,其他费用一样,又如何安排车辆数和调度方案?
(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时,分析运输调度的难度所在,给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图1 唯一的运输路线图和里程数
公司
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
1
2
3
1
0
2
5
B
1
5
0
1
2
4
2
3
C
5
2
4
2
4
3
5
1
表1 各公司所需要的货物量
二、模型假设
1)港口的容量足够大,多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象;
2)多辆运输车可以在港口同时装车,不必等待;
3)双向道路上没有塞车现象;
4)8个公司之间没有优先级别,货运公司只要满足他们的需求量就可以;货车完成他们日常的送货任务之后,回到港口。
5)假设运输车不会因天气状况,而影响其行驶速度,和装载、卸载时间。
6)运输路不会影响运输车行驶速度。
7)运输车正常出车。
三、问题分析
运输过程的最大特点是三种原料重量不同,分为大小件,当大小件同车,卸货时必须先卸小件,而且不允许卸下来的材料再装上车,要区别对待运输途中是否可以调头的费用。
在问题一中,运输途中不能调头,整个送货路线是一个环形闭合回路,如果沿着某一方向同时给多家公司送货时,运输车必须为距离港口近的公司卸下小件,为距离港口远的公司运送大件;而在问题二中,运输途中可以调头,可以首先为远处公司运送小件,在返回途中为距离较近的公司卸下大件。
从表面上看,这样运输能够节省车次,降低出车费用。
但我们通过分析,在本题中,载重调头运输并不能降低费用。
运费最小是货运公司调度运输车的目标,运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
建立模型时,要注意以下几方面的问题:
目标层:
如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量,模型中变量过多,不易求解。
由于各辆运输车之间相互独立,可以将目标转化为两个阶段的求解过程,第一阶段是规划车次阶段,求解车次总数和每车次的装卸方案;第二阶段是车辆调度阶段,安排尽量少的车辆数,每车次尽量满载,使总的运费最小。
约束层:
(1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货,要考虑不同方向时的载重用;
(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时,沿途必须有序卸货;
(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量;
(4)满足各公司当日需求。
四、符号说明和名词约定
符号
含义
单位
备注
S1(n)
从港口到各个公司的货运最短里程集
公里
n=1、2、…、8;
S2(n)
卸载后返回港口的最短空载里程集
公里
n=1、2、…、8;
Q(i)(n)
n公司对货物i的实时需求量集
单位/天
n=1、2、…、8;
i=A、B、C;
W(j)(n)
第j批运至第n公司货物的重量集
吨
n=1、2、…、8;j=1、2;
Times(j)(n)
第j批运至第n公司次数集
次
n=1、2、…、8;j=1、2
Yj(n)
第j批运至第n公司的费用集
元
n=1、2、…、8;j=1、2;
Y(d)
第d问中组合运输的费用集
元
d=1、2、3;
Charge(d)
第d问中所有的运输费用集
元
d=1、2、3;
TT(d)
第d问中组合运输的耗时集
小时
d=1、2、3;
Time(d)
第d问中所有的运输耗时集
小时
d=1、2、3;
五、建立模型
一、问题一
i.车次规划模型的分析
车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。
运输途中不能掉头,所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。
1)运输途中不能掉头,所以为某些公司送货时,运输车从港口出发,按顺时针方向沿闭合回路绕行,为其它公司送货时,按逆时针方向沿闭合回路绕行。
公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离,如下表:
公司编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
顺时针距离
8
15
24
29
37
45
49
55
逆时针距离
52
45
36
31
23
15
11
5
由表可知,运输过程中不可以掉头,为使得货运费用最低,我们按照问题分析中给出的最佳运输路径进行货物的分配运输。
即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发,根据货运里程短,④点为顺时针货运方向最远点,也是空载回港口的最近点,根据货运里程短,⑤点为逆时针货运方向最远点,也是空载回港口的最近点。
结论:
在符合载重相对最大化情况下,①~④公司顺时针送货为最佳方案,⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。
如下图所示:
2)根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出,A和C可以搭配运输,B和C可以搭配运输,而A与B不能同车运输。
不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货,当大小件搭配运输时,必须首先卸下小件,在后续公司卸下大件。
我们把这种特点总结如下:
1、若在第j个公司卸下的是大件A,说明本车次的货物已经卸完,不能够再为后续公司运送小件C(A与B不能同车运输,更不可能有B);
2、若在第j个公司卸下的是B,说明本车次的货物已经卸完,不能够再为后续公司运送小件C。
ii.模型建立
基于以上约束条件建立如下模型:
第一步:
根据车载重相对最大化的基本思想。
可以分为两小步:
分为两种满载方案:
第1种为每个车次装载1单位A和2单位C;第2种是每个车次装载2个单位B。
并使每一车次在同一公司卸货。
满载运载方案如下表1:
表1
车辆
车次数
公司
货物
时间(小时)
运费(元)
各车工作时间(小时)
1
1
1
A,2C
1.4167
107.2
7.0835
2
1
A,2C
1.4167
107.2
3
2
A,2C
1.4167
180
4
3
A,2C
1.4167
273.6
5
3
A,2C
1.4167
273.6
2
6
4
A,2C
1.4167
325.6
7.0835
7
5
A,2C
1.4167
263.2
8
7
A,2C
1.4167
138.4
9
7
A,2C
1.4167
138.4
10
2
2B
1.4167
180
3
11
2
2B
1.4167
180
7.0835
12
5
2B
1.4167
263.2
13
6
2B
1.4167
180
14
6
2B
1.4167
180
15
7
2B
1.4167
138.4
4
16
8
2B
1.4167
76
对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表:
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
2
0
0
2
0
0
0
5
B
1
1
0
1
0
0
0
1
C
1
0
0
0
2
3
1
1
第二步:
我们采用批次运输方案:
第一批次运输,我们使A材料有优先运输权,在保证满足各公司对A需求量条件下,1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输;第二批次运输,我们使B材料有优先运输权,在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位;第三批次运输剩下所需的货物。
具体运输方式:
首先优先考虑A货物的处理方法,可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C,4公司还需要2个车次的1A,8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C;接着处理B货物,1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公司和4公司共需要1个车次的2B;最后处理C货物,5、6、7公司共需要1个车次的6C。
由此可知共出车28次。
如下表2:
表2
车辆
车次数
公司
货物
时间(小时)
运费(元)
各车工作时间(小时)
4
16
8
2B
1.4167
76
7.0835
17
8
A,C
1.4167
67
18
8
A
1.4167
58
19
8
A
1.4167
58
20
8
A
1.4167
58
5
21
8
A
1.4167
58
6.1334
22
1
A,C
1.4167
92.8
23
1
A
1.4167
78.4
24
1,2
2B
1.5833
142.2
6
25
4
A
1.4167
221.2
6.0333
26
4
A
1.4167
221.2
27
7,6,5
6C
1.75
198.4
28
8,4
2B
1.5833
206
2)根据1)和2)的结论及方法,不记派车成本和出车成本的28车次方案所需运费及时间如下表3:
表3
车辆
车次数
公司
货物
时间(小时)
运费(元)
各车工作时间(小时)
1
1
1
A,2C
1.4167
107.2
7.0835
2
1
A,2C
1.4167
107.2
3
2
A,2C
1.4167
180
4
3
A,2C
1.4167
273.6
5
3
A,2C
1.4167
273.6
2
6
4
A,2C
1.4167
325.6
7.0835
7
5
A,2C
1.4167
263.2
8
7
A,2C
1.4167
138.4
9
7
A,2C
1.4167
138.4
10
2
2B
1.4167
180
3
11
2
2B
1.4167
180
7.0835
12
5
2B
1.4167
263.2
13
6
2B
1.4167
180
14
6
2B
1.4167
180
15
7
2B
1.4167
138.4
4
16
8
2B
1.4167
76
7.0835
17
8
A,C
1.4167
67
18
8
A
1.4167
58
19
8
A
1.4167
58
20
8
A
1.4167
58
5
21
8
A
1.4167
58
5.8334
22
1
A,C
1.4167
92.8
23
1
A
1.4167
78.4
24
1,2
2B
1.5833
142.2
6
25
4
A
1.4167
221.2
6.1667
26
4
A
1.4167
221.2
27
7,6,5
6C
1.75
198.4
28
8,4
2B
1.5833
206
总
4464
40.5007
模型中变量
对应的数值
含义
S1(n)
n=1、2、…、8;
{81524292315115}
从港口到各个公司的货运最短里程集
S2(n)
n=1、2、…、8;
{5245363137454955}
卸载后返回港口的最短空载里程集
Q(i)(n)
n=1、2、…、8;
i=A、B、C;
{41231025;
15012423;
52424351}
n公司对货物i的实时需求量集
Wj(n)
n=1、2、…8;
j=1、2;
{2161214601221;
0120061266}
第j批运至第n公司货物的重量集
Times(j)(n)
n=1、2、…、8;
j=1、2;
{41231025;
02001211}
第j批运至第n公司次数集
(d)
ttd=1
{5.0832}
第d问中组合运输的耗时集
)
yd=1
{565.2}
第d问中组合运输的费用集
iii.目标分析
运费最小是货运公司调度运输车的目标,运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
最后经过模型的计算得到最少费用为:
4840.6元,最少耗时为:
40.4999小时。
二、问题二
i.车次规划模型的分析
两个定理的证明
定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头
途中允许调头,运输车可以先为较远的公司送去小件原料,然后调头,为比较近的公司送去大件。
从表面上看,这样运输能够节省车次,降低出车费用。
但我们通过分析,在本题中,载重调头运输并不能降低费用。
证明过程如下:
在上图中,记O点为港口,N、M为两公司。
M到港口的距离是S1,NM两个公司之间的距离为S2。
假设将两种货物a和b(重量分别为x吨、y吨),分别运往N和M两公司,现有两种运输方案:
1.若先运货a、b到N,将a卸到N,调头返回,将货物b运往M,那么a必为C原料(x=1),b为A或B(
),记运费用为f1
2.若先单独运送货物a到N,返回港口后,再次出车,将货物b运往M,即出车两次,记运费用为f2。
Ø两种方案需要的车辆相同时,
为比较两种运输方式费用的大小,两种运输的种类质量均相同,记:
若f>0恒成立,则载重调头送货不节省费用,通过数据处理提取函数:
因为
并且N、M两公司在本题中的最小距离
代入到f中,化简得到
令
得到
而港口到所有公司最短路的最大值为29公里,所以
恒成立。
说明前一种花费较高。
Ø方案二比方案一需要的车辆多时
第二种方案是出车两次,运输时间较长,在8小时的工作时间内,可能会比调头载重运输时多安排车辆,派车费用增加。
我们考虑一种最差情况,因多运一次而增派一辆车,此时有
得到
因为港口到所有公司的最短路径
所以
综上,载重调头运输花费较高。
证明了以运费用最小为目标时,车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。
定理一的推论:
运载里程与空载里程相同(表四中的第28车次例外),且每次出车均不绕圈工作。
定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路,且载重费用固定不变
在定理一的基础上,车辆当且仅当运完最后一件货才调头,且每次出车均不绕圈工作,那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。
我们变换视角,从宏观的角度看去,对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价(1.8元/吨公里)就是将货物运至公司的载重费用,载重费用因子:
货物的数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值,因此,载重费用是固定不变的。
车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。
运输途中可以掉头,即货车可以送完货沿原路返回港口。
ii.模型建立
根据问题一约束条件:
在符合载重相对最大化情况下,①~④公司顺时针送货为最佳方案,⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。
此结论也可以适用货车可以掉头的情况。
加上上面两个定理,数学模型与问题一几乎相同,只是空载路径不同。
故同样分为两步骤:
第一步分为两种满载方案:
第1种为每个车次装载1单位A和2单位C;第2种是每个车次装载2个单位B。
并使每一车次在同一公司卸货。
第二步我们采用批次运输方案:
第一批次运输,我们使A材料有优先运输权,在保证满足各公司对A需求量条件下,C与A搭配满足载重相对最大化方法运输;第二批次运输,我们使B材料有优先运输权,在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位;第三批次运输剩下的货物。
最终车次运载方案如下表4:
表4
车辆
车次
公司
货物
时间(小时)
运费
各车工作时间(小时)
1
1
1
A,2C
0.6834
89.6
7.2837
2
1
A,2C
0.6834
89.6
3
2
A,2C
0.9167
168
4
3
A,2C
1.2167
268.8
5
3
A,2C
1.2167
268.8
6
4
A,2C
1.3834
324.8
7
5
A,2C
1.1834
257.6
2
8
7
A,2C
0.7834
123.2
7.7838
9
7
A,2C
0.7834
123.2
10
2
2B
0.9167
168
11
2
2B
0.9167
168
12
5
2B
1.1834
257.6
13
6
2B
0.9167
168
14
6
2B
0.9167
168
15
7
2B
0.7834
123.2
16
8
2B
0.5834
56
3
17
8
A,C
0.5834
47
4.2838
18
8
A
0.5834
38
19
8
A
0.5834
38
20
8
A
0.5834
38
21
8
A
0.5834
38
22
1
A,C
0.6834
75.2
23
1
A
0.6834
60.8
4
24
1,2
2B
1.0833
130.2
6.9501
25
4
A
1.3834
220.4
26
4
A
1.3834
220.4
27
7,6,5
2B
1.5167
192.8
28
8,4
2B
1.5833
206
总
4127.2
26.3014
iii.目标分析
运费最小是货运公司调度运输车的目标,运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。
由表4得知,第二问的总费用charge
(2)=4127.2+20*4+10*28=4487.2元
总时间Time
(2)=26.3014元
三、问题三
1)第一小问:
结论:
这次运货不需要使用4吨货车。
只使用6吨、8吨货车搭配运输即可。
i.模型建立
我们经过上述论证,排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向,所以认为车辆可以掉头。
我们仍旧采取①~④公司顺时针送货,⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
根据上述条件我们建模如下:
第一步,使8吨车次满载并运往同一公司;
第二步,使6吨位车次满载并运往同一公司;
运载方案如下表5:
表5
车辆
车次
公司
货物
时间(小时)
运费
各车工作时间(小时)
第一辆8吨车
1
1
2A
0.6834
120.8
6.9504
2
1
2A
0.6834
120.8
3
1
B,5C
0.6834
120.8
4
2
A,B,C
0.9167
226.5
5
3
2A
1.2167
362.4
6
4
2A
1.3834
437.9
7
4
A,B,C
1.3834
437.9
第二辆8吨车
8
5
A,B,C
1.1834
347.3
5.4171
9
6
2B,2C
0.9167
226.5
10
7
2A
0.7834
166.1
11
7
2B,2C
0.7834
166.1
12
8
2A
0.5834
75.5
13
8
2A
0.5834
75.5
14
8
A,B,C
0.5834
75.5
第一辆6吨车
15
2
2B
0.9167
168
7.3169
16
2
2B
0.9167
168
17
5
B,3C
1.1834
257.6
18
6
2B
0.9167
168
19
8
2B
0.5834
56
对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表:
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
0
0
0
0
0
0
0
0
B
0
0
0
0
0
0
0
0
C
0
1
4
1
0
1
3
0
第三步,从上表可知只剩下2,3,4,6,7公司需要C货物10吨,必须要用至少两个车次来运。
我们已经论证排除了4吨货车的使用,为了使费用降低,我们决定用2个6