新人教版高中数学必修知识点总结详细.docx
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新人教版高中数学必修知识点总结详细
高中数学必修5知识点总结
1、三角形三角关系:
第一章解三角形
A+B+C=180；C=180°-（A+B）；
a+b>c;a-b3、三角形中的基本关系：
sin（AB）=sinC,cos（AB）--cosC,tan（AB）--tanC,
2、三角形三边关系:
4、正弦定理：
在中，a、b、c分别为角厶、m、C的对边，R为的外接圆的半径，则有亠二丄二丄=2R.
sin二sinI;sinC
5、正弦定理的变形公式：
1化角为边：
a=2Rsin一-I，b=2Rsinm，c=2RsinC；
abc
2化边为角：
sin，sin，sinC=-
2R2R2R
abc
ab
③a:
b:
c=sin一-l:
sinm:
sinC:
④__
sinA+sinE+sinCsin直sinEsinC
6、两类正弦定理解三角形的问题：
1已知两角和任意一边，求其他的两边及一角
2已知两角和其中一边的对角，
求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况
（一解、
两解、三解））
7、余弦定理：
在厶二：
iC中,
有a2二b2c2-2bccosZ,b2二a2c2-2accos「3，
222
cab—2abcosC.
8、余弦定理的推论:
cos---
b2
c2
-a2
2bc
a2
c2-b
2ac
cosC=
a2b2
-c2
2ab
2.已知三边求角）
（余弦定理主要解决的问题：
1.已知两边和夹角，求其余的量。
9、余弦定理主要解决的问题：
①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角）
10、如何判断三角形的形状：
判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形
式设a、b、c是「me的角一-l、2、C的对边，则：
①若a2b2=c2，则C=90：
；②若a2b2c2，则C<90；③若
222
ab:
:
c，则C90.
注：
正余弦定理的综合应用：
如图所示：
隔河看两目标
A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得/ACB=7£O,
/BCD=45,
/ADC=30,/ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离
（本题解答过程略）
11、三角形面积公式：
⑴*割=艸产割（味味也分别表示6b、E上的高h
（4）S=2/?
3sinAsinBsinCa（R为外接圆半径）
12、三角形的四心：
垂心一一三角形的三边上的高相交于一点
重心一一三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:
1）
外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心一一三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
13、请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。
附加：
第二章数列
1、数列：
按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项：
数列中的每一个数.
3、有穷数列：
项数有限的数列.
4、无穷数列：
项数无限的数列.
5、递增数列：
从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：
an+1>an）.
6、递减数列：
从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：
an+17、常数列：
各项相等的数列（即：
an+1=an）.
8、摆动数列：
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
9、数列的通项公式：
表示数列'an』的第n项与序号n之间的关系的公式.
10、数列的递推公式：
表示任一项an与它的前一项an/（或前几项）间的关系的公式.
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常
①an-an」=d（n_2,d为常数）②2an=an彳•an」（n-2）③an=knb（n,k为常数
12、由三个数a，厶，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则厶称为a与b的等差中项•若
a+c
b，则称b为a与c的等差中项.
2
13、若等差数列Ian匚的首项是a1，公差是d，则sn^a14、通项公式的变形：
①4=am+（n—m）d:
②a=4—（n—1）d:
③d=勺一；
n—1
anam
15、若：
an』是等差数列，且m•n=pq（m、n、p、q-：
•！
），则Sh-ap;若lanf是等差
数列，且2n=pq（n、p、q-"），贝U2o^apaq.
17、等差数列的前n项和的性质：
①若项数为
2nn：
=：
」，则窃=nanan1，且S禺一窃二nd，
an
an1
②若项数为2n-1n上，则S>nj-'2n-1a.，且S奇-S偶二a.，§奇=—（其中S奇二na.，
S偶n—1
S^=n-1an）•
18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常
a
数称为等比数列的公比•符号表示：
口二q（注：
①等比数列中不会岀现值为o的项；②同号位上的值同号）
an
注：
看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①an=an4q（n-2,q为常数，且=0）②a：
=an1anj（n—2,anan1an：
=0）
3an二cqn（c,q为非零常数）.
4正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x'1）成等比数列.
19、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项•若G2=ab，则
称G为a与b的等比中项.（注：
由G2=ab不能得岀a，G，b成等比，由
二ab）
20、
若等比数列〈an?
的首项是a，公比是q，则an=dqnJI
21、
n_m-Vn-J
通项公式的变形：
①an二amq:
②a^anq
:
③
ann—m
丄；④q
a1
22、
若：
a*』是等比数列，且m・n二p，q（m、n、p、q：
二勺），
am
•a*二apaq；若1a"是等比数
列,
且2n=pq（n、p、q「卜「），则
2
an=apaq•
23、
等比数列Nl的前n项和的公式：
①Sn
n^（q=1）
亠印门詔）a二as
1-q
q"
24、
对任意的数列｛an｝的前n项和Sn与通项
an的关系：
an
•②«=qPa.
*=a〔（n=1）
1
6-也（nA2）
［注］:
①an^1-n_1一二nd•aj_d（一可为零也可不为零f为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）
f若d不为0,则是等差数列充分条件）
②等差｛an｝前n项和Sn”Bn^n2+n
fd可以为零也可不为零T为等差的充要条件T若
2
为零，则是等差数列的充分条件；若一不为零，则是等差数列的充分条件
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
附：
几种常见的数列的思想方法:
1.等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值
.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法:
是求使an_O,ani0，成立的n值；二是由Sn
-J-J
二一n2（a^—）n利用二次函数的性质求n的值.
22
数列
通项公式
对应函数
等差数列
尸=血+&（作0时为一次函数）
等比数列
"血（指数型函数）
2.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:
我们
数列
前n项和公式
对应函数
等差数列
『=拐亠处（盘=0时为二次函数）
等比数列
y-aqx+b（指数型函数）
用函
数的
观点
n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题
揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前
提供了非常有益的启示
3.例题：
1、等差数列h.｝中「朴亠_[「二；I则'H|；-
分析：
因为是等差数列，所以必建是关于n的一次函数,
次函数图像是一条直线，则（n,m）,（m,n）,（m+n,'丁1）三点共线,
项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁
例题：
3递增数列K｝，对任意正整数n,讥一'丁丨「；儿恒成立，求i
分析：
1构造一次函数，由数列F：
递增得到：
SI对于一切1匚：
恒成立，即-一1+恒
最大。
成立，所以〔-对一切._/*恒成立，设J二丨一一茂一-,,则只需求岀」.<的最大值即可，显
111
和的推倒导方法：
错位相减求和.例如：
辽3*.®-1）盯…
5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差
是两个数列公差d1,d2的最小公倍数.
6.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法：
对于n>2的任意自然数，验证
a
a^--an1（）为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法：
验证2an1-anan_2Qn1=.2）n■N
an」
都成立。
amHO
7.在等差数列｛an｝中，有关S的最值问题：
（1）当a1>0,d<0时，满足丿的项数m使得Sm取最大值.
am审兰0
⑵当a1<0,d>0时，满足<
am兰0的项数m使得Sm取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思
am八0
想的应用。
附：
数列求和的常用方法
1.
公式法：
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
列等。
例题：
已知数列｛an｝的通项为
an=1,求这个数列的前n项和S.
n（n1）
解：
观察后发现：
an=^-^^
nn十1
SnPa2Vn
11111
=
（1）（厂叫）
223nn1
十丄
n1
3.错位相减法：
适用于Qnbn［其中｛an｝是等差数列，'b/?
是各项不为0的等比数列。
例题：
已知数列｛an｝的通项公式为an二n2n，求这个数列的前n项之和q
解:
由题设得：
=121222323n2n
即sn=12122232^n2n①
把①式两边同乘2后得
2sn=12222332^n2n1②
用①-②，即：
123n
sn=122232-亠n2①
11*fr
ifif**
**■/i
jj*•
fff#
234n-H
2sn=122232亠亠n2②
•-Sn=（n-1）2n12
4.倒序相加法：
类似于等差数列前n项和公式的推导方法
5.常用结论
1）:
1+2+3+...+n=
n（n1）
2）1+3+5+...+（2n-1）=
n2
1323〜亠
=-n（n1）
_2'）
4）12
•22•32
2Jn（n1）（2n1）5）
6n（n1）
111、、（）6）n（n2）2nn2；
1
pq
（p:
:
q）
※附加：
重点归纳
等差数列和等比数列（表中m,n,p,q・N.）
'"'x类别项目7、
等差数列{an}
等比数列{an}
定义
通项公
式
前n项
和
等差（比）
中项
公差
（比）
d=an_am，严初）n—m
性质
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,j1（成等差
数列，公差为m2d（Sn是前n项和）
TmJ2",「"，川成等比数列，公
TmT2m
2
比为qm（Tn是前n项积）
am,am-k,a^!
2k^l仍然疋等差数列，
其公差为kd
am,aMk,am42k仍然疋等比数
列，其公比为qk
{k4+b}是等差数列
{ba：
}是等比数列（b^O）
单调性
d>0,L；
dd=0,常数列
ai>0时，q>1,L，0ai<0时，q=lL，0cqclL；
q=1为常数列；qv0为摆动数列
2.等差数列的判定方法：
（a,b,d为常数）
⑴.定义法：
若a.州-a.=d'
⑵.等差中项法：
若2an4f=an+a.七二{a.}为等差数列.
F
⑶.通项公式法：
若an=an+b
⑷.前.项和法：
S.二an2bn
3.等比数列的判定方法：
（k，q为非零常数）
⑴.定义法：
若
an
⑵.等比中项法：
若ani^anan2
⑶.通项公式法：
若an二kqn
⑷.前.项和法：
Sn=k-kqn
第三章不等式
」、不等式的主要性质：
（1）对称性：
a.b：
二b:
:
a
（2）传递性：
ab,b.c=ac
（3）加法法则：
ab=acbc；
（4）同向不等式加法法则：
ab,c.d=acbd
（5）乘法法则：
ab,c0=acbc；ab,c：
0二ac：
bc
（6）同向不等式乘法法则：
ab0,cd.0=acbd
（7）乘方法则：
ab0=an.bn（n：
二N*且n.1）
（8）开方法则：
ab.0=nab（n・N*且n.1）
—11
（9）倒数法则：
ab,ab0=--
ab
元二次不等式ax2bxc0和ax2bx0（a严0）及其解法
二次函数
（a>0）的图象
一兀二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
1.一元二次不等式先化标准形式（a化正）2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。
口诀：
在二次项系数为正的前提下：
“大于取两边，小于取中间”
三、均值不等式
1、设a、b是两个正数，则称为正数a、b的算术平均数，.ab称为正数a、b的几何平均数.
2
2、基本不等式（也称均值不等式）：
若a0均值不等式：
如果a,b是正数，那么注意：
使用均值不等式的条件：
一正、二定、三相等
5、极值定理：
设x、y都为正数，则有:
2
s
⑴若x•y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值•⑵若xy=p（积为定值），则当x
4
和xy取得最小值2P•
四、含有绝对值的不等式
代数
a0
a=0
a:
0
1•绝对值的几何意义：
|x|是指数轴上点x到原点的距离；|为-屜|是指数轴上x1,x2两点间的距离
亠a
意义：
|a|=」O
一a
2、如果a-0,则不等式：
|x|a：
：
：
=•xa或x：
：
：
-a?
?
；|x|亠a：
：
：
=•x亠a或x_—a
|x|：
：
a：
：
=-axa；|x|_a：
：
=—a_x_a
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
五、其他常见不等式形式总结：
1分式不等式的解法：
先移项通分标准化，则
f（x）c—、，、cf（x）、c”f（x）g（x）启0
>0二f（x）g（x^>0;K0二丿
g（x）g（x）®（x）式0
2指数不等式：
转化为代数不等式
af（x）ag（x）（a1）=f（x）g（x）；af（x）ag（x）（0：
a：
1）=f（x）：
g（x）
3对数不等式：
转化为代数不等式
4高次不等式：
数轴穿线法口诀：
“从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯：
小于取下边，大于
取上边”
22
例题：
不等式a3x2）（x-4）x+3
A•-12B.x<—3或1C.x=4或—32D.x=4或x<—3或1六、不等式证明的常用方法：
作差法、作商法
七、线性规划
1、二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.
2、二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的
有序数对x,y构成的集合.
4、在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点P（Xo,y0）.
1若三0，二xo•my。
C•0,则点？
Xo,yo在直线.-.x3yC=0的上方.
2若三0，二x°亠号0C：
：
：
0,则点？
x0,y0在直线zx•my•C=0的下方.
5、在平面直角坐标系中，已知直线zx•my•C=0.
（一）由B确定：
①若20，则：
：
0表示直线
二x「纲C=0下方的区域.
②若2:
:
:
0，则：
iyC■0表示直线ZX•2y•C=0下方的区域；zx亡y•C：
：
：
0表示直线
•2yC=0上方的区域.
（二）由A的符号来确定：
I：
匚：
x•2y•C=0的右边部分。
l：
Zx亠xy■C=0的左边部分。
先把x的系数A化为正后，看不等号方向:
1若是“>”号，则二xYyC■0所表示的区域为直线
②若是“<”号，则Zx亠xyC:
:
:
0所表示的区域为直线
（二）确定不等式组所表示区域的步骤：
1画线：
画岀不等式所对应的方程所表示的直线
2定测：
由上面
（一）
（二）来确定
3求交：
取岀满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
2xy-50
例题：
画岀不等式组y・3x-5所表示的平面区域。
解：
略
2y-x-50
6、线性约束条件：
由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件.
目标函数：
欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式.
线性目标函数：
目标函数为x,y的一次解析式.
线性规划问题：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解：
满足线性约束条件的解x,y.
可行域：
所有可行解组成的集合.
最优解：
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
附加：
1二元一次不等式（组）表示的平面区域
直线l:
AxByC0（或0）:
直线定界，特殊点定域。
注意：
AxByC.0（或:
:
:
0）不包括边界；AxBy•C_0（_0）包括边界
2.线性规划
我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是:
注意：
1.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2.线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。
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