新课标全国1卷理数.docx
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新课标全国1卷理数
2018年全国统一高考数学试卷（理科）
（新课标I）
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
A.
（5分）（2018?
新课标
0B.
C.1
2
（5分）（2018?
新课标
】）设z=^+2i，则|z|=（）
I）已知集合A={x|x2-x-2>0}，则？
fA=（
-12}D.{x|x<-1}U{x|x>2}
{x|-1vXV2}B.{x|
（5分）（2018?
新课标I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
A.
种植收入
种植收入
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（）
建设后经济收入枸成比例
A.新农村建设后，
B.新农村建设后，
C.新农村建设后，
D.新农村建设后，
种植收入减少
其他收入增加了一倍以上
养殖收入增加了一倍
养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.（5分）（2018?
新课标I）记3为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+9,a1=2，贝Ua5=（
A.-12B.-10C.10D.12
5.（5分）（2018?
新课标I）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f
处的切线方程为（）
（x）在点（0,0）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
6.（5分）（2018?
新课标I）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则II■=（
A.，—
4
B.
C.
M在正视图上最短路
A.2"；刁B.2：
门C.3
D.2
7.（5分）（2018?
新课标I）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点
的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,
径的长度为（）
A
8.（5分）（2018?
新课标I）设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为
两点，则15?
I-J=（）
A.5B.6C.7D.8
9.（5分）（2018?
新课标I）已知函数
a的取值范围是（）
f（x）
x<0
g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则
A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）
10.（5分）（2018?
新课标I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分
记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点,
此点取自I,n,川的概率分别记为P1,P2,P3,贝V（
A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3
2
11.（5分）（2018?
新课标I）已知双曲线C:
「-『=1,O为坐标原点,
■w
条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（
F为C的右焦点，过F的直线与C的两
）
A.
B.3
C.2-D.4
12.（5分）（2018?
新课标I）已知正方体的棱长为
1，每条棱所在直线与平面
a所成的角都相等，则a截此正
方体所得截面面积的最大值为（
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
（x-2y-2^0
13.（5分）（2018?
新课标I）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为.
[V<0
14.（5分）（2018?
新课标I）记Sn为数列｛an｝的前n项和.若S=2an+1，贝US6=.
15.（5分）（2018?
新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的
选法共有种.（用数字填写答案）
16.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x,贝Uf（x）的最小值是.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）（2018?
新课标I）在平面四边形ABCD中，/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.
（1）求cos/ADB;
（2）若DC=2:
:
求BC.
18.（12分）（2018?
新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
（1）证明：
平面PEF丄平面ABFD;
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.（12分）（2018?
新课标I）设椭圆C:
上一+/=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为（2,0）.
（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
/OMA=/OMB.
20.（12分）（2018?
新课标I）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品
作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决
定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p（0vpv1）,且各件产品是否为不合格品
相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（p）的最大值点P0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的P0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21.（12分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）丄-x+alnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
J-f（jc2）
（2）若f（x）存在两个极值点X1,x2,证明：
va-2.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
22.（10分）（2018?
新课标I）在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p+2pcos-3=0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
［选修4-5:
不等式选讲］（10分）
23.（2018?
新课标I）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；
（2）若x€（0,1）时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围.
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C;2.B;3.A;4.B;5.D;6.A;7.B;8.D;9.C;10.A;11.B;12.A;
、填空题：
本题共
4小题，每小题5分，共20分。
13.6;14.-63;
15.16；16.二i
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
I1-；
1.（5分）（2018?
新课标I）设z^^+2i，则|z|=（）
1+1
A.0B.丄C.1D..■:
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.
【解答】解:
z=-一+2i=_~1~_+2i=-i+2i=i,
1+1（1-1）（1+1）
则|z|=1.
故选：
C.
2.（5分）（2018?
新课标I）已知集合A={x|x2-x-2>0}，则？
fA=（）
A.{x|-1vxv2}B.{x|-12}D.{x|x<-1}U{x|x>2}【分析】通过求解不等式，得到集合A,然后求解补集即可.
【解答】解：
集合A={x|x2-x-2>0},
可得A={x|x<-1或x>2},
则：
？
rA={x|-1wx<2}.
故选：
B.
3.（5分）（2018?
新课标I）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
建设后经济收入枸成比例
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.
【解答】解：
设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项，种植收入37x2a-60%a=14%a>0,
故建设后，种植收入增加，故A项错误.
B项，建设后，其他收入为5%x2a=10%a,
建设前，其他收入为4%a,
故10%a-4%a=2.5>2,
故B项正确.
C项，建设后，养殖收入为30%x2a=60%a,
建设前，养殖收入为30%a,
故60%a-30%a=2,
故C项正确.
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）x2a=58%x2a,
经济收入为2a,
故（58%x2a）-2a=58%>50%,
故D项正确.
因为是选择不正确的一项，
故选：
A.
4.（5分）（2018?
新课标I）记3为等差数列｛an｝的前n项和.若3S3=S2+9,ai=2，贝Ua5=（）
A.-12B.-10C.10D.12
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.
【解答】解：
•••Sn为等差数列｛an｝的前n项和，3S3=S2+S,a1=2,
「3X2qx3
••3冥（3門-H-;d）=a1+a1+d+4a1——d,
把a1=2，代入得d=-3
…a5=2+4x（—3）=—10.
故选：
B.
5.（5分）（2018?
新课标I）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0,0）
处的切线方程为（）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
【分析】利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.
【解答】解：
函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax,若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f'（x）=3x2+1,
曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线的斜率为：
1,
则曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为：
y=x.故选：
D.
6.
A.丄AL—
B.琉掘C五+1
（5分）（2018?
新课标I）在厶ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则II■=（
4
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.
【解答】解：
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点,-AltAB-116
2
4心泸,
故选：
A.
M在正视图上最短路
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M至UN的路径中，最短路径的长度:
7.（5分）（2018?
新课标I）某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点
的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,
径的长度为（）
2门C.3D.2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，禾U用侧面展开图，转化求解即可.
【解答】解：
由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为：
2,
直观图以及侧面展开图如图：
=2!
'.
耳的直线与C交于M,N
故选：
B.
8.（5分）（2018?
新课标I）设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点（-2,0）且斜率为
两点，则I"?
11=（）
A.5B.6C.7D.8
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.
【解答】解：
抛物线C:
y2=4x的焦点为F（1，0）,过点（-2,0）且斜率为丄的直线为：
3y=2x+4,
■3
联立直线与抛物线C:
y2=4x,消去x可得：
y2-6y+8=0,
解得yi=2,y2=4，不妨M（1,2）,N（4,4）,而=（Q,2），両二（艮4）-
则「戶（0,2）?
（3,4）=8.
故选：
D.
9.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=…,g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，则
a的取值范围是（）
A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）
【分析】由g（x）=0得f（x）=-x-a,分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可.
【解答】解：
由g（x）=0得f（x）=-x-a,
作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：
当直线y=-x-a的截距-a<1,即卩a>-1时，两个函数的图象都有2个交点,即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[-1,+R）,故选：
C.
、
<<
—3—2—1O
V
-1
-2
7
\
10.（5分）（2018?
新课标I）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三
个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I,n,川的概率分别记为p1,p2,p3,则（）
A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3
【分析】如图：
设BC=2r1,AB=2r2,AC=2r3，分别求出I,n,川所对应的面积，即可得到答案.
【解答】解：
如图：
设
BC=2n,AB=2r2,AC=2r3,
•••rSg2,
Si=丄
2
Sn=--Xn3^
2
x4r2r3=2r2r3,
Sn二二Xnr2—2r2r3,
2.
Xn22
n32
Xn22-丄
xnr+2r2r3=2r2r3,
Si=Sh,
•Pl=P2,
故选：
A.
2
11.（5分）（2018?
新课标I）已知双曲线C:
[.-『=1,O为坐标原点，
条渐近线的交点分别为M,2若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（）
F为C的右焦点，过F的直线与C的两
A.
2
【分析】
B.3C.20D.4
【解答】
直线为:
则:
MN的坐标，然后求解|MN|.
-y2=1的渐近线方程为：
y=±』3口渐近线的夹角为：
60°不妨设过F（2,0）的
求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出
2
解：
双曲线C:
解得
解得：
N
则lMNl=|：
:
:
故选：
B.
12.（5分）（2018?
新课标I）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面
a所成的角都相等，则a截此正
方体所得截面面积的最大值为（）
A.干B.干C.亠D...
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面大值.
【解答】解：
正方体的所有棱中，实际上是
a所成的角都相等的位置，然后求解
3组平行的棱，每条棱所在直线与平面
a截此正方体所得截面面积的最
a所成的角都相等，如图：
所
示的正六边形平行的平面，并且正六边形时,
a截此正方体所得截面面积的最大,
此时正六边形的边长',
2
a截此正方体所得截面最大值为:
故选：
A.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
（
x^2y-2^0
，则z=3x+2y的最大值为6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.
【解答】解：
作出不等式组对应的平面区域如图：
*31
由z=3x+2y得y=-—x+二z,
22
平移直线y=-=x+=z,
22
由图象知当直线y=-；x+^z经过点A（2,0）时，直线的截距最大，此时z最大，
22
最大值为z=3X2=6,
故答案为：
6
14.（5分）（2018?
新课标I）记Sn为数列｛an｝的前n项和.若S=2an+1，贝U&=-63.
【分析】先根据数列的递推公式可得｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.【解答】解：
Sn为数列｛an｝的前n项和，S=2an+1，①
当n=1时，ai=2ai+1，解得ai=-1,
当n》2时，Sn-1=2an-1+1，②，
由①-②可得an=2an-2an-1,
…an=2an-1,
二｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
故答案为：
-63
15.（5分）（2018?
新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种.（用数字填写答案）
【分析】方法一：
直接法，分类即可求出，
方法二：
间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.
【解答】解：
方法一：
直接法，1女2男，有C21C42=12,2女1男，有C22C41=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：
C63-C43=20-4=16种，
故答案为：
16
16.（5分）（2018?
新课标I）已知函数f（x）=2sinx+sin2x,贝Uf（x）的最小值是
【分析】由题意可得T=2n是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在［0,2n）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得.
【解答】解：
由题意可得T=2n是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在［0,2n）上的值域,
先来求该函数在［0,2n）上的极值点，
求导数可得f'（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x-1）=2（2cosx-1）（cosx+1）,
令f'（x）=0可解得cosx^或cosx=-1,
2
可得此时x=」^,n或5兀；
33
•••y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=,n或和边界点x=0中取到,
33
计算可得f（*）=卑3,f（n=0,f（弓-）=-耳3,f（0）=0,
•函数的最小值为-,
2
故答案为：
.；.
2
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）（2018?
新课标I）在平面四边形
ABCD中，/ADC=90°,/A=45°AB=2,BD=5.
（1）求cos/ADB;
（2）若DC=2二，求BC.
【分析】
（1）由正弦定理得_^―—-■二，求出sin/ADB竺，由此能求出
sinZlWBsin455
（2）由/ADC=90，得cos/BDC=sinZADB=「，再由DC=2：
［‘弓，利用余弦定理能求出
cos/ADB;
BC.
【解答】解：
（1）v/ADC=90,/A=45,AB=2,BD=5.
A3:
=BD
営inAADB
sinZA
•••由正弦定理得:
2
=■
sinZADB
ELn45f'
，即
•sin/ADB=-亠-二,
5B
•/ABvADBv/A,
（2）•••/ADC=90,•cos/BDC=sin/ADB=,
5
•••DC=2.二
•BC=■'--4K■-：
-
=5.
18.（12分）（2018?
新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
（1）证明：
平面PEF丄平面ABFD;
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
DF为折痕把厶
【分析】
（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF,然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角.
【解答】
（1）证明：
由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
nt1
则幅飞妙，BFfBU,
由于四边形ABCD为正方形，所以EF丄BC.
由于PF丄BF,EFAPF=F,贝UBF丄平面PEF.
又因为BF?
平面ABFD,所以：
平面PEF丄平面ABFD.
（2）在平面DEF中，过P作PH丄EF于点H,联结DH,
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH±EF,
贝UPH丄面ABFD,故PH丄DH.
在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,
因为DE//BF且PF丄BF,
所以PF丄DE,
又因为△PDF^ACDF,
所以/FPD=ZFCD=90,
所以PF丄PD,
由于DEAPD=D，贝UPF丄平面PDE,
故Vf-pde==PF・弘e,
3°APDE
因为BF
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