沪科版全等三角形归类复习汇编.docx
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沪科版全等三角形归类复习汇编
全等三角形归纳复习
常见辅助线的作法有以下几种:
(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
(2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
(3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
(4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
(5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
顺口溜:
人人都说几何难,难就难在辅助线;辅助线,如何添?
构造全等很关键.
图中有角平分线,可向两边作垂线;三角形中有中线,延长中线造全等;
角平分线加平行,构造等腰三角形;角平分线加垂线,三线合一试试看;
线段垂直平分线,常向两端把线连;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验.
一、倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线
方式1:
延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
方式2:
间接倍长
作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,延长MD到N,使DN=MD,连接CN.
连接BE.
例1、已知:
如图,△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围.
例2、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.
例3、如图所示,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F.
求证:
BE+CF>EF.(提示:
延长ED至M,使DM=DE,连接CM,MF.)
例4、已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于点F,且DF=EF.求证:
BD=CE.
练习1、如图,在△ABC中,AB≠AC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.求证:
AE平分∠BAC.
练习2、如图,AD为△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD.
练习3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
二、借助角平分线造全等
例1、已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠BAD+∠BCD=180°.
例2、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证:
OE=OD.
(有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长.)
例3、已知:
如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E.求证:
BD=2CE.
三、截长补短
例1、如图,△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC.
例2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
练习1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD,求∠ABC的度数.
练习2、如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:
AC=AE+CD.
四、连接已知点,构造全等三角形.
例、已知:
如图所示,AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD.求证:
∠A=∠D.
五、取线段中点构造全等三角形
例、已知:
如图所示,AB=DC,∠A=∠D.求证:
∠ABC=∠DCB.
六、证明线段不等关系
例、如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>AD+AE.
七、旋转
例1、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
例2、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且
求∠ABC+∠ADC的度数.
八、直角三角形的全等问题
[知识]:
①直角三角形特有的HL判定定理;②SAS、AAS、ASA、SSS(转化为HL)也是完全适用直角三角形的,不要忘记;③同(等)角的余角相等应用非常广泛(重点).
例1、如图,已知DO⊥BC,OC=OA,OB=OD,求证:
△BCE是直角三角形.
例2、把两个含有45°角的直角三角板如图放置,点D在BC上,连结BE、AD,AD的延长线交BE于点F.求证:
AF⊥BE.
例3、如图,在△ABC中,高AD与BE相交于点H,且AD=BD.问△BHD≌△ACD?
九、等腰三角形、等边三角形的全等问题
[知识]:
①等腰三角形腰相等且底角相等,等边三角形三边相等
且三个底角都是60度,即“等边对等角,等角对等边”;
②如右图,由∠1=∠2,可得∠CBE=∠DBA;反之也成立.
例、如图1、2、3,过点A分别作两个个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE.求证BD=CE.
练习、如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
AE=CG.
题型:
全等三角形在实际生活中的应用
例1如图所示,太阳光线AC和A′C′是平行的,同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长,那么建筑物是否一样高?
说明理由.(注:
太阳光线可看成是平行的)
三、主要竞争者分析
6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些?
巩固1某游乐场有两个长度相同的滑梯,要想使左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF的水平方向的长度DF相等,则两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小必须满足什么关系?
说明理由.
自制性手工艺品。
自制饰品其实很简单,工艺一点也不复杂。
近两年来,由于手机的普及,自制的手机挂坠特别受欢迎。
2、Google网站www。
people。
com。
cn
附件
(二):
民族性手工艺品。
在饰品店里,墙上挂满了各式各样的小饰品,有最普通的玉制项链、珍珠手链,也有特别一点如景泰蓝的手机挂坠、中国结的耳坠,甚至还有具有浓郁的异域风情的藏族饰品。
4、如果学校开设一家DIY手工艺制品店,你是否会经常去光顾?
(3)年龄优势
5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受?
(一)创业机会分析