沪科版全等三角形归类复习汇编.docx

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沪科版全等三角形归类复习汇编

全等三角形归纳复习

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

（2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

（5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

顺口溜：

人人都说几何难，难就难在辅助线；辅助线，如何添？

构造全等很关键.

图中有角平分线，可向两边作垂线；三角形中有中线，延长中线造全等；

角平分线加平行，构造等腰三角形；角平分线加垂线，三线合一试试看；

线段垂直平分线，常向两端把线连；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验.

一、倍长中线法

△ABC中，AD是BC边中线

方式1：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE.

方式2：

间接倍长

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，延长MD到N，使DN=MD，连接CN.

连接BE.

例1、已知：

如图，△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

例2、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF.

例3、如图所示，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F.

求证：

BE+CF＞EF.（提示：

延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF.）

例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于点F，且DF=EF.求证：

BD=CE.

练习1、如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：

AE平分∠BAC.

练习2、如图，AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD.

练习3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

二、借助角平分线造全等

例1、已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：

∠BAD+∠BCD=180°.

例2、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：

OE=OD.

（有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长.）

例3、已知：

如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E.求证：

BD=2CE.

三、截长补短

例1、如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：

CD⊥AC.

例2、如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB＝AD+BC.

练习1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数.

练习2、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：

AC=AE+CD.

四、连接已知点，构造全等三角形.

例、已知：

如图所示，AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD.求证：

∠A=∠D.

五、取线段中点构造全等三角形

例、已知：

如图所示，AB=DC，∠A=∠D.求证：

∠ABC=∠DCB.

六、证明线段不等关系

例、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

七、旋转

例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且

求∠ABC+∠ADC的度数.

八、直角三角形的全等问题

[知识]：

①直角三角形特有的HL判定定理；②SAS、AAS、ASA、SSS（转化为HL）也是完全适用直角三角形的，不要忘记；③同（等）角的余角相等应用非常广泛（重点）.

例1、如图，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，求证：

△BCE是直角三角形.

例2、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．求证：

AF⊥BE．

例3、如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD.问△BHD≌△ACD？

九、等腰三角形、等边三角形的全等问题

[知识]：

①等腰三角形腰相等且底角相等，等边三角形三边相等

且三个底角都是60度，即“等边对等角，等角对等边”；

②如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之也成立.

例、如图1、2、3，过点A分别作两个个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE.求证BD=CE.

练习、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：

AE=CG.

题型：

全等三角形在实际生活中的应用

例1如图所示，太阳光线AC和A′C′是平行的，同一时刻两个建筑物在太阳下的影子一样长，那么建筑物是否一样高？

说明理由．（注：

太阳光线可看成是平行的）

三、主要竞争者分析

6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？

巩固1某游乐场有两个长度相同的滑梯，要想使左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF的水平方向的长度DF相等，则两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小必须满足什么关系？

说明理由．

自制性手工艺品。

自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。

近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。

2、Google网站www。

people。

com。

cn

附件

（二）：

民族性手工艺品。

在饰品店里，墙上挂满了各式各样的小饰品，有最普通的玉制项链、珍珠手链，也有特别一点如景泰蓝的手机挂坠、中国结的耳坠，甚至还有具有浓郁的异域风情的藏族饰品。

4、如果学校开设一家DIY手工艺制品店，你是否会经常去光顾？

（3）年龄优势

5、你认为一件DIY手工艺制品在什么价位可以接受？

（一）创业机会分析