版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形54简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换讲.docx

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版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形54简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换讲

第2课时　简单的三角恒等变换

题型一　三角函数式的化简

1．化简：

＝.

答案　2cosα

解析　原式＝＝2cosα.

2．化简：

＝.

答案　cos2x

解析　原式＝

＝

＝＝＝cos2x.

3．化简：

－2cos（α＋β）．

解　原式＝

＝

＝

＝

＝＝.

思维升华

（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征．

（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

题型二　三角函数的求值

命题点1　给角求值与给值求值

例1

（1）[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]·＝.

答案　

解析　原式＝·

sin80°＝·

cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos（60°－10°）]

＝2sin（50°＋10°）＝2×＝.

（2）已知cos＝，θ∈，则sin＝.

答案　

解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.

因为cos＝>0，θ∈，

所以0<θ<，2θ∈，

根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，

由两角差的正弦公式，可得

sin＝sin2θcos－cos2θsin

＝×－×＝.

（3）已知cos＝，<α<，则的值为．

答案　－

解析　＝

＝

＝sin2α·＝sin2α·tan.

由<α<，得<α＋<2π，又cos＝，

所以sin＝－，tan＝－.

cosα＝cos＝－，sinα＝－，

sin2α＝.

所以＝×＝－.

命题点2　给值求角

例2

（1）设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为（　　）

A.B.

C.D.或

答案　C

解析　∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，

∴cosα＝－，sinβ＝，

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.

又α＋β∈（π，2π），∴α＋β∈，∴α＋β＝.

（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，则2α－β的值为．

答案　－

解析　∵tanα＝tan[（α－β）＋β]

＝＝＝>0，

∴0<α<.

又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，

∴tan（2α－β）＝＝＝1.

∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

∴2α－β＝－.

引申探究

本例

（1）中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.

答案　

解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，

∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝×－×＝.

又0<α＋β<π，∴α＋β＝.

思维升华

（1）给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．

（2）给值求角问题：

先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．

跟踪训练1　

（1）已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝.

答案　

解析　∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，

则（2sinα－3cosα）·（sinα＋cosα）＝0，

又∵α∈，sinα＋cosα>0，

∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，

∴cosα＝，sinα＝，

∴

＝＝＝.

（2）已知sinα＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则β＝.

答案　

解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.

又sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝.

又sinα＝，所以cosα＝，

所以sinβ＝sin[α－（α－β）]

＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）

＝×－×＝.

所以β＝.

题型三　三角恒等变换的应用

例3（2017·浙江）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x－2sinxcosx（x∈R）．

（1）求f的值；

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

解　

（1）由sin＝，cos＝－，得

f＝2－2－2××＝2.

（2）由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，

得f（x）＝－cos2x－sin2x＝－2sin.

所以f（x）的最小正周期是π.

由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

思维升华三角恒等变换的应用策略

（1）进行三角恒等变换要抓住：

变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．

（2）把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．

跟踪训练2（2018·浙江绍兴六校质检）已知函数f（x）＝mcosx＋sin的图象经过点P.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若f（α）＝，α∈，求sinα的值．

解　

（1）由题意可知f＝，即＋＝，解得m＝1.

所以f（x）＝cosx＋sin＝cosx＋sinx

＝sin，

由正弦函数的性质得，－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由f（α）＝，得sin＝，

所以sin＝.又α∈，

所以α＋∈，sin＝<，

所以α＋∈，

所以cos＝－＝－.

所以sinα＝sin＝×－×＝.

化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin（ωx＋φ）型的函数；研究y＝Asin（ωx＋φ）型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．

例已知函数f（x）＝4tanx·sin·cos－.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间上的单调性．

解　

（1）f（x）的定义域为.

f（x）＝4tanxcosxcos－

＝4sinxcos－

＝4sinx－

＝2sinxcosx＋2sin2x－

＝sin2x＋（1－cos2x）－

＝sin2x－cos2x＝2sin.

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）因为x∈，

所以2x－∈，

由y＝sinx的图象可知，当2x－∈，

即x∈时，f（x）单调递减；

当2x－∈，即x∈时，f（x）单调递增．

所以当x∈时，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．

1．若sin＝，则cos等于（　　）

A．－B．－C.D.

答案　A

解析　cos＝cos

＝－cos＝－

＝－＝－.

2．4cos50°－tan40°等于（　　）

A.B.

C.D．2－1

答案　C

解析　原式＝4sin40°－

＝＝

＝

＝＝＝.

3．已知sin2α＝，tan（α－β）＝，则tan（α＋β）等于（　　）

A．－2B．－1C．－D.

答案　A

解析　由题意，可得cos2α＝－，则tan2α＝－，tan（α＋β）＝tan[2α－（α－β）]＝＝－2.

4．在斜三角形ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由题意知，sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC＝－cosBcosC，

在等式－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－，

又tan（B＋C）＝＝－1＝－tanA，

即tanA＝1，因为0

5．函数f（x）＝3sincos＋4cos2（x∈R）的最大值等于（　　）

A．5B.C.D．2

答案　B

解析　由题意知f（x）＝sinx＋4×

＝sinx＋2cosx＋2＝sin（x＋φ）＋2，

其中cosφ＝，sinφ＝，

∵x∈R，∴f（x）max＝＋2＝，故选B.

6．若函数f（x）＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于（　　）

A.B．－C.D．－

答案　B

解析　f（x）＝5cosx＋12sinx

＝13＝13sin（x＋α），

其中sinα＝，cosα＝，由题意知θ＋α＝2kπ－（k∈Z），

得θ＝2kπ－－α（k∈Z），

所以cosθ＝cos＝cos

＝－sinα＝－.

7．若cos＝，则sin2α＝.

答案　－

解析　由cos＝，可得cosα＋sinα＝，

两边平方得（1＋2sinαcosα）＝，∴sin2α＝－.

8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝.

答案　

解析　∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）

＝cos2α＝，又α∈，∴2α∈（0，π），

∴sin2α＝＝，

∴cos＝cos2α－sin2α

＝×－×＝.

9．（2019·宁波调研）定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝.

答案　

解析　由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β）＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，

故cos（α－β）＝＝，

而cosα＝，∴sinα＝，

于是sinβ＝sin[α－（α－β）]＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）

＝×－×＝.

又0<β<，故β＝.

10．函数f（x）＝sinx－2sin2x的最小值是．

答案　－1

解析　f（x）＝sinx－

＝2sin－1，

又≤x≤，∴≤x＋≤，

∴f（x）min＝2sin－1＝－1.

11．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值．

解　由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.

∴tan（α＋β）＝＝＝1.

∵α∈，β∈，∴<α＋β<，∴α＋β＝.

12．（2018·浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.

（1）求sin（α＋π）的值；

（2）若角β满足sin（α＋β）＝，求cosβ的值．

解　

（1）由角α的终边过点P，

得sinα＝－.

所以sin（α＋π）＝－sinα＝.

（2）由角α的终边过点P，得cosα＝－.

由sin（α＋β）＝，得cos（α＋β）＝±.

由β＝（α＋β）－α，

得cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，

所以cosβ＝－或cosβ＝.

13．（2018·浙江镇海中学期中）圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作两条直线分别交圆于A，B两点，且∠APB＝，则|PA|2＋|PB|2的取值范围为．

答案　（3,6]

解析　在△ABP中，由正弦定理得

＝＝2r＝2，

r为△ABP的外接圆半径．设∠PBA＝θ，θ∈，

又∠APB＝，所以∠PAB＝－∠PBA＝－θ，

PA＝2sinθ，PB＝2sin.

|PA|2＋|PB|2＝4sin2θ＋4sin2

＝3＋2sin2θ＋2sinθcosθ

＝4＋sin2θ－cos2θ＝4＋2sin，

因为θ∈，所以2θ－∈，

所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为（3,6]．

14．在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f（A）＝2sinsin＋sin2－cos2，则f（A）的最大值为．

答案　

解析　f（A）＝2cossin＋sin2－cos2

＝sinA－cosA＝sin，

因为0

所以当A－＝，即A＝时，f（A）有最大值.

15．已知sin（π－α）＝sin，cos（π－α）＝cos，且α，β∈（0，π），则α＝，β＝.

答案　　

解析　由已知得

∴sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝.

又β∈（0，π），由②知cosα>0，∴cosα＝，

又α∈（0，π），∴α＝.将α＝代入①得cosβ＝－，

又β∈（0，π），∴β＝.

16．已知函数f（x）＝2sinxcosx－2cos2x＋1（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（2）若f（x0）＝，x0∈，求cos2x0的值．

解　

（1）由f（x）＝2sinxcosx－2cos2x＋1，

得f（x）＝（2sinxcosx）－（2cos2x－1）

＝sin2x－cos2x

＝2sin，

所以函数f（x）的最小正周期为π.

易知f（x）＝2sin在区间上为增函数，

在区间上为减函数，

又f（0）＝－1，f＝2，f＝－1，所以函数f（x）在上的最大值为2，最小值为－1.

（2）∵2sin＝，

∴sin＝.

又x0∈，

∴2x0－∈，

∴cos＝.

∴cos2x0＝cos

＝coscos－sinsin

＝×－×＝.