253 用频率估计概率讲义 教师版.docx
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253用频率估计概率讲义教师版
第25章概率初步
25.3用频率估计概率
学习要求
1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率,学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程.
2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时,会转化成某种“替代”实际调查的简易方法.
知识点一:
利用频率估计概率
例1.在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表,由表估计该麦种的发芽概率是( )
试验种子数n(粒)
50
200
500
1000
3000
发芽频数m
45
188
476
951
2850
发芽频率
0.9
0.94
0.952
0.951
0.95
A.0.8B.0.9C.0.95D.1
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时,种子发芽的频率趋近于0.95,所以估计种子发芽的概率为0.95.
【解答】解:
∵种子粒数3000粒时,种子发芽的频率趋近于0.95,
∴估计种子发芽的概率为0.95.
故选C.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
变式1.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如下的表格,则符合这一结果的实验最有可能的是( )
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
B.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
C.抛一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是5
D.抛一枚硬币,出现反面的概率
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右,再分别计算出四个选项中的概率,然后进行判断.
【解答】解:
A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
,不符合题意;
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”的概率是
,符合题意;
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是5的概率为
,不符合题意;
D、抛一枚硬币,出现反面的概率为
,不符合题意,
故选B.
【点评】本题考查了利用频率估计概率:
大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相等时,一般通过统计频率来估计概率.
变式2.在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个.小颖做摸球实验.她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回,不断重复上述过程,多次试验后,得到表中的数据数据,并得出了四个结论,其中正确的是( )
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
70
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.75
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602
A.试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6
B.从该盒子中任意摸出一个小球,摸到白球的概率为0.6
C.当试验次数n为2000时,摸到白球的次数m一定等于1200
D.这个盒子中的白球定有28个
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】观察表格发现:
随着试验次数的逐渐增多,摸到白球的频率越来越接近0.6,据此求解即可.
【解答】解:
观察表格发现:
随着试验次数的逐渐增多,摸到白球的频率越来越接近0.6,
故选B.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
部分的具体数目=总体数目×相应频率.
变式3.某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率.在同样条件下,大量地对这种幼树进行移植,并统计成活情况,计算成活的频率.如下表:
移植总数(n)
成活数(m)
成活的频率(
)
10
8
0.80
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.89
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
所以可以估计这种幼树移植成活的概率为( )
A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用多批次计算求平均数的方法.
【解答】解:
=(0.80+0.94+0.870+0.923+0.883+0.89+0.915+0.905+0.897+0.902)÷10≈0.9,
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.
故选D.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比
变式4.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小李做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据:
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
63
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.63
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
(1)请估计:
当实验次数为5000次时,摸到白球的频率将会接近 0.6 ;(精确到0.1)
(2)假如你摸一次,你摸到白球的概率P(摸到白球)= 0.6 ;
(3)试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少只?
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】
(1)计算出其平均值即可;
(2)概率接近于
(1)得到的频率;
(3)白球个数=球的总数×得到的白球的概率,让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数.
【解答】解:
(1)∵摸到白球的频率为(0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601)÷7≈0.6,
∴当实验次数为5000次时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)∵摸到白球的频率为0.6,
∴假如你摸一次,你摸到白球的概率P(白球)=0.6.
(3)盒子里黑颜色的球有40×(1﹣0.6)=16.
【点评】本题比较容易,考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
部分的具体数目=总体数目×相应频率.
变式5.某射击运动员在相同条件下的射击160次,其成绩记录如下:
设计次数
20
40
60
80
100
120
140
160
射中九环以上的次数
15
33
63
79
97
111
130
射中九环以上的频率
0.75
0.83
0.80
0.79
0.79
0.79
0.81
(1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全(射中9环以上的次数为整数,频率精确到0.01);
(2)根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1),并简述理由.
【考点】X8:
利用频率估计概率;W7:
方差.
【专题】32:
分类讨论.
【分析】根据频数的计算方法计算即可.
【解答】解:
(1)48,0.81;
(2)P(射中9环以上)=0.8
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近,所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8.
【点评】本题比较容易,考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
变式6.小明和小亮做游戏,他们利用地上的图案(如图),蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子,掷中阴影区域小明赢,否则小亮赢,掷到圈外不算.下表是游戏中统计的二组数据.
掷中圈内的区域次数m
100
150
200
500
800
1000
落在”阴影”区域的次数n
73
114
151
374
601
750
落在”阴影”区域的频率
0.73
0.76
0.755
0.748
0.751
0.75
(1)估计石子落在“阴影”区域的概率约为多少;
(2)小明、小亮获胜的机会分别约为多大?
(3)若圆的半径为1,试估计地上该图案(不包括圆)的面积.
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】
(1)大量试验时,频率可估计概率;
(2)根据概率的大小进行判断;
(3)利用概率,求出圆的面积比上总面积的值,计算出阴影部分面积.
【解答】解:
(1)1000次时,本组实验次数最多,频率可代表概率,石子落在“阴影”区域的概率约为0.75.
(2)投到阴影部分的概率大,小明赢的概率大.
(3)圆的面积为π,
=0.25,
解得,s总=4π,
s阴影=4π﹣π=3π.
【点评】本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比.
知识点二:
概率与频率的关系
例2.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【专题】1:
常规题型.
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答.
【解答】解:
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
∴D选项说法正确.
故选:
D.
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识,大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率.
变式1.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图,则符合这一结果的实验可能是( )
A.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
B.抛一枚硬币,出现正面的概率
C.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率
D.任意写一个整数,它能被2整除的概率
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】根据统计图可知,试验结果在0.33附近波动,即其概率P≈0.33,计算四个选项的概率,约为0.33者即为正确答案.
【解答】解:
A、掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率为
,故此选项错误;
B、掷一枚硬币,出现正面朝上的概率为
,故此选项错误;
C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概率是:
=
≈0.33;故此选项正确;
D、任意写出一个整数,能被2整除的概率为
,故此选项错误.
故选:
C.
【点评】此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.
变式2.有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形,在每一扇形内均标有不同的自然数,如图所示.转动转盘A、B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向下方的扇形).
(1)小明同学转动转盘A,小华同学转动转盘B,他们都转了30次,结果如下:
指针停靠的扇形内的数字
1
2
3
4
5
6
出现的次数
x
18
6
5
10
15
(i)求出表中x的值.
(ii)计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率;
(2)小明转动A盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为十位数字,小华转动B盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为个位数字,用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”(记为事件A)的概率.
【考点】X8:
利用频率估计概率;X6:
列表法与树状图法.
【分析】
(1)(i)根据表所给的数据得用30减去2、3出现的次数,即可求出x;
(ii)根据数字为2的扇形与整个圆的面积之比即可求出;
(2)根据题意列表即可求出所得的两位数为5的倍数的概率.
【解答】解:
(1)
(i)根据表所给的数据得:
x=30﹣18﹣6=6;
(ii)∴A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率是:
=
;
(2)列表如下:
A
B
1
2
3
4
14
24
34
5
15
25
35
6
16
26
36
所以所得的两位数为5的倍数”(记为事件A)的概率是:
P(A)=
;
【点评】此题考查了利用频率估计概率;解题的关键是要熟悉列表法;用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.
变式3.某商场设立一个可以自由转动的转盘,并规定:
顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据:
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“三等奖”的次数m
68
105
141
345
564
701
落在“三等奖”的频率
0.68
0.70
0.71
0.69
(1)计算并完成表格;
(2)画出获得“三等奖”频率的折线统计图;
(3)假如你去转动该转盘一次,根据这次实验的结果,我们可以估计出现“三等奖”的概率大约是 0.70 .
【考点】X8:
利用频率估计概率;V9:
频数(率)分布折线图.
【分析】
(1)根据频率公式可以计算空格要填的数据;
(2)根据
(1)中所求,得出获得“三等奖”频率的折线统计图即可;
(3)根据计算出的频率求出平均值即为转盘的次数n很大概率的接近值..
【解答】解:
(1)
≈0.71,
≈0.70;
(2)如图所示:
(3)当转动转盘的次数n很大时,概率将会接近(0.68+0.70+0.71+0.69+0.71+0.70)÷6≈0.70.
故答案为:
0.70.
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比.部分的具体数目=总体数目×相应频率.频率接近于理论上概率的值.
变式4.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
20
50
100
200
500
1000
击中靶心频数m
19
44
91
179
454
905
击中靶心频率m/n
(1)计算并填写表中击中靶心的频率;(结果保留三位小数)
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率估计值是多少?
(结果保留两位小数)
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】
(1)根据表格中所给的样本容量和频数,求比值算出击中靶心的频率,填入表中.
(2)用频率来估计概率,频率一般都在0.90左右摆动,所以估计概率为0.90,这是概率与频率之间的关系,即用频率值来估计概率值.
【解答】解:
(1)进球的频率分别为
=0.950、
=0.880、
=0.910、
=0.895、
=0.908、
=0.905,
(2)由于击中靶心的频率都在0.90左右摆动,故这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.90.
【点评】本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比.
拓展点一:
试验元素个数的确定问题
例3.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球,这a个球中只有3个红球,若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则a的值约为( )
A.12B.15C.18D.21
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出方程求解.
【解答】解:
由题意可得,
×100%=20%,
解得,a=15.
故选:
B.
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.
变式1.在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球,这些球中有4个红球,每次将球摇匀后任意摸出一个球,记下颜色再放回纸箱中,通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在
,因此可以估算出m的值大约是( )
A.8B.12C.16D.20
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出等式解答.
【解答】解:
根据题意得,
=
,
解得,m=20.
故选D.
【点评】本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:
频率=所求情况数与总情况数之比.
变式2.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的乒乓球共有20个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%,则口袋中白色球的个数很可能是( )
A.3个B.4个C.10个D.16个
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【专题】11:
计算题.
【分析】利用频率估计概率,可得到摸到红色、黑色球的概率为5%和15%,则摸到白球的概率为80%,然后根据概率公式可计算出口袋中白色球的个数.
【解答】解:
根据题意得摸到红色、黑色球的概率为5%和15%,
所以摸到白球的概率为80%,
因为20×80%=16(个),
所以可估计袋中白色球的个数为16个.
故选D.
【点评】本题考查了利用频率估计概率:
大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.
变式3.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出100黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,则这袋黄豆原来有( )
A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【专题】11:
计算题.
【分析】黄豆的频率为
,利用大量反复试验时,频率接近于概率,可得
,即可求出原黄豆的数量.
【解答】解:
设原黄豆数为x,则
染色黄豆的概率为
解得x=450.
故选C.
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
变式4.一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球,这些球除颜色外都相同,某课外学习小组做摸球试验,将求搅均匀后从张任意摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,不断重复,获得数据如下
摸球次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率
(1)计算并填写表中摸到白球的频率;
(2)当摸球次数很大时,摸到的白球的频率估计值是多少?
(3)若已知袋中有白球24个,试估计袋中红球的个数.
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】
(1)用摸到白球的次数除以摸球的总次数即可求得摸到白球的频率;
(2)大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率,据此求解;
(3)利用估计的概率和概率公式求得袋中红球的个数即可.
【解答】解:
(1)填表如下:
摸球次数n
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数m
116
192
232
590
968
1202
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.61
0.60
(2)观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.60附近,
故摸到白球的频率估计值为0.60;
(3)设袋中有红球x个,
根据题意得:
=0.6,
解得:
x=16.
答:
袋中有红球16个.
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识,解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率.
变式5.根据表格完成问题.
每批实验粒数n
1
1
40
100
200
1000
2000
2500
3000
发芽粒数m
1
0
32
90
168
961
1920
2400
2883
发芽的频率
1
0
0.8
0.9
0.84
0.961
0.96
0.96
0.961
(1)将表格填写完整.
(2)估计播种1粒该麦种,其发芽的概率约是多少?
(3)若实际需要15000棵麦苗,则需要多少粒麦种?
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】
(1)根据发芽粒数除以实验总数=发芽频率直接计算即可;
(2)看发芽频率逐渐稳定到哪个常数附近,概率就为多少;
(3)用实际需要的麦苗数除以发芽的频率即可求得所需麦子数.
【解答】解:
(1)
每批实验粒数n
1
1
40
100
200
1000
2000
2500
3000
发芽粒数m
1
0
32
90
168
961
1920
2400
2883
发芽的频率
1
0
0.8
0.9
0.84
0.961
0.96
0.96
0.961
(2)发芽的频率逐渐稳定到常数0.96附近,故发芽的概率为0.96;
(3)15000÷0.96=15625,
答:
若实际需要15000棵麦苗,则需要15625粒麦种.
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识,解题的关键是了解大量重复试验中,事件发生的频率可以估计概率.
变式6.一个不透明的袋中放进若干个白球,现在想要知道这些白球的数目,小明用了如下的方法:
将20个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中,将红球与袋中的白球充分搅匀后,再从袋中随机摸球,每次共摸10个球放回,共摸20次,求出红球与10的比值,然后计算出平均值,得到摸到红球的概率是8%,求原来袋中约有多少个白球.
【考点】X8:
利用频率估计概率.
【分析】根据口袋中加入20个白球,利用红球在总数中