运筹学课件第五章整数规划.docx
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运筹学课件第五章整数规划
第五章整数规划
、学习目的与要求
1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;
2、掌握求解0――1规划问题的隐枚举法；
3、掌握求解指派问题的匈牙利法。
二、课时9学时
第一节整数规划的数学模型及解的特点
整数规划IP（integerprogramming）:
在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题（slackproblem）:
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整
数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划（integerlinearprogramming）。
一、整数线性规划数学模型的一般形式
n
max（或min）z八cjxj
ja
"n
ZaijXj<（或=,或X）bi（i=1,2,…,m）
j=1
s.t.」XjX0（j=1,2，…,n）
X-X2,…,xn中部分或全部取整数
I
整数线性规划问题可以分为以下几种类型
1、纯整数线性规划（pureintegerlinearprogramming）:
指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划（mixedintegerlinerprogramming）:
指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分
可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划（zero—oneintegerlinerprogramming）：
指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的例子
例1某服务部门各时段（每2h为一时段）需要服务员的人数见下表。
按规定，服务员连续工作8h（即
四个时段为一班）。
现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
服务员最少数目
10
8「
9
11
P13
8
5
3
解：
设在第j时段开始上班的服务员的人数为x。
问题的数学模式略。
例2现有资金总额为B。
可选择投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和Cj（j=1，2，,，
n）。
此外由于种种原因，有三个附加条件：
若选择项目1就必须选择项目2。
反这则不一定；第二，项
目3和项目4中至少选择一个；第三，项目5、项目6和项目7恰好选择两个。
应当怎样选择投资项目，才能使预期收益最大？
解：
每一个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，为此令
项目j投资
项目j不投资
（j=1,2,,n）
这样，问题可表示为
n
maxz八cjXj
j2
严n
ZajXj=B
j三
X2兰Xi
S.t.X5+X6+X7=2
Xj=0或1（j=1,2,…，n）
例3工厂Ai和A2生产某种物资。
由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。
相应的建厂方案有A3和A4两个。
这种物资的需求地有Bi，B2,B3，B4四个。
各工厂年生产能力、各地所需求量、各厂至各
需求地的单位物资运费Cij（i,j=i,2,,,4）见下表。
B1
B2
B3
B4
生产能力
（kt/年）
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
需求量（kt/年）
350
400
300
150
A3
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。
现要决定应该建设工厂
还是A4,才能使今后每年的总费用（即全部物资运费和新工厂生产费用之和）最少？
解：
这是全个物资运输问题，其特点是事先不能确定应该建A3或A4中哪一个，因而不知道新厂投产
后的实际生产费用。
引入0—1变量
1若建工厂A3
y=<
0若建工厂a4
再设Cij为由Ai运往Bj的物资数量（i,j=1,2,,,4），单位是千吨，z表示总费用。
问题数学模型为
44
minz-、q刍y1200（1-y）1400
ji
送\=350
i1
4
Z£=400
i丄
4
送金=300
i亠
4
瓦仏=150
i丄4
s.t.X[j=400
i丄
工X2j=600
4
送X3j=200y
4
XX4j=200（1—y）
i丄
XjjK0（i,j=1,2,3,4）,y=0或1
三、整数规划的解的特点
相对于松弛问题而言，二者之间既有联系，又有本质的区别
（1）整数规划问题的可行域是其松弛问题的一个子集
（2）整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解
（3）一般情况下，松弛问题的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，是最优解
（4）
甚至也不
对松弛问题的最优解中非整数变量简单的取整，所得到的解不一定是整数规划问题的最优解,
一定是:
整数规划问题的可行解
（5）求解还是要先求松弛问题的最优解，然后用分支定界法或割平面法。
例4考虑下面的整数规划问题：
max=x14x2
考虑纯整数规划问题
第二节解纯整数规划的割平面法
n
maxz八cjXj
j=i
ZaijXj旳（i=1,2,…,m）
j壬
s.t.«Xj30（j=1,2，…，n）
Xi,X2，…,Xn取整数
I
设其中aij（i=1,2,,,m,j=1,2,,,n）和b（j=1,2,,,n）皆为整数。
纯整数规划的松驰问题是一个线性规划问题，可以用单纯形法求解。
在松驰问题的最优单纯形表中,
记Q为m个基变量的下标的集合,
K为n-m个非基变量的下标的集合，则m个约束方程可表示为
而对应的最优解X*=（/*,x2*
T
Xn*）
，其中
bjjEQ
Xj*=«
0j乏K
若bj皆为整数，则此解就是纯整数规划的最优解。
否则不是原整数规划最优解。
割平面法基本思路：
通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中,
将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。
每次增加的新的约束条件应当具备两个基本性质：
一是已获得的不符合整数要求的线性规划最优解不
满足线性约束条件，从而不可能在以后的解中再出现；二是凡整数可行解均满足线性约束条件，因而整数最优解始终被保留在每次形成的线性规划可行域中。
为此若bi0（i。
•Q）不是整数，在
（1）式中的约束方程为
Xi。
•a-jXj
（2）
j&
其中xi0,Xj（j€K）应为整数，按bi0（i°EQ）不是整数，ai0,j可能是整数也可能不是整数。
分解ai0,j和bi0成两个部分。
一部分是不超过该数的最大整数，另一部分是余下的小数。
即
a.,j=Nio,j-fio,j,Nio,jbi。
=Ni°fio,Nio：
：
fio-1
（2）式变为
Xi0'Ni0，jXj-Ni0二fi0-'fi°,jXj
j:
KjIK
因此有fi一送fiiXj<0，即
j-K
-7fio，jXj<-fio（3）
jWK
上式满足上面要求的两个性质（证明见书P128）。
实际解题时，经验表明若从最优单纯表中选择具有最大（小）数部分的非整分量所在行构造割平面约
束条件，往往可以提高切割效果，减少切割次数。
例5用割平面法解整数规划问题
maxz=3Xi
-X2
3x1
-2x2
<3
5x1
+4x2
>10
<2Xi
+X2
<5
Xi,X2
I
>0且为整数
解：
将原整数规划问题称为原问题Ao,不考虑整数条件的松驰问题为问题Bo,求解过程如下:
1.用单纯形法求解Bo,得最优单纯形表
Cj
3
-1
0
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
3
X1
13/7
1
0
1/7
0
2/7
-1
X2
9/7
0
1
-2/7
0
3/7
0
X4
31/7
0
0
-3/7
1
22/7
Cj-Zj
0
0
-5/7
0
-3/7
2.求一个割平面方程
在最终表上任选一个含有不满足整数条件基变量的约束方程。
若选X!
，则含X!
的约束方程为：
13..6
_7x3_7X5
上式加入松驰变量X6得
Cj
3
-1
0
0
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
3
X1
13/7
1
0
1/7
0
2/7
0
-1
X2
9/7
0
1
-2/7
0
3/7
0
0
X4
31/7
0
0
-3/7
1
22/7
0
0
X6
-6/7
0
0
-1/7
0
-3/7
1
Cj-Zj
0
0
-5/7
0
-3/7
0
13
7X3_"FX5X6
6
7
3、将上述约束方程重新组合。
用对偶单纯形法解新线性规划
3
X1
1
1
0
0
0
0
1
-1
X2
5/4
0
1
0
-1/4
0
-5/4
0
X3
5/2
0
0
1
-1/2
0
-11/2
0
X5
7/4
0
0
0
1/4
1
-3/4
Cj-Zj
0
0
0
-1/4
0
-17/4
113
—4X4~4X6X7——~
类似的得新割平面约束条件
再解新线性规划得
Cj
31
-1
0
0
0
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
3
X1
1
1
0
0
0
0
1
0
-1
X2
2
0
1
0
0
0
-1
-1
0
X3
4
0
0
1
0
0
-5
-2
0
X5
1
0
0
0
0
1
-1
1
0
X4
1
0
0
0
1
0
1
-4
Cj-Zj
0
0
0
0
0
-4
-1
得最优解。
割平面法解整数规划问题的基本步骤
第一步：
用单纯形法解松弛问题，得到最优单纯形表。
第二步：
求一个割平面方程，加到最优单纯形表中，用对偶单纯形法继续求解。
第三步：
若没有得到整数最优解，则继续作割平面方程，转第二步。
第三节分支定界法
分枝定界法是一种隐枚举法或部分枚举法，它不是一种有效算法，是枚举法基础的改进。
分枝定界法的关键是分支和定界。
分支定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划，如果求得的最优解不符合整数条件，则增加
新约束一一缩小可行域；将原整数规划问题分支一一分为两个子规划，再解子规划的伴随规划……，最后
得到原整数规划的伴随规划。
这就是所谓的分支”
所谓定界”是在分支过程中，若某个后继问题恰巧获得整数规划问题的一个可行解，那么，它的目标函数值就是一个界限”，可以作为衡量处理其它分支的一个依据。
分支”为整数规划最优解的出现创造了条件，而定界”则可以提高搜索的效率。
例用分支定界法求解整数规划问题
maxz=
石+X2
9
5i
Xi
+——X2
<—
i4
i4
J
i
-2x1
+X2
<-
3
x1,x^0且为整数
解：
记整数规划为（IP），它的松驰问题为（LP）。
（1）首先解该整数规划的松驰问题为（LP），如图所示，用图解法
不符合整数要求，可任选一个变量，如Xi=3/2进行分支。
由于最接近3/2的整数是1和2,因而可以构造
两个约束条件Xi>2和Xi<1,分别并入原来的约束条件，形成两个分支Si、Si,松驰问题分别记为（LPi）、
（LP2）。
（LPi）其最优解为X*=（2,23/9）'图中点B,Z*=4i/9;（LP2）其最优解为X*=（i,7/3）；图中点C,Z*=i0/3;都不整数解，因4i/9>7/3，优先Si分枝。
因X2=23/9，进行分支。
由于最接近23/9的整数是2和3，因而可以构造两个约束条件X2>3和
2,分别并入原来的约束条件，形成两个分支Sii、Si2，松驰问题分别记为（LPii）、（LPi2）。
（LPii）其最
优解为为空；（LPi2）其最优解为X*=（33/i4,2）'图中点D,Z*=6i/i4;不是整数解。
E（3,1）
因xi=33/14，进行分支。
由于最接近33/14的整数是2和3,因而可以构造两个约束条件xi>3和Xi<2,分别并入原来的约束条件，形成两个分支Si21、Si22，松驰问题分别记为（LPi21）、（LP122）。
（LP121）
其最优解为X*=（3,1）'图中点E，Z*=4；（LP122）其最优解为X*=（2,2）'图中点F，Z*=4。
因此有两个最优解，分别是（2，2）、（3，1），最大值为4。
分支定界法的计算步骤
第一步：
计算原问题目标函数值的初始上界
第二步：
计算原问题目标函数值的初始下界
第三步：
增加约束条件将原问题分支
第四步：
分别求解一对分支
第五步：
修改上、下界
第六步：
比较上、下界大小，如有上界=下界，停止计算，找到最优解，否则转3
第四节o—1型整数规划
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量（logicalvariable），常被用来表示系统是否处于某一特定状态,
或者决策时是否取某个方案。
1当决策取方案P时
X=<
10当决策不取方案P时
X.
当问题含有多项要素，而个要素的两种选择时，可用一组0—1变量来描述。
‘1若Ej选择Aj
Xj='0若Ej不选择Aj（j=1,2,…，心
一、0—1型整数规划的典型应用问题
例1:
背包问题：
一个登山队员，他需要携带的物品有：
食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、
通信器材等。
每种物品的重量合重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员
所应携带的物品。
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材
通信设备
重量/Kg
5
5
2
6
12
2
4
重要性系数
20
15
18
14
8
4
10
解：
引入0—1变量x,Xi=1表示应携带物品i,,Xi=0表示不应携带物品I
maxz=20xt亠15x2亠18x3亠14x4亠8x5亠4x§亠10x7
5人+5x2+2x3+6X4+12x5+2x6+4x7兰25xi=0或1,i=1,2,...,7
上述问题就是一个标准的整数规划问题，解法。
。
。
。
。
。
。
。
比较每种物品的重要性系数和重量的比值，比值大的物品首先选取，直到达到重量限制
解得：
X*=（1,1,1,1,0,1,1）'Z*=81
例2:
集合覆盖和布点问题
某市消防队布点问题。
该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但
必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min内赶到现场。
据实地测定，各区之间消防车行驶
的时间见表，请制定一个布点最少的计划。
地区1
地区2
地区3
地区4
地区5
地区6
地区1
0
10
16
28
27
20
地区2
10
0
24
32
17
10
地区3
16
24
0
12
27
21
地区
4
28
32
12
0
15
25
地区
5
27
17
27
15
0
14
地区
6
20
10
21
25
14
0
解：
弓I入0—1变量x,xi=1表示在该区设消防站，，x=0表示不设
min
X
Z=Xt
+x2
+x2+x3+x
4+X5*X6
>1
X1
+x2
+X6
>1
X3+X4
>1
*
X3+X4
+X5
>1
X4
+X5+X6
>1
X2
+X5+X6
>1
x
i=1或0
解得：
X*=（0,1,0,1,0,0）'Z*=2
二、特殊约束的处理
1•含有相互排斥约束条件的问题：
建模时，有时会遇到相互矛盾的约束，而模型只能两者取一，例如下面两个约束
f（x）一3-0
（1）
f（x）<0
（2）
这时引入一个0—1变量y,及一个很大的正数M，原式可化为：
-f（x）3-My（3）
f（x）-M（1-y）（4）
y=0时，
（1）与⑶相同，（4）自然满足，实际上不起作用
y=1时，⑷与⑵相同，（3）自然满足，实际上不起作用
对于形似f（x）Za（a》0），可以用以下一对约束代替
f（x）_a
f（x）_-a
引入0—1变量后，约束可改为
—f（x）a_My
f（x）•a_M（1-y）
2.从p个约束条件中恰好选择q个的问题
模型希望在下列p个约束中，恰在此时好有q个约束有效：
n
、aijXjj吐
引入p个0—1整数变量yi,i=1,2,…p
则上式可改写为:
（i=1,2,…，p）
'1若选择第i个约束条件
yi=」
0若不选择第i个约束条件
n
aijXj込biMyi
j丄
-p（i二1,2,…，p）
yi二p-q
i三
三、隐枚举法求解小规模0-1规划问题
例1隐枚举法求解小规模0-1规划问题
max
z
=3x<,-2x2
+5x
3
乂
+
2x2-
X3
<
2
&
+
4x2+
X3
<
4
+
X2
<
3
4x2+
X3
<
6
ix1
_3
=0或1
解：
（1）先用试探的方法找出一个初始可行解，如X1=1,X2=X3=0
则Xo=（1,O,O）'Zo=3
（2）对原有约束增加一个过滤条件，加到原约束条件中
3X1-2X25X3_3
（3）再求解上述问题
按照枚举法得思路，依次检查各种变量得组合。
每找到一个可行解，求出它的目标函数乙,Z1>Zo,则
将过滤条件换成Z1。
求解过程见下表，表中
（1）,
（2）,（3）,（4）为原问题得约束条件，（5）为增加的过滤条件，"X”代表不满足约
束，"V”代表满足条件，空格代表不需要计算。
占
八、、
过滤条件
约束
Z值
（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
3x^-2x2+5X3色3
（0,0,0）
X
（0,0,1）
V
V
V
V
V
5
3Xt—2x2+5x3狂5
（0,1,0）
X
（0,1,1）
X
（1,0,0）
X
（1,0,1）
V
V
V
V
V
8
3Xt_2x2+5x3工8
（1,1,0）
X
（1,1,1）
X
这种对过滤条件的改进，可以减少计算量。
注：
一般常重新排列Xi的顺序使目标函数中Xi的系数是递增（不减）的，在上例中，改写
z=3x1-2x25x3--2x23x15x3
因为—2,3,5是递增的，变量（x2,x1,x3）也按下述顺序取值：
（0,0,0）,（0,0,1），•这样，最优解容易比较早
的发现，再结合过滤条件的改进，更可使计算简化。
例隐枚举法求解小规模0—1规划问题
minz=3x_,亠7x2—x3亠x4
2x^-2x2十x3—x431
x^-x2+6x3+4x4K8
<5Xt十3x2十x435
Xt」=0或1
解：
采用上例的方法解此例共需36次运算，为了进一步减少运算量，按目标函数中各变量系数的大小顺
序重新排列各变量，以使最优解有可能较早出现。
对于最大化问题，可按由小到大的顺序排列，最小化问题则相反。
本例可写为：
minz=7x2亠3xt亠x4—x3
-X2+
2X1—
X4+
21
_X2+
X1+
4x4+
6x3启8
3x2+
5X!
+
X4
>5
=0或1
由于本题过滤条件不好选，所以开始不设过滤条件
占
八、、
过滤条件
约束
Z值
（X2,X1,X4,X3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（0,0,0,0）
X
（0,0,0,1）
V
X
（0,0,1,0）
X
（0,0,1,1）
X
（0,1,0,0）
V
X
（0,1,0,1）
V
X
（0,1,1,0）
V
X
（0,1,1,1）
V
V
V
3
（1,0,0,0）
X
（1,0,0,1）
X
（1,0,1,0）
X
（1,0,1,1）
X
（1,1,0,0）
X
（1,1,0,1）
X
（1,1,1,0）
X
（1,1,1,1）
X
此例的最优解X*=（0,1,1,1）'m
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