等差等比数列知识点总结.docx
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等差等比数列知识点总结
等差、等比数列知识点总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)JINGBIAN
一、任意数列的通项“”与前“项和s“的关系:
色=9
is”-S,I(“>2)
一箸差数寿||
匸、等差数列及等差中项定义
“”一畑=〃、為=%;%°
2、等差数列的通项公式:
“”=5+(九-1)〃、an=ak+(n-k)d
当"0时,“”是关于n的一次式;当〃=0时,绻是一个常数。
3、等差数列的前”项和公式:
=严)S,严巴匸氏/
22
4、等差数列仏”}中,若m+n=p+q>贝9am+an=ap-\-aq
5、等差数列仏”}的公差为d,则任意连续川项的和构成的数列S,八S2,”-S,”、S'jSg、……仍为等差数列。
6、Sn=An2+Bn,d=2A9=A+B
7、在等差数列{“”}中,有关S”的最值问题
利用S“(〃工0时,S”是关于"的二次函数)进行配方(注意”应取正整数)
三、等比数列
1>等比数列及等比中项定义:
心c2
一=q、①=c”+i
an-\
2、等比数列的通项公式:
~=叩"5=%"
3、等比数列的前”项和公式:
当4=1时,S,严叫
当9工1时,»=5(1一厂)=
l_q\-q
4、等比数列{〜}中,若m+n=p+q,则am-an=ap-ag
5、等比数列S”}的公比为q,且恥0,则任意连续〃?
项的和构成的数列S,”、Sg-Sm、S齐-Sz……仍为等比数列
6、sn=Aqn+B,贝|JA+B=O
四、求数列{£}的最大的方法:
a”》«n+l
五、求数列{"”}的最小项的方法:
5§如
例:
己知数列{“”}的通项公式为:
“”=-2朋+25-3,求数列{“”}的最大项。
例:
己知数列{心}的通项公式为:
g=9罟“,求数列{〜}的最大项。
数列求和方法总结
1、公式法
(1)等差数列
s,严晋i+心)
2
(2)等比数列
⑶12+22+32+...+/72
(1)111
n(n+l)nn+\
⑵yjn+\+y[ii
=\ln+\-Vn;
n(n+l)(2n+l)
6
(4)l3+23+33+...+n3
例仁求1+4+7+…+(3x+l)的值
例2、求%+"+/x"的值
例3、求12+22+32+---+W2的值
2、分组求和法
类型:
数列S}的通项公式形如an=bn±Cn9而⑹}是等差数列,{G}是等比数列。
例4:
计算丄+3丄+5丄的值b(2”・l)丄
2482"
练习:
已知数列仏}的通项an=2n-2n^3,求前5项和£练习:
求数列的前n项和Sn:
1,11
1,1+-,1+-+-
224
3>裂项相消法常见裂项技巧:
1);
⑶(2/?
-1)(277+1)=2'2n-12n+1
1]]11111
4-71VS)+^x/322/zVh+X«--W*
练习求s”=
丄+丄+丄+…+1的值.
1x33x55x7(2n-l)x⑵?
+1)
4.倒序相加法
特点:
ax+①一]=a2+q一2=他+勺一3=…
例5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin‘88°+sin289%
例6、1、已知f(x)=,
2v+>/2
设s”=/(—)+/(—)+/(—)+•••+/(—)‘求s”nnnn
5、错位相减法
常应用于形如{6.加}的数列求和,其中{如为等差数列,{bn}为等比数列.
例7、S“=2+5x2+8x22+…+(3料・1)・2心
练习:
:
=2+5x丄+8x(丄)?
+…+(3”・1)・(丄)
"222
(2)1+—!
—+—!
—+…+!
;
1+21+2+31+2+3+・・・+”(3)4+7x4+10x4'+…+(3〃+l)・4"T
练习:
数列仪」的前九项和为么产1,如产2S〃+1(n>l)
(1)求数列{"”}的通项公式"”
(2)等差数列{仇}的各项为正数,且方2=5,乂at+blfa2+b2fa3+b3成等比数列,求b”
(3)求数列{%・"}的前〃项和7;
数列通项公式方法总结
1、公式法
等差数列的通项公式:
an=6/|+(n_1)〃a”=am+(/?
一m)d
等比数列的通项公式:
aH=5厂
2、累加法
类型:
an+l-an=f(n)(neN)
例1、%=an+2n+bax=1,求州
例2、="“+3"-2,=1,求心
例3、“卄]=an+3W,a}=1,求①
3、累乘法
类型:
虹=/(,,)(„eA^)
例4、~+|=2"%①=3,求a”
A?
+1
练习:
a{=1,色+]=an,求色
n
4、利用S“求心
S]弄=1
fl,,=k-5„_1,H>2
例4:
Sn=3"+1,求〃”
练习:
S”=扣”-1)("N*)
J
(4)、数列{勺}的前n项和为Sn,且q=l,«,I+1=^Sn,/?
=1,2,3
求偽,偽4的值及数列{an}的通项公式.
5、取倒数
Pan
例5、终"求①
例6、已知数列{呦中,01=1,an+i+3on+ian-an=0/求数列仙}的通项公式.
6、取对数
类型:
«n+1=A<
例7、%=4:
,“1=2,求a”
7、构造法
主要用于形如an.i=can+d的已知递推关系式求通项公式。
例8>ai=3fan^i=2an+3,求an
练习:
⑴%产扫+*,“1=1,利
(2必+i=6an+9,aj=1,求心
练习:
心,"总^求色
力+1=
勺+1=2an+2,4[=1,求°”"“+1=如+3"二“严1,求〜
(5)、数列{心}中舛是它的前畀和,并且满足»+i=如“+2(/1wN»),d]=1
⑴设化=略厂迥,求证仇}是等比数列;⑵设c”=扌,求证数列{c”}是等差数列.
(6)、己知数列{勺}的首项幻=3,通项叫与前“项和片之间满足如=片・》_[(〃22)・求数列{〜}的通项公式.
8、特征根法
形如务严皿十砂淇中p,q为常数)型
例9、£+1=5+%一"1=1皿2=2,求〜
例10、Un+1=%一%1,幻=—2=2,求色
方法总结:
若方程有两个根“宀,贝!
K=4斗+血;
若方程只有一个根小,则知=(4+加)瑞
练习、叫+1=加“+&<“-1,“1=1,“2=2,求4”
练习、=%-9勺_1“=1皿2=2,求厲
设p,q为实数,a,0是方程x2-px+q=0的两个实根,数列{旺}满足x,=/?
x2=p2-qf
兀=以一1一舛2(72=34,…)•
(1)证明:
a+/3=p,a/3=q;
(2)求数列{"}的通项公式;
(3)若p=\,q=-求{兀}的前"项和S”・
”若計
[例1]已知数列a}满足q=1,an=ax+2a2
+3色+・・・+(〃一I)%.】(77>2),贝lj%=・
an=再+2a=++…+(n—l)q一】(n>2)
勺-i=a\+2ai++…+(n-2)①J5A3)
①一%=(n一1)%(n>3)
-=n(n>3)%
1,/?
=1
Ix2x3x・・・xn
【例2】已知数列{〜}、[bn]满足a.=l,色=3,
孕=2gN)bn=alt+[-aljO
bn
(1)求数列W”}的通项公式;
(2)求数列仏}的通项公式;
(3)数列{cn}满足cn=log2(a“+1)(neyV)>
_p.c111
求S”=++…+。
c©C3C5q«-iqM+1
【解】
(1)・.・如L=2(*NJ,
又勺=a,一q=3-1=2o
所以破列{仇}是首项4=2,公比q=2的等比数列。
故仇二侏r、2”。
(2)an+i-an=2'l(neN^
an=(d”-an_{)+(q,T-®_2)+…+@2一绚)+①1_on
=2心+2心+…+2+1二一=2n-lo
1-2
(3)cn=fog2(an+I)=k)g2(2"-1+1)=log22H=n,
...1_1J1__)
c2m-ic2»+i(2n-l)(2n+l)22/7-12n+l
「111
Sn111
gC3C5
【例10帥数洌帆}中,4=3,%1-2®=0,数列{仇}中,=—(]——+———4—)
「P(/^gS).2/?
—12/7+1
(L)1亦数列呵丄通硕公式;
(II込求锲列+1札}逋颐公式以及前”项的和.
【解】
(1)*.*an+l—2an=0=2(n>1),又q=3,
【例2】已知数列仏}的前”项和为S”,若①冷且
an+2S„•S”t=0(m>2)・
(I)求证{丄}是等差数列,并求出©的表达式;
(II)若bn=2(\-n)an(n>2),求证b;+Z?
{+•+/?
;<1.
(I)证明:
VSn=a}+a2+--+an
・••当fi^2时,cin—Sn—Sa-i又a„4-25w5n-i=0
••S“-Sh+2SQt=0(心2),若Sn=0,则an=0,
「•di=0与di=丄矛盾!
2
•••£¥0,S—iH0・
_J_+2=oW±-
=2
1
S?
S]
弋}是首项为2,公差为2的等差数列
由⑴知数列宙是等差数列・
・•・—=2+02-1)-2=277即》=丄
・••当心2时=Sn-
又当加=1时,S]=G]=—
2
(II)证明:
2n
]_]I
2/72(“一1)2n(n-1)
](H=1)
2
ci=<
“1
S>2)
2〃(〃一1)
由(II)知饥=2(1-町・1
=-(/!
>2)
2/1(1-n)n
••b;+b;1-b~=—7H—+…—-
・3"2232n2
111
<+…+
1x22x3(n-1)/:
门1、JI、/11、
=(1一朮+£-了)+・・+(—7一—)223n-1n
=I——<1
n
[例2]已知点(1丄)是函数/'(x)=a\a>0,且a工1)的图象上一点.等比数列a}的前〃项和为e)-c,数列他}(®>0)的首项为C,且前“项和S”满足S„-S”“=妊+际(心).
(1)求数列{勺}和{仇}的通项公式;
⑵若数列{丄}的前〃项和为G问满足7;>b扎'
般的最小正整数〃是多少?
【解】
(1)
1o
5=.f(l)-c=§-c,&2
(2)-c]-[y⑴-c]=-->
7
偽=[/⑶-c]-[/
(2)-c]=-—.
_4
又数列{〜}成等比数列,6/,=^-=^=--=l-C,所以C=\;
ci.L33
•••S厂(何-禹7)(何+尺卜阳尺(心)
又•:
Js“_]=1;
数列{妊}构成一个首相为1公差为1的等差数列,
=l+(?
7-l)xl=7?
sn=n2
当/?
>2,bn=Sn-5n_,=n1-(7i-1)2=2n-1;
/.bn=2n-l(ne);
(2)
T=1111
咆丛b&b扎、
1111
而+茹+丽+…+(2h_1)x(2/2+1)
1
1、
1
(\V
1
<11]
\(11)
1
+一
+一
+・•・1
2
<3>
2
<35>
2
<57)
2V2/7-12/7+1丿
1
(
1]
n
1-
•
♦
22/t+l)2/z+1
山丁H1000徂1000
由盜=>得n>,
12/?
+120099
满足7;>型2的最小正整数为112."2009
【变式2】等比数列{%}的前〃项和为S”,已知对任意的neN+,
点(n,,均在函数y=bx+r(b>0且bHl,b,r均为常数)的图像上。
(1)求厂的值;
(2)当b=2时,记仇=匕乜(nwAT),求数列{$}的前斤项和7;。
仇
因为对任意的nwM,点(»,为),均在函数y=bx+r的图像上,
当〃=1时,卩=§=b+厂,
当nX2日寸,陽二S“一S“t=bn+r-旷+r)=bn-b'^=(b-1)“心,
又因为{©}为等比数列,所以r=-l,公比为b,
所以a>l=(b-
(2)当^时,仔(Z)宀2=爪筈k罟^需
/?
+1
734
贝|JT=+—H74h]
n222-242,,+|
1-234n/?
+1
—I——+—+—+•••++
2"2324252/,+,2,,+2
I口卄ZH1-21111n+\
相减,得㊁人=尹+尹+尹+歹+・・・+时_刁莎
丄C1\_12,%'2"-"〃+1_31n+\
n+12"+2
——-4————
2]_丄2/,+242
_2
m、if31n+13〃+3
所以人=厂歹一尹=厂尹。
【变式训练】已知数列{和满足:
S“=l—a“(gN+),其中S”为数列
{為}的前九项和.
(1)试求{偽}的通项公式;
(2)若数列{仇}满足:
bn=-(n^N+),试求{仏}的前斤项和公式几・CLn
解析:
⑴=1-如①
•Si+1=1一a”♦1.②
②一①得=一务$1十禺.・'・。
屮1禺©-NJ.
又当n=1U'hG[=1-=y.
•4
-
(2)由⑴得bfl=-=n^(n^N+).Uh
AL?
=1X2+2X22+3X23HnX2\③
A27;z=1X22+2X23+3X24HnX2n+i@
③一④得一Tn=2+22+23H2"—比X2"+i
1-2
【例1]设各项均为正数的数列{如}和{儿}满足:
给、仇、d曲成等差数列,5、如、仇+1成等比数列,且ai=l,b\=2,Q2=3,求通项巾”bn.
【解】依题意得:
2几+1=如+如2①
"2卄1=Z小②
丁如、九为正数,
由②得6+1=J2Q+],d”+2=J»>”+2,代入①并同除以应;得:
2阳二扬+J石・•・{庙}为等差数列.
T",八仇为正数,
由②得al1+l=J$Q+],%2=血+仇+2,代入①并同除以応得:
2応丁+応,・•・{城}为等差数列.
9
Vb\=2化=3,a}=blb2^则/?
?
=-,
2
•■-庙=d+("_l)谄-血)=¥("+1),.•.仇=(";»,
••.当心2时,"际=響,
又如二1,当"二1时成立,・°・a=
“2
【例3】已知点几仏九)(/2EN+)都在直线门j=2x+2上P1为直线/与兀轴的交点,数列仏}成等差数列,公差为1・
(1)求数列仏},{®}的通项公式;
(2)若加)=W伪鷲f,问是否存在"N+,使得f(k+5)=
[久⑺为偶数)
为仗)一2成立;若存在,求出k的值,若不存在,说明理由。
(3)求证:
—+—+・・・+—<|-(F&2/WN+)
昭朋P&
(1)—0)
・•・沟二一1,bx=0,^=-1+1=0,・:
巧=2,_片=2,
an=^+(/?
-l)4=-l+n-l=n-2,bn—bx+(n—1)-2=2h—2
(2)若氐为奇数,则f(k)=ak=k-2,f伙+5)=仪+5=2k+8,
•・・2k+8=2k-4一2无解,:
.这样的k不存在;若氐为偶数,
则f(k)=2k-29/仗+5)勻1+3,+3=4氐一4一2,q=3k,班=3(舍去)无解.
⑶PR=(n-2+l,2n-2)=(Z?
-1,2/2-2)
2
...軒可=0—1)2+40—1)2=5(71—1)2
=5卜”^1?
12
<5(1+1)=>(
0
12+1x2+2x3+…+(—2)(—1)
・・・〃三2,〃一1三1)
【例2】已知数列{砒的前〃项和鯨=2〃2+2儿数列{Q的前”项和爲=2—九
⑴求数列“/与您}的通项公式;
⑵设C尸a:
b护证明:
当且仅当心3时,◎+产
⑴解归=比=丄
对于畀N2,有殘=£—$滋_丄=2"(〃+1)—2(”一1)〃=4仏综上他}的通项公式碍=也
将tt—L代入心=2—妇,得。
1=2—如,故巧=S=JL
(求0』法_对于“M2,
(求珞)法二对于"M2,
由几=2—珞得几=2—(几一
27L=2+7^-i?
Tn—2=亍(匚-丄一2)°心2),
爲_2=2丄一刃(珀_2)=_2丄—笃
点=2—2一,心=爲一爲_]=(2—2一)一(2—2一)=2—.综上,{财的通项公式妇=2丄-巴
(2)证明法一由◎=/叮仇="21厲
当且仅当"33时,
即爲+产
法二由爲=“/・劣=泪2一巴得
&十厂爲=24p[(*+jL)2—2用]=24—件一("一1)2+2].
当且仅当心3时,Q+丄一d<0,
即5<飭・【例1】已知单调递增的等比数列{砒满足兔+碍+©=28,
且°3+2是@r耳的等聾中项・
⑴求数列他}的通项公式;
(2)若加=“log扌如久=方1+心b”对任意正整数
Hy5„+(11!
<0恒成立y
试求加
的取值范围.
解
(1)设等比数列{幅的首项为血,公比为@・依题意,有2(巾3十2)="2十"4
代入“2+“3+心=28,得血=8.
.丄_巾.归攻+心『=20,
•—2(),••I
1血=32.
1"3="1犷=&
解得
又闯单调递增’彳拄
(2)九=2叫log討=一.公,
:
.-ya=lx2+2X22+3X2$+…+〃x2笃①.\-2x$;=1X22+2X23+3X24+.^+(h—l)X2«+//X2ff+1,②①一②,得3;=2+2?
+23+…+2花一“X2卄丄
\)_"X2n+l=2n^L—nX2""—2.
由S;+(〃+加)心“<0,
得+//X2n+1+mX2w+1<0对任意正整数
H恒成立,
52讣2—2小,即加吉_1对任意正整数n恒成立.
1>—1,:
小£一1,
即加的取值范围是(一8,-1],