等差等比数列知识点总结.docx

1、等差等比数列知识点总结等差、等比数列知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI) JINGBIAN一、任意数列的通项“”与前“项和s“的关系：色= 9is” - S,I （“ 2）一 箸差数寿|匸、等差数列及等差中项定义“”一畑=、為=%；% 2、 等差数列的通项公式:“”=5+（九-1）、an =ak +（n-k）d当0时，“”是关于n的一次式；当=0时，绻是一个常数。3、 等差数列的前”项和公式：= 严）S,严巴匸氏/2 24、 等差数列仏”中，若 m + n = p + q 贝9 am + an = ap-aq5、 等差数列仏”的公差为d,则任意连续川项的和构成的

2、数列S,八S2,”-S,”、 SjSg、仍为等差数列。6、 Sn = An2 + Bn, d = 2A9 = A + B7、 在等差数列“”中，有关S”的最值问题利用S“（工0时，S”是关于的二次函数）进行配方（注意”应取正整数）三、 等比数列1等比数列及等比中项定义：心 c 2一 =q、=c”+ian-2、 等比数列的通项公式：=叩5=%3、 等比数列的前”项和公式：当4 = 1时，S,严叫当9工1 时， = 5（1一厂）=l_q -q4、 等比数列中，若m + n = p + q ,则am -an =ap-ag5、 等比数列S”的公比为q,且恥0,则任意连续?项的和构成的数列S,”、Sg-

3、Sm、 S齐-Sz仍为等比数列6、 sn =Aqn+B,贝|JA + B = O四、 求数列的最大的方法:a”n+l五、 求数列”的最小项的方法：5 如例：己知数列“”的通项公式为：“”=-2朋+25-3,求数列“”的最大项。例：己知数列心的通项公式为：g = 9罟“，求数列的最大项。数列求和方法总结1、公式法(1)等差数列s,严晋i + 心)2(2)等比数列12 + 22 +32 +.+ /72(1) 1 1 1n(n + l) n n + yjn + + yii= ln + - Vn;n(n + l)(2n + l)6(4)l3 + 23 +33 +. + n3例仁 求1 + 4 + 7

4、+ (3x + l)的值例2、求 + +/ x的值例3、求 12+22+32 +-+W2 的值2、分组求和法类型：数列S的通项公式形如an=bnCn9而是等差数列，G是等比数列。 例4：计算丄+ 3丄+ 5丄的值b(2”l)丄2 4 8 2练习:已知数列仏的通项an = 2n-2n3 ,求前5项和 练习：求数列的前n项和Sn：,1 , 1 11, 1 + -, 1+- + -2 2 43裂项相消法 常见裂项技巧:1 )；(2/?-1)(277 + 1) = 2 2n-1 2n +11 1 1 1 114-71 VS)+x/3 2 2/z Vh + X-W*练习求s” =丄+丄+丄+ 1 的值.

5、1x3 3x5 5x7 （2n-l）x ？ + 1）4.倒序相加法特点：ax +一=a2 + q一2 =他+勺一3 =例 5. sin21 +sin2 2 +sin2 3 + + sin 88+sin2 89%例 6、1、已知 f(x) = ,2v + /2设 s” = /()+/()+/()+/() 求 s” n n n n5、错位相减法常应用于形如6 .加的数列求和，其中如为等差数列,bn为等比数列.例 7、S“ =2 + 5x2 + 8x22+ (3料1)2心练习：=2 + 5x丄+ 8x（丄）?+ （3”1）（丄） 2 2 2（2）1+!+!+ ! ；1 + 2 1 + 2 + 3 1

6、 + 2 + 3 + + ” （3）4 + 7x4 + 10x4+ （3 + l）4T练习：数列仪的前九项和为么产1,如产2S+1 (nl)(1)求数列”的通项公式”(2)等差数列仇的各项为正数，且方2=5, 乂 at+blf a2+b2f a3+b3成等比数列，求b”(3)求数列%的前项和7；数列通项公式方法总结1、公式法等差数列的通项公式: an = 6/| + (n _ 1) a” = am + (/? 一 m)d等比数列的通项公式:aH = 5厂2、 累加法类型：an+l - an = f(n)(n e N)例 1、% = an + 2n + b ax = 1,求州例 2、= “ +

7、3 -2, = 1,求心例 3、“卄=an + 3W, a = 1,求3、 累乘法类型:虹=/(,)( e A)例 4、+|=2% =3,求a”A? +1练习：a =1,色+ = an,求色n4、利用S“求心S 弄=1fl，=k-5_1,H2例4： Sn = 3 +1,求”练习：S” =扣” - 1)(N*)J(4)、数列勺的前n项和为Sn，且q=l, ,I+1 =Sn,/? = 1,2,3求偽,偽4的值及数列an的通项公式.5、取倒数Pan例5、终求例6、已知数列呦中，01=1, an+i+3on+ian-an=0/求数列仙的通项公式.6、取对数类型:n+1 = A ai=3fani=2an

8、+3,求 an练习：产扫+*, “1 = 1,利(2必+i = 6an +9, aj = 1,求心练习：心，总求色力+1 =勺+1 = 2an +2，4 = 1，求” “+1=如+3二“严1,求(5)、数列心中舛是它的前畀和，并且满足 +i =如“+2(/1 wN),d =1设化=略厂迥，求证仇是等比数列； 设c” =扌，求证数列c”是等差数列.(6)、己知数列勺的首项幻=3,通项叫与 前“项和片之间满足如=片_( 2 2) 求数列的通项公式.8、特征根法形如务严皿十砂淇中p,q为常数)型例9、+1 = 5 +%一 1 = 1皿2 = 2,求例10、Un+1 = % 一1，幻=2 = 2,求色

9、方法总结：若方程有两个根“宀，贝！K=4斗+血；若方程只有一个根小，则知=（4+加）瑞练习、叫+1=加“+& 2),贝lj% = an =再 + 2a = + + + (n l)q一】(n 2)勺-i = a + 2ai + + + (n - 2) J 5 A 3) 一 = (n 一 1)% (n 3)- = n(n 3) %1 , /? = 1Ix2x3xxn【例2】已知数列、bn满足a.=l,色=3,孕= 2gN)bn=alt+-aljObn(1)求数列W”的通项公式；(2)求数列仏的通项公式；(3)数列cn满足 cn = log 2(a“ +1) (n e yV ) _p. c 1 1

10、1求 S” = + + + 。c C3C5 q-iqM+1【解】(1).如L = 2(*NJ,又勺=a，一q = 3-1 = 2 o所以破列仇是首项4=2,公比q = 2的等比数列。 故仇二侏r、2”。(2)an+i-an=2l(neNan = (d” - an_) + (q,T - _2)+ + 2 一 绚)+ 1 _on=2心 +2心+ 2 + 1 二一 =2n-lo1-2(3)cn = fog2(an +I) = k)g2(2 -1 +1) = log2 2H =n,.1 _ 1 J 1 _ )c2m-ic2+i (2n-l)(2n + l) 2 2/7-1 2n + l 1 1 1Sn

11、 1 1 1 g C3C5【例10帥数洌帆中,4 = 3,%1- 2 = 0,数列仇中, =( + 4 )P (/g S ). 2/? 1 2/7 +1(L)1亦数列呵丄通硕公式;(II込求锲列+1札逋颐公式以及前”项的和.【解】(1) *.* an+l 2an = 0 = 2(n 1),又 q = 3,【例2】已知数列仏的前”项和为S”，若冷且an + 2S S”t = 0(m 2)(I)求证丄是等差数列，并求出的表达式；(II)若 bn =2(-n)an(n2),求证 b； +Z? + + /?； 1 .(I)证明：V Sn=a +a2+- + an当 f i 2 时,cin Sn Sa-

12、i 又 a4-25w5n-i=0 S“-Sh+2SQt=0(心 2), 若 Sn = 0,则 an = 0,di = 0与di =丄矛盾！20, SiH0_J_ + 2 = oW-=21S? S弋是首项为2,公差为2的等差数列由知数列宙是等差数列 = 2 + 02- 1)-2 = 277 即=丄当心2时=Sn -又当加=1时,S = G=2(II)证明:2n_ I2/7 2(“ 一 1) 2n(n - 1)(H = 1)2ci = 2)2( 一 1)由(II)知饥=2(1 -町1= -(/! 2)2/1(1 - n) n b； + b； 1- b = 7 H + - 3 22 32 n21 1

13、 1 + + 1x2 2x3 (n -1)/:门 1、 JI、 / 1 1、=(1一 朮 + -了)+ +(7一) 2 2 3 n -1 n=I 0,且a工1)的 图象上一点.等比数列a的前项和为e)-c,数 列他( 0)的首项为C,且前“项和S”满足S -S”“ =妊+际(心).(1)求数列勺和仇的通项公式;若数列丄的前项和为G问满足7； b扎般的最小正整数是多少?【解】(1)1 o5 =.f(l)-c = -c ,&2 (2)-c-y-c=-7偽=/-c-/(2)-c = -._4又数列成等比数列，6/,=- = = - = l-C，所以C = ；ci. L 3 3 S厂（何-禹7）（何+

14、尺卜阳尺（心）又:Js“_ = 1；数列妊构成一个首相为1公差为1的等差数列,=l+(?7-l)xl=7? , sn =n2当 /?2， bn = Sn - 5n_, = n1 -(7i -1)2 = 2n -1 ;/. bn = 2n-l(n e );(2)T = 1 1 1 1 咆丛b& b扎、1 1 1 1而 + 茹 + 丽 + +(2h_1)x(2/2 + 1)11、1( V11 1( 1 1 )1 + 一+ 一+ 1 222 得n ,1 2/? + 1 2009 9满足7； 型2的最小正整数为112. 2009【变式2】等比数列%的前项和为S”，已知对任意的n e N+ ,点（n,均

15、在函数y = bx+r（b 0且bHl,b,r均为常数）的图像上。（1）求厂的值；（2）当b=2时，记仇=匕乜（nwAT）,求数列$的前斤项和7；。 仇因为对任意的n w M,点（,为）,均在函数y = bx + r的图像上，当 =1时,卩= = b +厂,当 n X 2 日寸，陽二 S“一 S“t = bn + r-旷 + r） = bn - b =（b- 1）“心,又因为为等比数列，所以r = -l,公比为b,所以 al =（b-(2)当时，仔(Z)宀2=爪筈k罟需/? + 17 3 4贝 |J T = + H 7 4 h n 22 2- 24 2,+|1- 2 3 4 n /? +1I

16、+ + + + + 2 23 24 25 2/,+, 2,+2I口卄 ZH 1 - 2 1 1 1 1 n + 相减，得人=尹+尹+尹+歹+时_刁莎丄C 1 _ 1 2, % 2- +1 _ 3 1 n + n+1 2+2-4 2 _丄 2/,+2 4 2_2m、i f 3 1 n + 1 3 + 3所以人=厂歹一尹=厂尹。【变式训练】已知数列和满足：S“=la“(gN+),其中S”为数列為的前九项和.(1)试求偽的通项公式;(2)若数列仇满足:bn=-(nN+)，试求仏的前斤项和公式几 CLn解析：= 1-如Si +1 = 1 一 a” 1.一得= 一务$1十禺.。屮1 禺 - NJ.又当

17、n = 1 Uh G = 1 - = y. 4-(2)由得 bfl=-=n(nN+). UhAL? = 1 X2 + 2 X 22 + 3 X 23H nX2 A27；z=1 X22+2X23+3X24H nX2n+i一得一Tn=2+22 + 23H 2比 X2+i1-2【例1设各项均为正数的数列如和儿满足： 给、仇、d曲成等差数列，5、如、仇+1成等比数列, 且 ai = l, b=2 , Q2 = 3 ,求通项巾” bn .【解】依题意得：2几+1 =如+如2 2卄1 = Z小 丁如、九为正数，由得 6+1= J2Q+ ,d”+2 = J”+2， 代入并同除以应；得：2阳二扬+ J石 庙为

18、等差数列.T ，八仇为正数，由得 al1+l = J$Q+ ,%2 =血+仇+2 ， 代入并同除以応得：2応丁 +応, 城为等差数列., 9V b = 2 化=3 , a = blb2则/?=-,2- 庙= d + （_l）谄-血）=（ + 1）,.仇=（；，.当心2时，际=響，又如二1, 当二1时成立， a =“ 2【例3】已知点几仏九）（/2 EN+）都在直线门j=2x+2上P1为直 线/与兀轴的交点，数列仏成等差数列，公差为1（1） 求数列仏,的通项公式；（2） 若加）=W伪鷲f，问是否存在N+，使得f（k+5）=久为偶数）为仗）一2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。（3）

19、求证： + + + |-（F&2/WN+）昭朋 P&(1) 0)沟二一1, bx =0, =-1+1=0, ：巧=2, _片=2,an =+(/?-l)4=-l+n-l=n-2 , bn bx +(n1)-2 = 2h2(2)若氐为奇数， 则 f(k)= ak=k-2,f 伙 + 5)=仪+5 = 2k + 8,2k+8=2k- 4 一 2无解，:.这样的k不存在; 若氐为偶数，则f(k)=2k-29 /仗+5)勻1+3,+3=4氐一4一2， q=3k,班=3(舍去)无解.PR = (n-2 + l,2n - 2) =(Z? -1,2/2 - 2)2.軒可=0 1)2 + 40 1)2=5(7

20、11)2=5 卜”1?1 2(012+1x2 + 2x3 +(2)(1)三2,一1三1)【例2】已知数列砒的前项和鯨=22+2儿 数列Q的前 ”项和爲=2九求数列“/与您的通项公式；设C尸a：b护证明：当且仅当心3时，+产解归=比=丄对于畀N2,有殘=$滋_丄=2(+1)2(”一 1)=4仏 综上他的通项公式碍=也将ttL代入心=2 妇,得。1=2 如，故巧=S=JL(求0法_ 对于“M2,（求珞）法二对于M2,由几=2珞得几=2（几一27L=2 + 7-i? Tn2=亍（匚-丄一2）心2）,爲_2=2丄一刃（珀_2）=_2丄笃点=22一，心=爲一爲_=（22一）一（22一）=2. 综上，财的

21、通项公式妇=2丄-巴（2）证明法一由=/叮仇=21厲当且仅当33时，即爲+产法二由爲=“/劣=泪2一巴得&十厂爲=24p（*+jL）22用=24件一（一1）2+2.当且仅当心3时，Q+丄一d0,即5飭 【例1】已知单调递增的等比数列砒满足兔+碍+=28,且3 + 2是 r耳的等聾中项求数列他的通项公式；（2）若加=“log扌如 久=方1+心 b”对任意正整数Hy 5+(11 !0 恒成立y试求加的取值范围.解（1）设等比数列幅的首项为血，公比为 依题意，有2（巾3十2） = 2十4代入“2+“3+心=28,得血=8.丄_巾.归攻+心=20， 2（）, I1血=32.13 = 1犷=&解得又闯单调递增彳拄(2)九=2叫log討=一.公,:.-ya=lx2 +2X22 +3X2$+ +x2笃 .-2x$；=1X22+2X23+3X24+.+(hl)X2+/X2ff+1, 一，得3；=2+2?+23+2花一“X2卄丄)_ X2n+l=2nLnX 22.由 S；+（+加）心“0,得 +/X2n+1+mX2w+11,:小一1,即加的取值范围是（一8, -1,