综上,≤a≤.(16分)
20.
(1)解:
因为n≥3且n∈N*时,a1a2+a2a3+…+an-1an=λ(n-1)a1an恒成立,
所以n=3时,a1a2+a2a3=2λa1a3 (*).
因为数列{an}各项都不为0,
所以(*)式两边同除以a1a2a3,得=+.(1分)
因为,,成等差数列,则=+.(2分)
比较得=,所以λ=1.(3分)
(2)证明:
①当λ=1,n=3时,a1a2+a2a3=2a1a3 (i),整理,得+=,
则-=- (ii).(4分)
当n=4时,a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4 (iii).
(iii)-(i),得a3a4=3a1a4-2a1a3,得=-.
又+=,所以-=- (iv).(5分)
当n≥3时,a1a2+a2a3+…+an-1an=(n-1)a1an,
a1a2+a2a3+…+an-1an+anan+1=na1an+1,
两式相减,得
anan+1=na1an+1-(n-1)a1an.
因为an≠0,所以=-,(6分)
所以=-,所以-=-,
整理,得+=,即-=-(n≥3) (v).(7分)
由(ii)(iv)(v),得-=-对任意的正整数n≥1恒成立,(8分)
所以数列{}成等差数列.(9分)
②设数列{}的公差为d,令cn=,c1==c(c≠0),则b1=c1=c,b2=c2=c+d,d=c2-c1=b2-b1=cq-c.
当i=2时,b3=c2=b2,从而q=1,b2=b1,得a1=a2,与已知不符.(10分)
当i=3时,由b3=c3,cq2=c+2d=c+2c(q-1),得q2=1+2(q-1),
得q=1,与已知不符.(11分)
当i=1时,由b3=c1,cq2=c,得q2=1,则q=-1(上面已证q≠1)为整数.
数列{bn}为c,-c,c,…;在数列{cn}中,c1=c,c2=-c,公差d=-2c.
数列{bn}每一项都是{cn}中的项(c=c1,-c=c2).(12分)
当i≥4时,由b3=ci,cq2=c+(i-1)d=c+(i-1)c(q-1),得q2-(i-1)q+(i-2)=0,
得q=1(舍去),q=i-2(i≥4)为整数.(14分)
因为cq=c+d,b3=ci,
对任意的正整数k≥4,欲证明bk是数列{cn}中的项,只需
bk=cqk-1=ci+xd=b3+x(cq-c)=cq2+x(cq-c)有正整数解x.
等价于qk-1=q2+x(q-1),x=为正整数.
因为x==表示首项为q2,公比为q=i-2(i≥4),
共k-3(k≥4)项的等比数列的和,所以x为正整数.
因此,{bn}中的每一项都是数列{cn}也即{}中的项.(16分)
2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.解:
因为AA-1=,则有=,(2分)
即a=1,b=,c=-,则A=,(5分)
则A2==.(10分)
B.解:
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得M(2,0,)N(3,),
则直线l:
y=(x-2),(2分)
曲线C:
(x-2)2+(y+)2=4,圆心为(2,-),半径r=2,
则圆心到直线l的距离d==,(6分)
则直线l被曲线C截得的弦长为2=.(10分)
C.证明:
因为a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,由柯西不等式,得
[(b+c)+(c+a)+(a+b)](++)
=[()2+()2+()2][()2+()2+()2]
=(++)2(5分)
=(a+b+c)2=22,(8分)
则++≥==1.
所以++≥1.(10分)
22.解:
因为抛物线方程为y2=4x,所以F(1,0).(1分)
(1)设M(x,y),A(x0,y0).
因为点M为线段AF的中点,则x=,y=,(2分)
则x0=2x-1,y0=2y,代入抛物线方程,得y2=2x-1,
即点M的轨迹方程为y2=2x-1.(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0,
设△AOB和△BOF的面积分别为S1,S2.
因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍,即S1+S2=3S2,所以S1=2S2.
因为S1=OF·y1,S2=OF·|y2|=-OF·y2,则y1=-2y2 ①.(6分)
设直线AB:
x=ty+1(t>0) ②,与y2=4x联立,消去x,得y2-4ty-4=0,
y1,2=2t±2,y1+y2=4t ③,y1y2=-4 ④.(8分)
由①③④可得t=,代入②,得直线l:
y=2(x-1);
同理当y1<0,y2>0时,得直线l:
y=-2(x-1).
综上,直线l的方程为y=±2(x-1).(10分)
23.证明:
(1)当n=1时,a2=a1(a1-1)+1=3=a1+1成立.
假设n=k时,结论成立,即ak+1=akak-1…a2a1+1.
当n=k+1时,ak+2=ak+1(ak+1-1)+1=ak+1(akak-1…a2a1+1-1)+1
=ak+1akak-1…a2a1+1.
则当n=k+1时,命题成立.
综上,an+1=anan-1an-2…a2a1+1.(4分)
(2)要证an+1>nn+1,由
(1)an+1=anan-1an-2…a2a1+1,
只需证anan-1an-2…a2a1>nn.下用数学归纳法证明:
当n=1,2,3时,a1=2,a2=3,a3=7,则2>1,2×3>22,2×3×7>33.
假设n=k(k≥3)时,结论成立,即akak-1ak-2…a2a1>kk,(6分)
则n=k+1时,ak+1ak…a2a1=(akak-1…a2a1+1)akak-1…a2a1
>(akak-1ak-2…a2a1)2>k2k.(7分)
设f(x)=2xlnx-(x+1)ln(x+1)(x≥3),
则f′(x)=ln+1>ln+1=ln(x-1)+1≥ln2+1>0,
所以f(x)为增函数,则f(x)≥f(3)=2(3ln3-2ln4)=2ln>0,
则2klnk>(k+1)ln(k+1),lnk2k>ln(k+1)(k+1),即k2k>(k+1)(k+1).
即ak+1ak…a2a1>(k+1)k+1,则n=k+1时,命题成立.(9分)
综上,anan-1an-2…a2a1>nn,所以an+1>nn+1.(10分)