专题二函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案1.docx

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专题二函数概念与基本初等函数第五讲函数与方程答案1

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程

答案部分

2019年

1.解析：

因为f（x+1）=2f（x），所以f（x）=2f（x-1），

当x∈（0,1]时，f（x）=x（x-1）∈⎡-1,0⎤，

⎣⎢4⎥⎦

当x∈（1,2]时，x-1∈（0,1]，f（x）=2f（x-1）=2（x-1）（x-2）∈⎡-1,0⎤，

⎣⎢2⎥⎦

当x∈（2,3]时，x-1∈（1,2]，f（x）=2f（x-1）=4（x-2）（x-3）∈[-1,0]，

当x∈（2,3]时，由4（x-2）（x-3）=-8解得x=7或x=8，

若对任意x∈（-∞,m]，都有

9

f（x）…-8m„

9，则

33

7

3．

故选B．

2.解析作出函数f（x）与g（x）的图像如图所示，

由图可知，函数f（x）与g（x）=-1（1

2

4,5

8）仅有2个实

数根；

要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，

则f（x）=，x∈（0,2]与g（x）=k（x+2），x∈（0,1]的图象有2个不同交点，

由（1,0）到直线kx-y+2k=0的距离为1，得

|3k|

=1，解得k=

1（k>0），

因为两点（-2,0），（1,1）连线的斜率k=，

3

所以„k<1，

3

k11

即的取值范围为[,）.

3

3.解析：

当x<0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b，最多一个零点；

当x…0时，y=f（x）-ax-b=1x3-1（a+1）x2+ax-ax-b=1x3-1（a+1）x2-b，

3232

y'=x2-（a+1）x，

当a+1„0，即a„

-1时，y'>0，y=

f（x）-ax-b在上递增，y=

f（x）-ax-b

最多一个零点不合题意；

当a+1>0，即a>-1时，令y'>0得x∈（a+1,+∞），函数递增，令y'<0得x∈（0,a+1），

函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数y=

f（x）-ax-b恰有3个零点函数y=

f（x）-ax-b在（-∞,0）上有一个

零点，在[0,+∞）上有2个零点，如下图：

⎧-b>0

b⎪

所以<0且⎨11，

1-a（a+1）3-（a+1）（a+1）2-b<0

⎩32

解得b<0，1-a>0，b>-1（a+1）3．

6

故选C．

2010-2018年

1．C【解析】函数g（x）=f（x）+x+a存在2个零点，即关于x的方程f（x）=-x-a有2

个不同的实根，即函数f（x）的图象与直线y=-x-a有2个交点，作出直线y=-x-a

与函数f（x）的图象，如图所示，

由图可知，-a≤1，解得a≥1，故选C．

2．C【解析】令f（x）=0，则方程a（ex-1+e-x+1）=-x2+2x有唯一解，

设h（x）=-x2+2x，g（x）=ex-1+e-x+1，则h（x）与g（x）有唯一交点，

又g（x）=ex-1+e-x+1=ex-1+

1

ex-1

≥2，当且仅当x=1时取得最小值2．

而h（x）=-（x-1）2+1≤1，此时x=1时取得最大值1，

ag（x）=h（x）有唯一的交点，则a=1．选C．

2

3．B【解析】当0

m

f（x）=（mx-1）2，在[0,1]上单调递减，

函数y=g（x）=+m，在[0,1]上单调递增，因为f（0）=1，g（0）=m，

f

（1）=（m-1）2，g

（1）=1+m，所以f（0）>g（0），f

（1）

（1），此时f（x）与g（x）

在x∈[0,1]有一个交点；当m>1时，0<1<1，函数y=

m

f（x）=（mx-1）2，在

[0,1]

m

1

上单调递减，在[,1]

m

上单调递增，此时f（0）

m

无交点，

要使两个函数的图象有一个交点，需f

（1）≥g

（1），即（m-1）2≥1+m，解得m≥3．

选B．

4．C【解析】当x<0时，f（x）单调递减，必须满足-4a-3…0，故0

2

3

，此时函

4

数f（x）在[0,+∞）上单调递减，若f（x）在R上单调递减，还需3a…1，即a1，所

1

以剟a

3

．当x…0时，函数y=|f（x）|的图象和直线y=2-x只有一个公共点，

34

即当x…0时，方程|f（x）|=2-x只有一个实数解．因此，只需当x<0时，方程

|f（x）|=2-x只有一个实数解，根据已知条件可得，当x<0时，方程x2+（4a-3）x+

3a=2-x，即x2+2（2a-1）x+3a-2=0在（-∞,0）上恰有唯一的实数解．判别式

∆=4（2a-1）2-4（3a-2）=4（a-1）（4a-3），当a=3时，∆=0，此时x=-1满

42

足题意；令h（x）=x2+2（2a-1）x+3a-2，由题意得h（0）<0，即3a-2<0，即

a<2时，方程x2+2（2a-1）x+3a-2=0有一个正根、一个负根，满足要求；当

3

h（0）=0，即a=2时，方程x2+2（2a-1）x+3a-2=0有一个为0、一个根为-2，

33

满足要求；当h（0）>0，即3a-2>0，即2

34

程x2+2（2a-1）x+3a-2=0有两个负根，不满足要求；综上实数a的取值范围是

[1,2]U{3}．

334

5．A【解析】y=cosx是偶函数且有无数多个零点，y=sinx为奇函数，y=lnx既不是奇函数又不是偶函数，y=x2+1是偶函数但没有零点．故选A．

6．D【解析】由韦达定理得a+b=p，a⋅b=q，则a>0,b>0，当a,b,-2适当排序后

成等比数列时，-2必为等比中项，故a⋅b=q=4，b=4．当适当排序后成等差数

a

列时，-2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a=4-2，解得a=1，b=4；

a

当是等差中项时，=a-2，解得a=4，b=1，综上所述，a+b=p=5，

aa

所以p+q=9，选D．

⎧2-x,

7．D【解析】由f（x）=

x≤2,

得f（2-x）=⎪⎧2-2-x,x≥0，

⎩

⎨⎪（x-2）2,

x>2,

⎨

⎪⎩x2,

x<0

⎧2-x+x2,

⎪

x<0

所以y=

f（x）+f（2-x）=⎨4-x-2-x,0≤x≤2，

⎪2-2-x+（x-2）2,x>2

⎧x2+x+2,

⎪

x<0

即y=

f（x）+f（2-x）=⎨2,0≤x≤2，

⎩

⎪x2-5x+8,x>2

y=f（x）-g（x）=

f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4个零点等价

于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数

y=f（x）+f（2-x）的图象的4个公共点，由图象可知7

4

x

8．A【解析】由A知a-b+c=0；由B知f'（x）=2ax+b，2a+b=0；由C知

f'（x）='

bb4ac-b2

2ax+b，令f

（x）=0可得x=-，则f（-

2a

）=3，则

2a4a

=3；

⎧a-b+c≠0

⎪2a+b=0

由D知4a+2b+c=8，假设A选项错误，则⎪2

=

⎧a=5

⎪

，得⎨b=-10，满足

⎪4a3

⎪c=8

⎪⎩4a+2b+c=8

题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．

9．B【解析】如图所示，方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点（2,1）的连续

的斜率，且小于直线y=x-1的斜率时符合题意，故选1

2

O12345

10．C【解析】∵f

（1）=6-log21=6>0，f

（2）=3-log22=2>0，

f（4）=3-log4=-1<0，∴f（x）零点的区间是（2,4）．

222

11．A【解析】g（x）=f（x）-mx-m在（-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数

y=f（x）的图象与函数y=m（x+1）的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函

⎨

⎧1-3,x∈（-1,0]

数f（x）=⎪x+1

⎪⎩x,x∈（0,1]

，和函数y=m（x+1）的图象，如图，

当直线y=m（x+1）与y=

1

x+1

-3,x∈（-1,0]和y=x,x∈（0,1]都相交时

0

2

1

x+1

-3,x∈（-1,0]有两个交点时，

⎧y=m（x+1）1

⎪

由1，消元得

-3=m（x+1），即m（x+1）2+3（x+1）-1=0，

⎨y=-3

x+1

⎩⎪x+1

化简得mx2+（2m+3）x+m+2=0，当∆=9+4m=0，即m=-9时直线

4

y=m（x+1）与y=

1

x+1

-3,x∈（-1,0]相切，当直线y=m（x+1）过点（0,-2）

时，m=-2，所以m∈（-9,-2]，综上实数m的取值范围是（-9,-2]⋃（0,1]．

442

12．D【解析】当x≥0时，函数g（x）的零点即方程f（x）=x-3的根，由x2-3x=x-3，

解得x=1或3；当x<0时，由f（x）是奇函数得-f（x）=f（-x）=x2-3（-x），

即f（x）=-x2-3x，由f（x）=x-3得x=-2-（正根舍去）．

12

13．A【解析】f'（x）=3x2+2ax+b，x,x是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则又两个f（x）使得等式成立，

x1=

f（x1），x2>x1=

f（x1），其函数图象如下：

y

y=x2f（x1）=x1

Ox

如图则有3个交点，故选A.

14．A【解析】由a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，

f（c）=（c-a）（c-b）>0．显然f（a）⋅f（b）<0，f（b）⋅f（c）<0，所以该函数在（a,b）和（b,c）上均有零点，故选A．

15．B【解析】二次函数g（x）=x2-4x+5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为

x=2，g

（2）=1；

f

（2）=2ln2=ln4>1．所以g

（2）<

f

（2），从图像上可知交点

个数为2．

16．B【解析】令f（x）=0，可得log

0.5x=2x

，由图象法可知f（x）有两个零点．

17．B【解析】因为f（x）在[0,+∞）内单调递增，又f（0）=-1<0,f

（1）=1>0，

2

所以f（x）在[0,+∞）内存在唯一的零点．

18．C【解析】f（x）=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+π,k∈Z，又x∈[0,4]，

2

k=0,1,2,3,4所以共有6个解.选C．

19．B【解析】由题意f（-x）=

f（x）知，所以函数f（x）为偶函数，所以

f（x）=

f（2-x）=

f（x-2），所以函数f（x）为周期为2的周期函数，

且f（0）=0，f

（1）=1，而g（x）=|xcos（πx）|为偶函数，

11313

且g（0）=g（）=g（-）=g（）=0，在同一坐标系下作出两函数在[-,]上的图

22222

像，发现在[-1,3]

22

内图像共有6个公共点，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-1,3]上

22

的零点个数为6，故选B．

20．B【解析】由题意知，若x2-2-（x-x2）≤1，即-1≤x≤3时，f（x）=x2-2；当

2

x2-2-（x-x2）>1，即x<-1或x>3时，f（x）=x-x2，要使函数y=

2

f（x）-c的

图像与x轴恰有两个公共点，只须方程f（x）-c=0有两个不相等的实数根即可，即函

数y=

f（x）的图像与直线y=c有两个不同的交点即可，画出函数y=

f（x）的图像与

直线y=c，不难得出答案B．

21．C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式∆>0，即m2-4>0，解得m<-2或m>2，故选C．

22．D【解析】图像法求解．y=

1

x-1

的对称中心是（1,0）也是y=2sinπx（-2≤x≤4）的

中心，-2≤x≤4他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，

则x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，所以选D

23．B【解析】因为当0≤x<2时,f（x）=x3-x,又因为f（x）是R上最小正周期为2的周

期函数，且f（0）=0,所以f（6）=

f（4）=

f

（2）=

f（0）=0,又因为f

（1）=0,

所以f（3）=0,f（5）=0,故函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

7个,选B．

24．C【解析】当x≤0时，令x2+2x-3=0解得x=-3；

当x>0时，令-2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，选C．

25．B【解析】因为f（-1）=2-1-3<0，f（0）=20-0=1>0，所以选B．

26．A【解析】x2+x+m=0有实数解等价于∆=1-4m≥0，即m≤1．当m<1时，

44

111

m≤成立，但m≤时，m<不一定成立，故选A．

444

27．A【解析】f（0）=4sin1>0，f

（2）=4sin5-2，由于π<5<2π，所以f

（2）<0，

故函数f（x）在[0,2]上存在零点；由于f（-1）=4sin（-1）+1<0，故函数f（x）在

[-1,0]上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令x=5π-2∈[2,4]，

4

则f（5π-2）=4sin5π-5π-2>0，而f

（2）<0，

424

所以函数在[2,4]上存在零点，故选A．

28．3【解析】由题意知，cos（3x+π）=0，所以3x+π=π+kπ，k∈Z，

662

所以x=π+kπ，k∈Z，当k=0时，x=π；当k=1时，x=4π；

9399

当k=2时，x=7π，均满足题意，所以函数f（x）在[0,π]的零点个数为3．

9

29．（4，8）【解析】当x≤0时，由x2+2ax+a=ax，得a=-x2-ax；当x>0时，由-x2+2ax-2a=ax，得2a=-x2+ax．

⎧-x2-ax,x≤0

⎩

令g（x）=⎨-x2+ax,x>0，作出直线y=a，y=2a，

函数g（x）的图象如图所示，

a2a2a2

g（x）的最大值为-+=，由图象可知，若f（x）=ax恰有2个互异的实数解，

424

2

则a<<2a，得4

4

30．-3【解析】f'（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）（a∈R），当a≤0时f'（x）>0在（0,+∞）

上恒成立，则f（x）在（0,+∞）上单调递增，又f（0）=1，所以此时f（x）在（0,+∞）内

无零点，不满足题意．当a>0时，由f'（x）>0得x>a，由f'（x）<0得0

33

则f（x）在（0,a）上单调递减，在（a,+∞）上单调递增，又f（x）在（0,+∞）内有且只有

33

aa332

一个零点，所以f（）=-+1=0，得a=3，所以f（x）=2x

327

-

3x

+1，

则f'（x）=6x（x-1），当x∈（-1,0）时，f'（x）>0，f（x）单调递增，当x∈（0,1）时，

f'（x）<0，

f（x）单调递减，则f（x）max=

f（0）=1，

f（-1）=-4，

f

（1）=0，则

f（x）min=-4，所以f（x）在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3．

31．（1,4）；（1,3]U（4,+∞）【解析】若λ=2，则当x≥2时，令x-4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2-4x+3<0，得1

的解集为（1,4）．令x-4=0，解得x=4；令x2-4x+3=0，解得x=1或x=3．因为函数f（x）恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知1<λ≤3或λ>4．

32．8；11【解析】因为z=81，所以⎧x+y=19

⎩5x+3y=73

⎧x=8

，解得．

⎩y=11

33．8【解析】由于f（x）∈[0,1），则需考虑1≤x<10的情况，

在此范围内，x∈Q且x∈D时，设x=q,p,q∈N*,p≥2，且p,q互质，

p

若lgx∈Q，则由lgx∈（0,1），可设lgx=n,m,n∈N*,m≥2，且m,n互质，

m

nq

nqm

因此10m=，则10

p

=（）

p

，此时左边为整数，右边