专题二函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案1.docx

1、专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案1专题二 函数概念与基本初等函数第五讲 函数与方程答案部分2019 年1.解析：因为 f (x +1) = 2 f (x) ，所以 f (x) = 2 f (x -1) ， 当 x (0,1 时， f (x) = x(x -1) - 1 , 0 ， 4 当 x (1, 2 时， x -1 (0,1 ， f (x) = 2 f (x -1) = 2(x -1)(x - 2) - 1 , 0 ， 2 当 x (2, 3 时， x -1 (1, 2 ， f (x) = 2 f (x -1) = 4(x - 2)(x - 3) -1, 0， 当 x

2、(2, 3 时，由4(x - 2)(x - 3) = - 8 解得 x = 7 或 x = 8 ， 若对任意 x (-, m ，都有9f (x)- 8 m9 ，则3 37 3 故选 B2.解析 作出函数 f (x) 与 g(x) 的图像如图所示，由图可知，函数 f (x) 与 g(x) = - 1 (1 x 剟2, 3 x24, 5 x 剟6, 7 0) ， 因为两点(-2, 0) ， (1,1) 连线的斜率k = ， 3所以 k 1 ，3k 1 1即 的取值范围为 , ) .33.解析：当 x 0 ， y =f (x) - ax - b 在 上递增， y =f (x) - ax - b最多一

3、个零点 不合题意；当 a +1 0 ，即a -1 时，令 y 0 得 x (a +1, +) ，函数递增，令 y 0b 所以 0 且1 1 ，1- a (a +1)3 - (a +1)(a +1)2 - b 03 2解得b 0 ， b - 1 (a +1)3 6故选 C2010-2018 年1C【解析】函数 g(x) = f (x) + x + a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f (x) = -x - a 有 2个不同的实根，即函数 f (x) 的图象与直线 y = -x - a 有 2 个交点，作出直线 y = -x - a与函数 f (x) 的图象，如图所示，由图可知， -a 1

4、，解得a 1 ，故选 C2C【解析】令 f (x) = 0 ，则方程a(ex-1 + e- x+1 ) = -x2 + 2x 有唯一解，设 h(x) = -x2 + 2x ， g(x) = ex-1 + e- x+1 ，则h(x) 与 g(x) 有唯一交点，又 g(x) = ex-1 + e- x+1 = ex-1 +1 ex-1 2 ，当且仅当 x = 1 时取得最小值 2而 h(x) = -(x -1)2 +11，此时 x = 1 时取得最大值 1，ag(x) = h(x) 有唯一的交点，则a = 1 选 C23B【解析】当0 g(0) ， f (1) 1时， 0 1 1 ，函数 y =m

5、f (x) = (mx -1)2 ，在0, 1 m1上单调递减，在 ,1m上单调递增，此时 f (0) g(0) ，在0, 1 m无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需 f (1) g(1) ，即(m -1)2 1+ m ，解得m 3 选 B4C【解析】当 x 0 时， f ( x) 单调递减，必须满足- 4a - 3 0 ，故0 a 23，此时函4数 f ( x) 在0, +) 上单调递减，若 f ( x) 在 R 上单调递减，还需3a 1 ，即a 1 ，所1以 剟a3当 x 0 时，函数 y =| f ( x) | 的图象和直线 y = 2 - x 只有一个公共点，3 4即当 x 0 时

6、，方程| f ( x) |= 2 - x 只有一个实数解因此，只需当 x 0 时，方程| f ( x) |= 2 - x 只有一个实数解，根据已知条件可得，当 x 0 时，方程 x2 + (4a - 3)x +3a = 2 - x ，即 x2 + 2(2a - 1)x + 3a - 2 = 0 在(-, 0) 上恰有唯一的实数解判别式 = 4(2a - 1)2 - 4(3a - 2) = 4(a - 1)(4a - 3) ，当a = 3 时， = 0 ，此时 x = - 1 满4 2足题意；令h( x) = x2 + 2(2a - 1)x + 3a - 2 ，由题意得h(0) 0 ，即3a -

7、 2 0 ，即a 0 ，即3a - 2 0 ，即 2 a 3 时对称轴-(2a - 1) 0, b 0 ，当a, b, -2 适当排序后成等比数列时，-2 必为等比中项，故a b = q = 4 ，b = 4 当适当排序后成等差数a列时， -2 必不是等差中项，当 a 是等差中项时， 2a = 4 - 2 ，解得a = 1 ， b = 4 ；a当 是等差中项时， = a - 2 ，解得a = 4 ， b = 1，综上所述， a + b = p = 5 ，a a所以 p + q = 9 ，选 D2 - x ,7D【解析】由 f (x) =x 2,得 f (2 - x) = 2 - 2 - x ,

8、 x 0 ，(x - 2)2 ,x 2,x2 ,x 02 - x + x2 ,x 2x2 + x + 2,x 2y = f ( x) - g( x) =f ( x) + f (2 - x) - b ，所以 y = f (x) - g (x) 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x) + f (2 - x) - b = 0 有 4 个不同的解，即函数 y = b 与函数y = f ( x) + f (2 - x) 的图象的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 4x8A【解析】由 A 知a - b + c = 0 ；由 B 知 f (x) = 2ax + b ， 2a + b = 0 ；由 C

9、知f (x) = b b 4ac - b22ax + b ，令 f(x) = 0 可得 x =- ，则 f (-2a) = 3 ，则2a 4a= 3 ； a - b + c 0 2a + b = 0由 D 知4a + 2b + c = 8 ，假设 A 选项错误，则2= a = 5，得b = -10 ，满足 4a 3 c = 84a + 2b + c = 8题意，故 A 结论错误，同理易知当 B 或 C 或 D 选项错误时不符合题意，故选 A9B【解析】如图所示，方程 f (x) = g(x) 有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y = kx 的斜率大于

10、坐标原点与点(2,1) 的连续的斜率，且小于直线 y = x -1的斜率时符合题意，故选 1 k 0 ， f (2) = 3 - log2 2 = 2 0 ， f (4) = 3 - log 4 = - 1 0 ， f (x) 零点的区间是(2, 4) 2 2 211A【解析】 g(x) = f (x) - mx - m 在(-1,1 内有且仅有两个不同的零点就是函数y = f (x) 的图象与函数 y = m(x +1) 的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函 1 - 3, x (-1, 0数 f (x) = x +1x, x (0,1，和函数 y = m(x +1) 的图象，如图，当直

11、线 y = m(x +1) 与 y =1 x +1- 3, x (-1, 0和 y = x, x (0,1 都相交时0 m 1 ；当直线 y = m(x +1) 与 y =21 x +1- 3, x (-1, 0有两个交点时， y = m(x +1) 1由 1 ，消元得- 3 = m(x +1) ，即m(x +1)2 + 3(x +1) -1 = 0 ， y = - 3 x +1 x +1化简得mx2 + (2m + 3)x + m + 2 = 0 ，当 = 9 + 4m = 0 ，即m =- 9 时直线4y = m(x +1) 与 y =1 x +1- 3, x (-1, 0相切，当直线 y

12、 = m(x +1) 过点(0, -2)时， m = -2 ，所以m (- 9 , -2 ，综上实数m 的取值范围是(- 9 , -2 (0, 1 4 4 212D【解析】当 x 0 时，函数 g(x) 的零点即方程 f (x) = x - 3 的根，由 x2 - 3x = x - 3 ，解得 x = 1 或 3；当 x x1 =f (x1 ) ，其函数图象如下： yy=x2 f(x1)=x1O x如图则有 3 个交点，故选 A.14A【解析】由a b 0 ， f (b) = (b - c)(b - a) 0 显然 f (a) f (b) 0 ， f (b) f (c) 1所以 g(2) f

13、(2) ，从图像上可知交点个数为 216B【解析】令 f (x) = 0 ，可得 log0.5 x = 2x，由图象法可知 f (x) 有两个零点17B【解析】因为 f (x) 在0, +) 内单调递增，又 f (0) = -1 0 ，2所以 f (x) 在0, +) 内存在唯一的零点18C【解析】 f (x) = 0 ，则 x = 0 或cos x2 = 0 ， x2 = k + , k Z ，又 x 0,4，2k = 0,1,2,3,4 所以共有 6 个解.选 C19B【解析】由题意 f (-x) =f (x) 知，所以函数 f (x) 为偶函数，所以f (x) =f (2 - x) =f

14、 (x - 2) ，所以函数 f (x) 为周期为 2 的周期函数，且 f (0) = 0 ， f (1) = 1，而 g(x) =| x cos( x) | 为偶函数，1 1 3 1 3且 g(0) = g( ) = g(- ) = g( ) = 0 ，在同一坐标系下作出两函数在- , 上的图2 2 2 2 2像，发现在- 1 , 32 2内图像共有 6 个公共点，则函数h(x) = g(x) - f (x) 在- 1 , 3 上2 2的零点个数为 6，故选 B 20B【解析】由题意知，若 x2 - 2 - (x - x2 ) 1 ，即 -1 x 3 时， f (x) = x2 - 2 ；当

15、2x2 - 2 - (x - x2 ) 1，即 x 3 时， f (x) = x - x2 ，要使函数 y =2f (x) - c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，只须方程 f (x) - c = 0 有两个不相等的实数根即可，即函数 y =f (x) 的图像与直线 y = c 有两个不同的交点即可，画出函数 y =f (x) 的图像与直线 y = c ，不难得出答案 B21C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式 0 ，即m2 - 4 0 ， 解得m 2 ，故选 C22D【解析】图像法求解 y =1 x -1的对称中心是(1, 0) 也是 y = 2 sin x(-2 x 4

16、) 的中心，-2 x 4 他们的图像在 x = 1 的左侧有 4 个交点，则 x = 1 右侧必有 4 个交点不妨把他们的横坐标由小到大设为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ，则 x1 + x8 = x2 + x7 = x3 + x6 = x4 + x5 = 2 ，所以选 D23B【解析】因为当0 x 0 时，令-2 + ln x = 0 解得 x = 100 ，所以已知函数有两个零点，选 C25B【解析】因为 f (-1) = 2-1 - 3 0 ，所以选 B26A【解析】 x2 + x + m = 0 有实数解等价于 = 1- 4m 0 ，即m 1

17、 当m 1 时，4 4 1 1 1m 成立，但m 时， m 0 ， f (2) = 4 sin 5 - 2 ，由于 5 2 ，所以 f (2) 0 ，故函数 f (x) 在0, 2 上存在零点；由于 f (-1) = 4 sin(-1) +1 0 ，而 f (2) 0 时，由-x2 + 2ax - 2a = ax ，得2a = -x2 + ax -x2 - ax, x 0令 g(x) = -x2 + ax, x 0 ，作出直线 y = a ， y = 2a ，函数 g(x) 的图象如图所示，a2 a2 a2g(x) 的最大值为- + = ，由图象可知，若 f (x) = ax 恰有 2 个互异

18、的实数解，4 2 42则 a 2a ，得4 a 0 在(0, +)上恒成立，则 f (x) 在(0, +) 上单调递增，又 f (0) = 1，所以此时 f (x) 在(0, +) 内无零点，不满足题意当a 0 时，由 f (x) 0 得 x a ，由 f (x) 0 得0 x 0 ， f (x) 单调递增，当 x (0,1) 时，f (x) 0 ，f (x) 单调递减， 则 f (x)max =f (0) = 1 ，f (-1) = -4 ，f (1) = 0 ，则f (x)min = -4 ，所以 f (x) 在-1,1 上的最大值与最小值的和为-3 31(1, 4) ；(1, 3 U (

19、4, +)【解析】若 = 2 ，则当 x 2 时，令 x - 4 0 ，得2 x 4 ； 当 x 2 时，令 x2 - 4x + 3 0 ，得1 x 2 综上可知1 x 4 ，所以不等式 f (x) 0的解集为(1, 4) 令 x - 4 = 0 ，解得 x = 4 ；令 x2 - 4x + 3 = 0 ，解得 x = 1 或 x = 3 因为函数 f (x) 恰有 2 个零点，结合函数的图象（图略）可知1 4 328；11【解析】因为 z = 81，所以 x + y = 195x + 3y = 73 x = 8，解得 y = 11338【解析】由于 f (x) 0,1) ，则需考虑1 x 10 的情况，在此范围内， x Q 且 x D 时，设 x = q , p, q N* , p 2 ，且 p, q 互质，p若lg x Q ，则由lg x (0,1) ，可设lg x = n , m, n N* , m 2 ，且m, n 互质，m n qn q m因此10m = ，则10p= ( )p，此时左边为整数，右边