中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1.docx
《中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1
第十一单元四边形
第一节多边形与平行四边形
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
多边形的有关概念
了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念
掌握多边形内角和与外角和公式
利用全等三角形的有关内容解决有关问题
★★★★
平行四边形
了解四边形的不稳定性；理解平行四边形的概念
能利用平行四边形的性质定理与判定定理解决有关简单问题
运用平行四边形的有关内容解决有关问题
★★★★★
平行线间的距离
了解两条平行线之间距离的意义
能度量两条平行线之间的距离
★
知识要点
1.多边形的内角和与外角和
（1）n边形内角和为；多边形外角和为.
（2）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和.
2.正多边形
定义：
各个角，各条边的多边形叫做正多边形.
对称性：
正多边形都是对称图形，边数为偶数的正多边形也是对称图形.
3.平行四边形
（1）定义：
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）性质：
①平行四边形的对边；
②平行四边形的对角，邻角；
③平行四边形的对角线；
（3）平行四边形的对称性：
，是它的对称中心；
（4）平行四边形的面积：
；同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积．
（5）平行四边形的判定方法
①两组对边分别的四边形是平行四边形（定义）；
②两组对边分别的四边形是平行四边形；
③一组对边的四边形是平行四边形；
④对角线的四边形是平行四边形.
典例诠释
考点一多边形的内角和与外角和
例1正十边形的每个外角等于（）
A．18°B．36°C．45°D．60°
【答案】B
【名师点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．
例2（2016·丰台一模）如图1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=°.
图1-11-1
【答案】48
【名师点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数（利用多边形的内角和或外角和来求，外角和比较简单，学生应掌握），从而问题得解.
例3（2016·燕山一模）如图1-11-2，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝．
图1-11-2
【答案】9
考点二平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算
例4（2016·平谷一模）如图1-11-3，
ABCD中点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．
（1）求证：
四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB=13，DF=14，tanA=，求CF的长．
图1-11-3
（1）【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC．
∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，
∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．
（2）【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H，
图1-11-4
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.
∵tanA=，AB=13，∴DH=12，CH=5．
∵DF=14，∴CE=14，∴EH=9．
∴ED==15，∴CF=DE=15．
【名师点评】
（1）考查平行四边形的性质和判定，易知AF∥BC，结合条件∠AFC=∠DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°（也可以用内错角和同位角），从而得到DE∥FC，问题得证，此问解答方法不唯一.
（2）将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF中（或△DEC中），出现了∠A的正切值，考虑要构造直角三角形，故可以过D点作BC的垂线，从而问题得解.
基础精练
1.（2016·大兴一模）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（）
【答案】C
2.（2016·东城一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是.
【答案】5
3.（2016·延庆一模）如图1-11-5，AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个条件：
.
图1-11-5
【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°等
4.（2016·海淀一模）如图1-11-6，在
ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（）
图1-11-6
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
5.（2014·河南）如图1-11-7，
ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是（）
图1-11-7
【答案】C
6.（2014·昆明）如图1-11-8，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
图1-11-8
∥CD，AD∥BC=OC，OB=OD
=BC，AB∥CD=CD，AD=BC
【答案】C
7.（2014·十堰）如图1-11-9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（）
图1-11-9
【答案】B
8.（2014·临沂）如图1-11-10，在
ABCD中，BC=10，sinB=，AC=BC，则
ABCD的面积是.
图1-11-10
【答案】18
9.（2014·自贡）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是.
【答案】7
10.（2016·海淀二模）如图1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）
图1-11-11
°°°°
【答案】C
11.（2016·西城二模）有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图1-11-12方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为．
图1-11-12
【答案】105°
12.（2016·通州二模）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：
如图1-11-13，线段AB，BC，求作：
平行四边形ABCD.
图1-11-13
小明的作法如下：
如图1-11-14：
（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；
（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形.
图1-11-14
老师说：
“小明的作法正确.”
请回答：
小明的作图依据是.
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13.（2016·房山一模）如图1-11-15，在
ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连接DG，延长DC，交GE的延长线于点H.已知BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求CD的长.
图1-11-15
【解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵EG⊥AB于点G，
∴∠BGE=∠EHC=90°.
在△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，
∴DH=GH=8．
∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5．
∵∠BEG=∠CEH，∴△BEG≌△CEH,
∴GE=HE=GH=4．
在△EHC中，∠H=90°，CE=5，EH=4，
∴CH=3，∴CD=5.
14.（2016·怀柔一模）如图1-11-16，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：
四边形ADCE为平行四边形;
（2）若EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．
图1-11-16
（1）【证明】∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF.
∵F为AC的中点,∴AF=CF.
在△DAF和△ECF中,
∴△DAF≌△ECF，∴AD=CE．
∵CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．
（2）【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H．
图1-11-17
∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC，DF=EF=2，
∴∠FDC=∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，
∴sin∠FDC==，得FH=2，tan∠FDC==1，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．
由勾股定理，得HC=2．∴DC=DH+HC=2+2．
15.（2016·昌平二模）在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，E是OC上的一点．
（1）如图1-11-18，当点E是OC的中点时，求证：
四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图1-11-19，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．
图1-11-18图1-11-19
（1）【证明】如图1-11-18，∵△OBC为等边三角形，∴OC=OB，∠COB=60°.
∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.
在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴AB=OB,∠COA=90°.
∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.
（2）【解】如图1-11-19，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.
∵OB=4,∴OC=BC=4.
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，∴OA=2.
在Rt△OAE中，由
（1）知：
∠EOA=90°，
设OE=x，∵,∴+,解得x=,∴OE=.
16.（2016·西城一模）有这样一个问题：
如图1-11-20，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．
小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．
下面是小南的探究过程：
图1-11-20
（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：
筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：
筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.
已知：
如图1-11-20，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD
求证：
．
证明：
由以上证明可得，筝形的角的性质是：
筝形有一组对角相等．
（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：
筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：
.
（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．
【解】
（1）已知：
如图1-11-21，筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
求证：
∠B=∠D.
图1-11-21
【证明】连接AC.如图1-11-21，
在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.
（2）筝形的其他性质：
①筝形的两条对角线互相垂直，
②筝形的一条对角线平分一组对角，
③筝形是轴对称图形，
……
（写出一条即可）
（3）不成立.反例如图1-11-22所示.
图1-11-22
在平行四边形ABCD中，AB≠AD.对角线AC，BD相交于点O，由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠平分BD.但是该四边形不是筝形.（答案不唯一）
17.（2014·浙江嘉兴）我们定义：
有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：
如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
图1-11-23
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图1-11-24），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；
图1-11-24
②由此小红猜想：
“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？
若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：
在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．
【解】
（1）∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，
∴∠C=360°－70°－80°－80°=130°.
（2）①如图1-11-25，连接BD.
图1-11-25
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，
②不正确.
反例：
如图1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但CB≠CD.
图1-11-26图1-11-27
（3）①如图1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E.
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，∴DE=AE－AD=10－4=6.
∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，
∴AC===2，
②如图1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
图1-11-28
∵DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴AE=2，DE=2，
∴BE=AB－AE=5－2=3.
∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2.
∵∠BCD=60°，∴CF=，
∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2.
18.（2016·东城一模）在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.
定义：
两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1-11-29①）.
小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.
①②
图1-11-29
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图1-11-29②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积.
【解】
（1）菱形（正方形）.
（2）它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行）
已知：
筝形ABCD.
求证：
∠B=∠D.
证明:
连接AC,如图1-11-30.
图1-11-30
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D.
（3）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.
∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.
又∵BC=2，∴BE=1，CE=.
∴=2××AB·CE=2××4×=4.
真题演练
1.（2016·北京）内角和为540°的多边形是（）
ABCD
【答案】C
2.如图1-11-31，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：
DA=DE.
图1-11-31
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠AED=∠BAE.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AED，∴DA=DE.
3.（2015·北京）图1-11-32是由射线AB，BC，CD，DE组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．
图1-11-32
【答案】360°
第二节特殊的平行四边形
课标解读
考试内容
考试要求
考查频度
A
B
C
特殊的平行四边形
理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系
能利用矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理解决有关简单问题
运用矩形、菱形、正方形的有关内容解决有关问题
★★★★★
知识要点
1.矩形
（1）定义：
有一个角是直角的叫做矩形．
（2）性质：
①具有平行四边形的所有性质;②对角线;③四个角都是直角.
（3）矩形的对称性：
既是中心对称图形又是轴对称图形，它有对称轴．
（4）矩形的面积：
.
（5）矩形的判定方法
①的平行四边形；②对角线的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．
图1-11-33
2.菱形
（1）定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）性质：
①具有平行四边形的一切性质;②都相等;
③两条对角线，并且.
（3）菱形的对称性：
既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．
（4）菱形的面积:
方法1：
=;方法2：
=.
（5）菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．
图1-11-34
3.正方形
（1）定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
拓展:
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
（2）性质：
①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行;
②角——四个角都是直角;
③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角．
（3）正方形的对称性：
是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．
（4）正方形的面积:
方法1：
=;方法2：
=.
（5）正方形的判定方法：
①根据定义；
②有一组邻边相等的矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形.
图1-11-35
典例诠释
考点一特殊平行四边形的对称性
例1下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A.等边三角形B.平行四边形C.梯形D.矩形
【答案】D
【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
例2（2016·房山一模）有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：
①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.
将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【名师点评】准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图形，③不是轴对称图形.
考点二运用特殊平行四边形性质进行简单计算
例3如图1-11-36,菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝.
图1-11-36
【答案】
【名师点评】此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握，求OH的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式.
考点三特殊平行四边形性质与判定的综合应用
例4（2016·东城一模）如图1-11-37，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．
图1-11-37
（1）求证：
四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【证明】由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.
∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.
（2）【解】∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.
在Rt△AOB中，AO==4.∴AE=2AO=8.
【名师点评】此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定和性质是关键.
考点四利用特殊平行四边形性质简拼图形
例5问题：
现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1-11-38，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：
画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
图1-11-38
小东同学的做法是：
设新正方形的边长为x（x>0）.依题意，割补前后图形面积相等,有=5,解得x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图1-11-39所示的分割线，拼出如图1-11-40所示的新正方形．
图1-11-39图1-11-40
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
（1）如图1-11-41是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图1-11-41上画出分割线，并在图1-11-41的右侧画出拼成的正方形简图）；
（2）如图1-11-42，是由边长分别为a和b的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图1-11-42上画出分割线，并在图1-11-42的右侧画出拼成的正方形简图）.
图1-11-41图1-11-42
【答案】如图1-11-43所示.
图1-11-43
【名师点评】分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键.
基础精练
1.（2016·顺义二模）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1-11-44所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为（）
图1-11-44
A.B.C.
【答案】A
2.（2016·平谷二模）如图1-11-45，已知：
矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为（）
图1-11-45
【答案】D
3.（2016·昌平二模）为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1-11-46中左图）：
用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定.课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图1-11-46中右图）.观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
图1-11-46
A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BDD．AC⊥BD
【答案】C
4.（2016·石景山一模）如图1-11-47，方格纸中有一四边形ABCD（A，B，C，D四
升级会员 